誰知盤中題 道道皆辛苦
——關于法拉第電磁感應定律應用的高考試題賞析

羅振國

(福建省泉州市石獅第一中學，福建 泉州 362700)

法拉第電磁感應定律是電磁學的核心內容,一直都是高考考查的熱點與難點,然而近年來高考試題中出現了不少關于“盤”的試題,有法拉第圓盤、阿拉果圓盤、圓環等等．這些試題立意精巧,另辟蹊徑,對考生的能力要求較高．考生如果沒有認真分析和深入理解其中內涵,很難得分的．本文筆者將從電磁感應的重點關鍵詞進行分類,試圖尋找問題的本質區別,希望能對大家有所幫助．

1 誰是電源?

法拉第電磁感應定律中,電源是關鍵,只有找到了電源,區分了電路,我們才能有效地解題運算.下面這道例題將讓我們領略一下電源與電路的關系．

圖1

例1.(2012年高考浙江卷第25題)為了提高自行車夜間行駛的安全性,小明同學設計了一種“閃爍”裝置,如圖1所示,自行車后輪由半徑r1=5.0×10-2m的金屬內圈、半徑r2=0.40 m的金屬內圈和絕緣輻條構成．后輪的內、外圈之間等間隔地接有4根金屬條,每根金屬條的中間均串聯有一電阻值為R的小燈泡．在支架上裝有磁鐵,形成了磁感應強度B=0.10T、方向垂直紙面向外的“扇形”勻強磁場,其內半徑為r1、外半徑為r2、張角θ=π/6．后輪以角速度ω=2πrad/s相對于轉軸轉動．若不計其他電阻,忽略磁場的邊緣效應．

(1) 當金屬條ab進入“扇形” 磁場時,求感應電動勢E,并指出ab上的電流方向;

(2) 當金屬條ab進入“扇形” 磁場時,畫出“閃爍”裝置的電路圖;

(3) 從金屬條ab進入“扇形” 磁場開始,經計算畫出輪子轉一圈過程中,內圈與外圈之間電勢差Uab-t圖像;

(4) 若選擇的是“1.5 V、0.3 A”的小燈泡,該“閃爍”裝置能否正常工作?有同學提出,通過改變磁感應強度B、后輪外圈半徑r2、角速度ω和張角θ等物理量的大小,優化前同學的設計方案,請給出你的評價．

答案：E=4.9×10-2V.

根據右手定則判斷可知電流方向由b到a的．

圖2

(2) 經過分析,將ab條可看做電源,并且有內阻,其他3根看做外電路,如圖2所示.

圖3

(4) 小燈泡不能正常工作,因為感應電動勢為E=4.9×10-2V，遠小于燈泡的額定電壓,因此閃爍裝置不可能工作．

B增大,E增大,但有限度;r增大,E增大,但有限度;ω增大,E增大,但有限度;θ增大,E不增大．

2 正轉反轉不相同?

按理說,圓盤問題中正轉與反轉只能影響電流的方向,不會改變電源的大小,以及電流的大小,但是我們不能以偏概全,讓我們看看下面這道高考試題．

圖4

例2.(2013年高考廣東卷第36題)圖4所示,在垂直于勻強磁場B的平面內,半徑為r的金屬圓盤繞過圓心O的軸承轉動,圓心O和邊緣K通過電刷與一個電路連接．電路中的P是加上一定正向電壓才能導通的電子元件．流過電流表的電流I與圓盤角速度ω的關系如圖5所示,其中ab段和bc段均為直線,且ab段過坐標原點．ω>0代表圓盤逆時針轉動．已知R=3.0 Ω,B=1.0 T,r=0.2 m．忽略圓盤,電流表和導線的電阻．

(1) 根據圖5寫出ab、bc段對應的I與ω的關系式;

(2) 求出圖5中b、c兩點對應的P兩端的電壓Ub、Uc;

(3) 分別求出ab、bc段流過P的電流IP與其兩端電壓UP的關系式．

考點:電磁感應、歐姆定律、并聯電路規律、直線兩點式.

圖5

解析: (1) 圖像得出3點坐標:O(0,0)，b(15,0.1)，c(45,0.4).

