基于APOS理論的數學概念教學研究

焦歡歡

摘 要：APOS理論是美國數學家杜賓斯基等人提出的數學概念學習理論，現結合蘇教版五年級下冊《分數的意義》一課，闡述APOS理論在小學數學概念教學中的應用。

關鍵詞：APOS理論；數學概念教學；分數的意義

數學概念是具體性與抽象性的辯證統一，是“過程”與“對象”的統一體。APOS分別代表學習的四個階段（活動階段、程序階段、對象階段和圖式階段），下面筆者將以蘇教版五年級下冊《分數的意義》為例，將單位“1”“分數”“分數單位”概念作為研究對象。

一、活動階段——直觀感知，積累感性認識

【教學片段】

師：（呈現月餅圖）看到這個月餅圖，你想到什么分數？

生：1/3，表示把一個月餅平均分成3份，其中1份就是這塊月餅的1/3。

師：（出示一米的米尺）你想到用什么分數表示？

生：1/10，把一米平均分成10份，一份就是1/10。

師繼續出示一升、一些物體的直觀圖，讓生看圖說分數含義。

【分析】“活動”是指個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個客觀的數學對象，在活動階段，學生借助直觀材料、數形結合，說出具體分數的含義，并在不斷變換客觀數學對象的過程中，感悟“變”與“不變”，積累分數概念的經驗。

二、程序階段——活動內化，形成概念表象

【教學片段】

師：剛才，我們說分數，現在，我們能不能自己在頭腦中想一個分數，并創造出來？

學生依次展示并說出一個正方形的1/2、一米的3/4、一堆蘋果的1/5、一堆桃的1/3、一塊大餅的1/4的意義，教師展示在黑板上。

師：比較黑板上的圖，在分法上有什么不同的地方？

生：平均分的份數不同，表示的分數也不同，平均分的對象也不同。

師：你能根據平均分的對象把它們分分類嗎？每一類都是把什么進行平均分的？

生：（生上臺分類）第一類是把一個物體進行平均分，第二類是把計量單位平均分，第三類是把一些物體平均分。

師：是的，把平均分的對象分成了一個物體、一個計量單位和許多物體組成的一個整體。

【分析】“程序階段”是學生在頭腦中對活動進行描述和反思。這個階段，學生自己“做分數”，自覺內化之前的活動，在腦中建立分數表象，通過畫的方式將表象外化出來，教師順勢引導學生按照平均分的對象進行分類，將零散的平均分對象進行結構分類——一個物體、一個計量單位、一個整體，初步形成單位“1”的概念。

三、對象階段——抽象概括，揭示概念本質

【教學片段】

師：剛才分的一個物體、一個計量單位、一個整體，都和自然數幾有關？

生：1。

師：數學上把平均分的對象，比如一個物體、一個計量單位或由許多物體組成的一個整體，都可以用自然數1來表示，通常，我們把它叫作單位“1”。

師：上面這些圖分別是把什么看作單位“1”？

師：認識了單位“1”，上面的分數分別是把單位“1”平均分成多少份？表示這樣幾份？

師：你覺得什么是分數呢？

生：（在生交流的基礎上概括）把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。表示其中一份的數，叫做分數單位。

師：你能說說黑板上各個分數的分數單位嗎？它們分別有幾個這樣的分數單位？

【分析】“對象階段”就是通過對前面活動階段、程序階段的抽象，認識到概念的本質，對其賦予形式化的定義和符號，成為一個具體的對象。通過提問：一個物體、一個計量單位、一個整體，都和自然數幾有關？并追問概念的本質，將平均分對象放到更高層次的結構中，將之前的“程序”壓縮為一種“對象”：單位“1”、分數、分數單位的形式化定義，從而實現分數概念過程和對象的統一。

四、圖式階段——知識整合，形成概念結構

【教學片段】

師：今天我們學習了單位“1”、分數、分數單位這三個概念，它們之間有什么聯系呢？

生：單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數是分數單位，表示其中幾份的數是分數。

生：任何一個分數都是由一個或幾個分數單位組成的。

師：還記得以前學的整數的計數單位嗎？一個整數又是由什么組成的呢？

生：整數的計數單位有個、十、百、千等，一個整數就是由幾個整數單位組成的。

師：沒錯，我們目前學到的數，不管是整數還是分數，這些數都是由幾個計數單位組成的。

【分析】圖式階段，指的是學生能夠把之前相應的“活動”“程序”“對象”以及與某些一般原理相聯系的其他“圖式”進行整合，形成個體頭腦中的認知框架。這階段，教師通過啟發學生將單位“1”、分數、分數單位三個概念聯系起來，橫向構建三者概念之間的關系，又回憶整數的意義，形成縱向聯系，最終形成認知結構。

參考文獻：

[1]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]張興華.兒童學習心理與小學數學教學[M].江蘇：江蘇教育出版社，2011.

[3]彭聃齡.普通心理學[M].4版.北京：北京師范大學出版社，2012.