高中物理極值問題的物理求解方法

竺 斌

(浙江省湖州中學，浙江 湖州 313000)

物理極值問題是求解某個物理量在某個過程中出現的極大值或者極小值的問題.這對某個物理量的研究具有非常重要的作用,特別對某些實際問題具有極其重要的價值.一般的處理方法是用數學方法來求解,但有時寫出的函數關系非常復雜,很難求出它的極值,或者求解過程非常繁瑣,或者求解過程的數學運算量非常大.所以有些問題,我們可以考慮是否通過對物理過程的分析,從物理角度思考達到極值所滿足的物理條件,根據這一條件進行求解,可能會帶來意想不到的驚喜.另外,有些物理量的函數關系不能直接寫出,這類問題的解答可能會有些技巧,比如利用類比的方法,將這一問題與我們熟悉的問題進行類比,問題也就迎刃而解了.下面介紹的利用光學中的費馬原理來求解一些運動學的問題就是典型的例子.

1 分析物理過程,找出達到極值所滿足的物理條件

(1) 計算運動過程中的最高點和最低點,這些位置,運動物體的速度一定是水平的,豎直分速度為0,否則就不可能為最高點或最低點.抓住這特點進行求解問題就迎刃而解了.

圖1

例1.(2018年4月浙江省選考科目考試物理試題的選擇題第13題)如圖1所示,一根繩的兩端分別固定在兩座猴山的A、B處,A、B兩點水平距離為16 m,豎直距離為2 m,A、B間繩長為20 m.質量為10 kg的猴子抓住套在繩子上的滑環從A處滑到B處.以A點所在水平面為參考平面,猴子在滑行過程中重力勢能最小值約為(繩處于拉直狀態)

(A) -1.2×103J. (B) -7.5×102J.

(C) -6.0×102J (D) -2.0×102J.

圖2

本題考查了重力勢能的最小值.重力勢能最小,也就是猴子沿繩子下滑到最低點,這是一題求高度最低的極值問題.一般的數學解法,猴子的運動軌跡是以A、B為焦點的橢圓,建立以AB所在直線為x軸,AB中點為坐標原點,寫出橢圓方程,如圖2所示.最低點位置是橢圓的切線水平,即斜率為-0.125的點(有兩個Q、Q′),其中一個Q就是高度最低的點.這樣的計算肯定比較繁瑣,而且要用到求導.

圖3

如果用物理方法可以方便的確定最低點的位置.猴子運動到最低點時,速度方向一定是水平的.如圖3所示,猴子運動到最低點時滑輪的位置記為Q點,過Q點做水平線MN,過Q點做豎直線QP,即MN⊥QP.猴子運動軌跡是橢圓,速度沿切線方向(水平MN方向),根據橢圓的光學性質,法線QP一定平分∠BQA,即∠BQP=∠PQA.接下來根據平面幾何的知識很容易得到QA的高度為7 m.

(2) 物體做變加速運動的過程,若加速度先減小后反向增加,速度先增加后減小.那么速度最大的時刻也即加速度為0的時刻或者合力為0的時刻.

例2.一質量為m的小環A套在光滑的水平固定桿中,并用長為l的細繩與質量也為m的小球B連接,先將繩拉至水平方向,然后靜止釋放.當繩與水平桿之間的夾角θ為多大時,小球B的速度最大,并求出此最大速度.

圖4

解析:小球B對地速度為vB,相對環A的速度為vBA,小環A的速度為vA.如圖4所示.它們之間的關系:vBx=vBAsinθ-vA，

vBy=vBAcosθ.

當小球擺至繩子與水平方向的夾角為θ時,根據機械能守恒可得

系統水平方向動量守恒可得:

mvA=mvBx

由以上幾式可解得

設繩子的拉力為F,小環的加速度為a,則有Fcosθ=ma.

圖5

要使小球速度最大,那么小球沿對地速度vB方向的合力為0,有

mgcosα=Fsin(θ-α)

可得3cos4θ+8cos2θ-3=0.

2 類比方法求極值

類比是物理學的重要方法之一,對物理學的發展起了積極的促進作用.有些運動學的極值問題可以類比于光學中的折射定律(或者費馬原理),應用折射定律解決非常的簡捷.比如“胡不歸”問題和均勻重力場中最快下降路線.下面分別來探討這兩個問題.

2.1 “胡不歸”問題

圖6

古老的“胡不歸”傳說,說的是:從前有一個身在A地當學徒的小伙子,當他得悉在家鄉B地的年老父親病危的消息后,便立即向掌柜告了假,借了些錢,啟程趕路,由于思念心切,他挑選了全是沙礫地帶的直線路徑AB(如圖6所示),他認為走近路必定最省時,因此,他放棄了沿驛道AC先走一程的想法.當他氣喘吁吁地來到父親跟前時,老人剛剛咽了氣,小伙子不覺失聲痛哭.鄰舍聞聲前來勸慰,有人告訴小伙子,老人在彌留之際,還不斷喃喃地叨念“胡不歸?胡不歸?……”

例3.現給“胡不歸”問題附以數據,B地到驛道的直線距離為12 km,AB兩地的直線距離為20 km.沿沙礫地帶步行的速度為1 m/s,在驛道騎馬的速度為10 m/s.那么小伙子怎樣的走法從A地到B地的時間最短.

圖7

解析:如果將此問題建立數學模型,轉化為數學的求極值問題可以求解,但是求解過程復雜,要用到導數求極值的方法.現在將此問題與光的折射聯系起來,用折射定律求解,要方便得多.我們設想從A點發出的一束光(代替小伙子)先與兩媒質(驛道跟沙礫地帶)界面AC(即驛道)成一很小的角度入射到D點,此時光速為v1,然后折射入第二種媒質(沙礫地帶)到達B點,此過程中光速為v2,如圖7所示.假定此光束沿ADB路線傳播是符合折射定律的路徑,根據費馬原理:光線在兩點間的實際路徑是使所需的傳播時間為極值的路徑.光的折射定律就是費馬原理的一個推論,光從一種介質進入另一種介質走的路徑是所需時間最短的路徑.所以小伙子走ADB路線所用時間最短.

根據折射定律及折射率與速度的關系可得,

所以小伙子先沿驛道騎馬行走約14.79 km至D點,然后進入沙礫地帶沿DB方向步行至B地,所用時間最短.

2.2 重力場中最快下降路線.

例4.在某一豎直面上有O、P兩點,這兩點的水平距離為a,豎直距離為b.試找出一條從O點到P點的光滑曲線軌道,使得質點從O點靜止出發無摩擦的沿此軌道滑到P點所需的時間最短.

解析: 光的折射定律為n1sinθ1=n2sinθ2，

圖8

圖9

由以上兩式可得dx=2Asin2β·dβ.

所以得到質點在重力場中的最快下降路線的參數表達式為

其中參數A可由P點的坐標a和b通過下面兩式確定,

由此可見,最快下降路線是一條擺線.

綜上所述,用物理方法求解極值問題,必須有敏銳的物理洞察力.根據題意,找出取到極值滿足的物理條件,或者根據已有的一些物理規律,巧妙的運用類比方法,找到求解極值問題的關鍵,這是用物理方法求解極值問題的核心,不能盲目地將物理問題純數學化.研究物理極值的物理解法,不僅可以增強學生對物理概念、物理過程以及物理規律的認識和理解,而且也可以省去復雜繁瑣的數學計算.