由直線的兩點式得I與ω關系式

當ω=15 rad/s時,產生的電動勢為E=0.02×15 V=0.3 V．

當ω=45 rad/s時,產生的電動勢為E=0.02×45 V=0.9 V．

忽略圓盤電阻即電源忽略內阻,故UP=E,可得

Ub=0.3 V,Uc=0.9 V．

(3) 由并聯電路知識有

I=IP+IR.

(1)

(2)

我們會發現,正轉與反轉的原因使得電路中電流發生變化,單向導通的電子元件受到很大的影響,何況該電子元件還需要一定的正向的電壓才能導通,因此使得整個電路的工作環境受到很大的制約．

3 誰讓它轉?

1824年,法國科學家阿拉果的“圓盤實驗”讓這個神奇的磁針轉動起來了,然而到底是誰讓它轉起來了呢?這個問題困擾了當時科學家很多年．英國物理學家法拉第從1825年開始研究這個實驗,直到1831年前后經歷了6年時間才弄清了這個問題,證實了法拉第電池感應定律的正確性,足以說明這里面的曲折艱辛之處,要弄清這個問題非得下一番功夫不可．

圖6

例3.(2015新課標Ⅰ-19)1824年,法國科學家阿拉果完成了著名的“圓盤實驗”,實驗中將一銅圓盤水平放置,在其中心正上方用柔軟細線懸掛一枚可以自由旋轉的磁針,如圖6所示,實驗中發現,當圓盤在磁針的磁場中繞過圓盤中心的豎直軸旋轉時,磁針也隨著一起轉動起來,但略有滯后,下列說法正確的是

(A) 圓盤上產生了感應電動勢.

(B) 圓盤內的感應電流產生的磁場導致磁針轉動.

(C) 在圓盤轉動的過程中,磁針的磁場穿過整個圓盤的磁通量發生了變化.

(D) 圓盤中的自由電子隨圓盤一起運動形成了電流,此電流產生的磁場導致磁針轉動.

答案： (A)、(B).

考點： 電磁感應現象;磁通量;渦流.

解析： 因為當磁體和導體之間的相對運動在導體內產生出了感應電流,而感應電流產生的磁力又會與磁體的磁力相互作用,從而使磁體一起轉動起來,具體是當銅圓盤在小磁針的磁場中轉動時,半徑方向的金屬條在切割磁感線,發生電磁感應現象,在銅圓盤的圓心和邊緣之間產生感應電動勢,選項(A)正確.圓盤在徑向的輻條切割磁感線過程中,內部距離圓心遠近不同的點電勢不等而形成感應電流即渦流(根據圓盤轉向的不同以及磁極的不同,感應電流從軸心流向邊緣或從邊緣流向軸心),而感應電流產生的磁力又會與小磁針的磁力相互作用,從而使小磁針一起轉動起來,故選項(B)正確.圓盤轉動過程中,圓盤位置、圓盤面積和磁場都沒有發生變化,故磁場穿過整個圓盤的磁通量沒有變化,選項(C)錯誤.圓盤本身呈中性,不會產生環形電流,(D)錯誤．

4 磁場部分覆蓋與全部覆蓋不一樣？接外電路與不接外電路不一樣？

都不接外電路時,圓盤全部處在磁場中與圓盤部分處在磁場是有本質的區別．前者是有電壓沒電流,沒有熱量消耗,盤會做勻速轉動;而圓盤部分處在磁場中,則該部分充當電壓,其他部分充當電阻,形成回路,將有渦電流產生,引起能量損耗,圓盤做減速轉動．同樣道理,如果盤不接外電阻,也是屬于有電壓沒電流,不會有熱量消耗．如下面兩個例題所示．

圖7

例4.(2015年山東高考卷第17題)如圖7,一均勻金屬圓盤繞通過其圓心且與盤面垂直的軸逆時針勻速轉動．現施加一垂直穿過圓盤的有界勻強磁場,圓盤開始減速．在圓盤減速過程中,以下說法正確的是

(A) 處于磁場中的圓盤部分,靠近圓心處電勢高.

(B) 所加磁場越強越易使圓盤停止轉動.

(C) 若所加磁場反向,圓盤將加速轉動.

(D) 若所加磁場穿過整個圓盤,圓盤將勻速轉動.

答案： (A)、(B)、(D).

