探究高中數學不等式的易錯題型及解題技巧

龍泠羽

摘 要：在高中數學教學中，不等式內容占有很大的比重，而且其也是高考的重點與難點。因此，將對高中數學不等式的易錯題型進行分析，并探究其解題技巧，希望可以加強學生對解題技巧的掌握與運用，從而有效提高數學成績。

關鍵詞：高中數學；不等式；解題技巧

不等式的學習對于高中生來說存在著一定的難度，而且也是其特別容易出現錯的地方。因此，必須對高中數學不等式的易錯題型進行整理，并總結相關的解題技巧，加強學生對知識的理解與運用，從而促進其更好地學習不等式知識。

一、不等式與線性規劃相結合的題型與解題技巧

不等式與線性規劃相結合這一題型由于涉及的知識比較多，如面積計算、定義域以及最值等，一直都是高考中考核的重點，而這也是學生最容易出錯的題型之一[1]。

例題1：已知不等式組y≤-x+2，y≥kx+1，x≥0表示的平面區域是面積為1的三角形，求實數k的數值？

三條直線圍成的圖形是三角形是這道題的難點與易錯點。由于這道題是選擇題，所以只要準確畫出三條直線的示意圖，之后再把四個選項代入其中，就可以發現選項B是正確答案。

這類易錯題型的解答技巧有兩個：第一，對于求函數最值的問題，最重要的就是根據已知條件把其可行域準確畫出來，并充分理解目標函數所代表的幾何意義。第二，若是目標函數中存在參數的話，就應該分析目標函數的結論，通過對圖形的動態分析，準確定位變化過程中的相關量，從而有效解決相關問題。

二、高次不等式題型與解題技巧

高次不等式也是高中生很容易做錯的題型，而造成其出現錯誤的原因有三個：首先，學生經常會忽視題目中的某些隱藏要求，如在解答高次分式不等式的時候，學生就經常會忘記分母不可以為零這一隱性要求；其次，學生有時候還會忘記某些特殊的區域；最后，學生在利用“穿根法”解題的時候，不能準確判斷函數的升降。

例題2：求不等式（x+3）·（x-2）·（x-4）≤0的解集。

學生在解決這一問題的時候，首先要把-3、2以及4這三個方程的零點在數軸上標出來，這樣數軸就被分成了4個區間；之后，學生把最右邊的第一區間設為正，并根據正負相間，標明每一個區域的正負號；最后，學生通過觀察圖示就可以得出這一不等式的解集是（-∞，-3]∪[2，4]。

這種高次不等式題型的解題技巧就是要學會利用函數圖線簡圖對區間進行準確的劃分，同時還要注意到某些隱性的要求。

三、含參不等式題型與解題技巧

含參不等式由于在不等式中含有未知的參數，所以算是不等式中比較難的題型，在解題的過程中，學生需要分析未知數，并保證沒有遺漏、重復等問題。

例題3：求關于x的不等式ax2-2x+1>0（a為常數，a∈R）的解集。

在解這一問題的時候，學生要對a進行分類討論，也就是分別討論a>0、a=0以及a<0這三種情況。另外，在討論a>0的時候，還要對Δ的值進行區分。

這類易錯題型的解答技巧就是首先要把不等式看成一個函數，明確其定義域，之后再把函數的增減性當作基礎，最后需要做的就是進行分類討論，需要注意的是，在分類討論之后，必須對分類的結果求并集，只有這樣，才能得到準確的答案。

四、分式不等式題型與解題技巧

這種題型的解題思路與高次不等式差不多，但是由于學生忘記其中的隱性條件，所以成為一類易錯題型。

在解這一題的時候，學生首先需要把不等式變成（x-2）（x+1）（x-6）（x+2）≥0這一形式，之后學生由題算出（x-2）（x+1）（x-6）（x+2）=0時的根為2，-1，6，-2。然后在序軸中標出這四個零點，并通過穿根法得出結果為（-∞，-2]∪[-1，2]∪[6，+∞）。由于忘記了分式中分母不能為零的條件，很多學生把這一結果作為最終答案，這也就是其出錯的原因。因此，學生應該充分考慮分母為零的情況，繼續進行解答，令（x+2）（x-2）≠0，從而得出該題的最終解集是（-∞，-2）∪[-1，2）∪[6，+∞）。

這一類型不等式的解題技巧就是熟練掌握與運用穿根法，從而使題目的難度降低，同時，在得出解集后，學生要充分考慮其臨界點，看其是否能夠納入解集的范圍，從而有效保證答案的正確性。

五、不等式恒成立題型與解題技巧

不等式恒成立這一題型通常是和抽象函數或者是數列聯系在一起的，而這也就使得其具有較強的抽象性，從而容易使學生出現錯誤。

例題5（2014年陜西高考卷23題）：設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數。（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N*，求gn（x）的表達式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）設n∈N*，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明[2]。

這道題需要學生結合函數導數以及不等式的相關知識求出閉區間上函數的最值，同時還需要對函數的單調性進行研究。這類題的解題技巧就是要使用分離變量或者是構造函數等方法，再通過基本不等式或者是函數的單調性等知識來求出答案。其中求最值的問題可以將其轉變成基本不等式來進行解答。

通過以上分析可以發現，與線性規劃相關的不等式、高次不等式、含參不等式、分式不等式以及不等式恒成立等題型是高中生容易出錯的題型，因此，必須總結這些題型的解題技巧，并讓學生掌握函數簡圖、穿根法等知識，從而使其有效避免錯誤的出現，提高其數學成績。