對穩態下運動勻質彈簧的研究

涂德新

(江西師范大學附屬中學,江西 南昌 330046)

彈簧是物理學中一個重要的力學模型, 絕大多數情況下都是研究輕質彈簧．眾所周知:輕質彈簧兩端受力必定等大反向,已知其受力則輕質彈簧的長度和彈性勢能可以直接求出．輕質彈簧是一個理想化的模型, 真實的彈簧都是有質量的．質量均勻分布的彈簧在生產生活中很常見,有些文獻進行了有益的研究[1]．本文研究勻質彈簧在平動加速和勻速轉動兩種情況下達到穩態時的長度和線密度．

1 問題提出

圖1

一根質量均勻分布的彈簧,原長為l0,質量為m,勁度系數為k,如圖1所示放在光滑的水平地面上．彈簧左端受到向左的拉力F1的作用,右端受到向右的拉力F2的作用,由于兩端拉力可能不相等,彈簧整體做加速運動,達到穩定時所有點的加速度與質心的加速度相同,但由于彈簧兩端拉力可能不相等,且考慮彈簧有質量,所以彈簧穩定后的線密度一般不均勻．這里求穩態也就是彈簧各部分相對靜止時的長度L和線密度分布λ．

2 問題分析

如果考慮彈簧從靜止開始的加速過程則彈簧內部各部分之間存在相對振動,問題的求解十分困難．這里求彈簧各部分相對靜止時的長度和線密度分布則相對簡單．

彈簧兩端受力不相等,則彈簧穩態時整體做加速運動,彈簧各處所受的彈力并不相等,于是彈簧各處的形變并不均勻,求解彈簧的長度變得比較困難,不能用胡克定律直接求解．

對彈簧用微元法求解．如圖2所示,取彈簧原長x處微元Δx,彈簧達到穩定后此處彈力為Fx,設微元Δx被拉長后的形變量為Δx′,分析出Δx′與Δx的關系,對Δx′進行求和,便可以求得彈簧受力后的總形變量x′,進而求出彈簧的總長度L．

圖2

2.1 問題解析

由于彈簧的勁度系數與彈簧的長度成反比[2],總長l0的彈簧勁度系數為k,設原長中微元Δx對應的勁度系數k′,參數間存在關系

k′Δx=kl0.

(1)

微元Δx兩端所受的彈力一般不相等,但考慮到微元的質量很小,于是兩端彈力的差值也很小,此差值相對兩端的彈力屬于小量,于是求微元Δx的伸長量時,可以不考慮此差值,認為微元Δx處彈力為Fx,這時對應的伸長量為Δx′,由胡克定律有

Fx=k′Δx′.

(2)

由(1)、(2)兩式可得

Δx′=(Fx/kl0)Δx.

(3)

為了求和的方便,不妨將微元改成微分的形式

dx′=(Fx/kl0)dx.

(4)

對彈簧列牛頓第二定律

F2-F1=ma.

(5)

對左端到x處的彈簧列牛頓第二定律

Fx-F1=(x/l0)ma.

(6)

由(5)、(6)兩式可得

Fx=(x/l0)(F2-F1)+F1.

(7)

由(4)、(7)兩式可得

(8)

將dx′代入可以求得線密度

(9)

又對(8)式積分

求得

x′=(F2+F1)/2k.

(10)

由此求得穩定后彈簧的總長

L=l0+(F2+F1)/2k.

(11)

2.2 分析討論

由(9)式, 彈簧的線密度λ是微元位置x的函數．如果F1F2,則λ隨著x增加也增加,即彈簧靠近拉力大的一側產生更大的形變量,于是線密度更小．若F1=F2,則線密度為λ=m/(l0+F1/k)為定值,這正是常規情況下一根靜止彈簧兩端被相同拉力作用而伸長的結果．

3 進階問題

如圖3所示,讓彈簧繞過一個端點O的豎直轉軸做角速度為ω的勻速圓周運動, 不計一切阻力,不考慮彈簧內部的相對振動,求彈簧各部分相對靜止時的長度L和質量線密度分布λ．

圖3

3.1 問題解析

這種情況下彈簧沿長度的形變肯定不均勻,直接對形變后的彈簧不好取微元．采用跟問題一類似的處理方法:設彈簧在原長x處對應伸長后的位置為l=f(x), 兩邊取微分后有dl=f′(x)dx

3.1.1 求解彈簧長度所滿足的微分方程(一)

x處彈簧的彈力Fx充當x到l0處彈簧的向心力

(12)

dx的長度對應伸長后的長度為dl,存在關系

dl=dx+dx′.

(13)

其中伸長量dx′,dx和Fx的關系如(3)式所示．

由(4)、(9)、(10)、(11)式聯立求解得

兩邊對x求導得

3.1.2 求解彈簧長度所滿足的微分方程(二)

由(4)、(11)式可得x處彈簧的彈力為

將dl代入有

Fx=kl0[f′(x)-1].

同理

Fx+dx=kl0[f′(x+dx)-1].

x到x+dx處微元受到的合力為

F合=Fx+dx-Fx.

代入后可以改寫為

F合=kl0f″(x)dx.

此合力剛好充當微元做勻速圓周運動的向心力

-kl0f″(x)dx=(dx/l0)mf(x)ω2.

3.1.3 求解微分方程

上述方程是二階常系數線性齊次微分方程．由微分方程理論可知,該方程存在通解

考慮到穩定后的邊界條件:對于固定端f(0)=0;而自由端微元的長度并沒發生形變,微元的相對長度f′(l0)=1．由邊界條件可以求解得

再求穩定后彈簧的線密度λ．

代入可以求得

3.2 分析討論

4 后記

本文在處理彈勻質彈簧問題時, 考慮到伸長后的彈簧形變不均勻, 不好取微元, 于是先假設彈簧形變后的函數, 再分析形變后的微元與形變前的微元的對應關系, 并對形變前的微元進行積分, 進而對勻質彈簧問題得到了比較簡潔的處理. 希望這種特殊的處理方法對各位同仁有所借鑒．