解析： 由右手定則可知,處于磁場中的圓盤部分,靠近圓心處電勢高,選項(A)正確.根據E=BLv可知所加磁場越強,則感應電動勢越大,感應電流越大,產生的電功率越大,消耗的機械能越快,則圓盤越容易停止轉動,選項(B)正確.若加反向磁場,根據楞次定律可知安培力阻礙圓盤的轉動,故圓盤仍減速轉動,選項(C)錯誤.若所加磁場穿過整個圓盤則圓盤中無感應電流,不消耗機械能,圓盤勻速轉動．選項(D)正確.因此，選項(A)、(B)、(D)正確．

圖8

例5.(2016年全國新課標Ⅱ卷第20題)法拉第圓盤發動機的示意圖如圖8所示.銅圓盤安裝在豎直的銅軸上,兩銅片P、Q分別與圓盤的邊緣和銅軸接觸.圓盤處于方向豎直向上的勻強磁場B中.圓盤旋轉時,關于流過電阻R的電流,下列說法正確的是

(A) 若圓盤轉動的角速度恒定,則電流大小恒定.

(B) 若從上向下看,圓盤順時針轉動,則電流沿a到b的方向流動.

(C) 若圓盤轉動方向不變,角速度大小發生變化,則電流方向可能發生變化.

(D) 若圓盤轉動的角速度變為原來的2倍,則電流在R上的熱功率也變為原來的2倍.

答案： (A)、(B).

解析： 將圓盤看成無數幅條組成,它們都在切割磁感線從而產生感應電動勢出現感應電流:根據右手定則圓盤上感應電流從邊緣向中心,則當圓盤順時針轉動時,流過電阻的電流方向從a到b.

5 圓環與圓盤不一樣?

圓盤與圓環看起來不一樣,磁場覆蓋的面積缺了一部分,但是圓盤與圓環都可以理解為旋轉切割,勻速旋轉時切割棒的速度是線性變化,我們可以用平均速度來等效替換,從而根據法拉第電磁感應定律E=BLv快速求解,所以從這個思維角度入手,圓盤與圓環是等價的．

圖9

例6.(2014年高考全國2卷第25題)半徑分別為r和2r的同心圓形導軌固定在同一水平面內,一長為r,質量為m且質量分布均勻的直導體棒AB置于圓導軌上面,BA的延長線通過圓導軌中心O,裝置的俯視圖如圖9所示,整個裝置位于一勻強磁場中,磁感應強度的大小為B,方向豎直向下,在內圓導軌的C點和外圓導軌的D點之間接有一阻值為R的電阻(圖中未畫出)．直導體棒在水平外力作用下以角速度ω繞O逆時針勻速轉動,在轉動過程中始終與導軌保持良好接觸．設導體棒與導軌之間的動摩擦因數為μ,導體棒和導軌的電阻均可忽略．重力加速度大小為g．求

(1) 通過電阻R的感應電流的方向和大小;

(2) 外力的功率．

解析： (1) 在Δt時間內,導體棒掃過的面積為

(1)

根據法拉第電磁感應定律,導體棒產生的感應電動勢大小為

(2)

根據右手定則,感應電流的方向是從B端流向A端,因此流過導體又的電流方向是C端流向D端.由歐姆定律流過導體又的電流滿足

(3)

聯立(1)—(3)式可得

(4)

(2) 在豎直方向有

mg-2FN=0.

(5)

式中,由于質量分布均勻,內外圓導軌對導體棒的正壓力相等,其值為FN,兩導軌對運動的導體棒的滑動摩擦力均為

Ff=μFN.

(6)

在Δt時間內,導體棒在內外圓導軌上掃過的弧長分別為

l1=rωΔt.

(7)

l2=2rωΔt.

(8)

克服摩擦力做的總功為

Wf=Ff(l1+l2).

(9)

在Δt時間內,消耗在電阻R上的功為

WR=I2RΔt.

(10)

根據能量轉化和守恒定律,外力在Δt時間內做的功為

W=Wf+WR.

(11)

外力的功率為

(12)

由(4)—(12)式可得

(13)

解題點撥： (1) 掌握導體棒扇形切割原理; (2) 掌握電磁感應中等效電路的處理方法; (3) 掌握電磁感應現象中的能量轉化分析．