淺談職前教師的數學建模競賽

王鴦雨

摘 要 本文以建模的7環節循環模型為依據，以第十四屆中國研究生數學建模競賽E題為例，闡釋了數學建模的全過程，并分享了參賽的經驗，旨在呼吁通過研究生數學建模競賽來培養職前教師的數學建模能力。

關鍵詞 數學建模過程 建模競賽 職前教師 數學建模能力

中圖分類號：G451 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2018.09.036

Abstract Based on the 7-step modeling cycle and taking the title of the 14th China Graduate Mathematical Contest in Modeling as an example， this article explains the whole process of mathematical modeling and shares the experience of the competition. The aim is to call for the training of pre-service teachers' mathematical modeling competency through Graduate Mathematical Modeling Contest.

Keywords mathematical modeling process； modeling contest； pre-service teacher； mathematical modeling competency

1 問題的提出

最近，中華人民共和國教育部制定的普通高中數學課程標準2017年版正式發布。此次修訂凝練了學科核心素養，將數學建模作為六大核心素養之一。①同時，由梁貫成教授等人翻譯的《數學建模教學與評估指南》在數學教育界也掀起了一股數學建模的浪潮，引起了廣泛的關注，中科院院士張平文教授也發文表示數學建模進入課程已經成為了世界教育的潮流。②但是，學生的數學建模能力水平較低，在分析給出的情景后，學生能簡化情景，并發現某個真實模型，但不知道如何轉化為數學問題。③學生數學建模水平的高低與教師數學建模水平的高低有一定的關系，有學者倡導在卓越教師培養課程體系中引入數學建模課程。④也有學者在研究生數學建模能力培養研究中提出了培養方案，其中也包括組織并參加各類數學建模培訓。⑤李大潛院士曾提出數學建模的教學及競賽是素質教育的有效途徑。⑥筆者認為，如果職前數學教師在研究生學習期間，參加全國組織的研究生數學建模競賽，職前教師對數學建模過程有全方面的了解，將有助于未來指導學生進行數學建模。

筆者參加了第十四屆中國研究生數學建模競賽，以此為例，介紹研究生數學建模競賽的規則與經驗，希望能有更多數學教育方向的研究生們來參與到有趣且有意義的數學建模競賽中來。

2 數學建模全過程

筆者的團隊選擇了“多波次導彈發射中的規劃問題”，因為團隊對于導彈問題相對熟悉，同時發現該題是運用數據進行最優規劃的問題，便確定了做E題。題目給出了多波次導彈發射的背景及發射裝置行進過程中的大量數據，其中第一小題的問題是：該部接受到實施兩個波次的齊射任務（齊射是指同一波次的導彈同一時刻發射），每個波次各發射24枚導彈。給出具體發射點位分配及機動路線方案，使得完成兩個波次發射任務的整體暴露時間最短。⑦筆者以第一小題為例，介紹數學建模的全過程。

整個數學建模過程是由7個環節構成的循環，⑧其中最關鍵的環節是從現實問題情境中提取數學模型的過程。7個環節具體為：

2.1 理解現實問題情境（理解）

在研究生數學建模競賽中，所有的題目均來自于客觀世界的問題。首先，團隊所有的成員都要認真審題，不斷地讀題目，要將題目通讀若干遍，對于筆者團隊選擇的E題，我們將題目讀了一遍又一遍后，把題目的背景、已知條件進行全面了解，也配合著查找一系列文獻資料，在此之后，團隊成員開始討論，表達自己對于該題目的理解，在討論中更加明確題意，了解了多波次導彈發射的原則，需要導彈的暴露時間最少，也就意味著在作戰期間被擊中的可能性越小，所以每道題目的優化目標都是使得暴露時間最少，同時也了解了多波次導彈的大致路線，發射裝置在待機地域已經攜帶了導彈且只能攜帶一枚，到達發射點位進行齊射，齊射即同一波次的導彈同一時刻發射，第一波次發射完成后，立即機動到轉載地域裝彈，完成裝彈后再機動至下一波次的發射點位（每個發射點位使用不超過一次）進行齊射。

2.2 簡化或結構化現實情景，形成現實模型（簡化）

團隊成員查找文獻，一起討論該如何進行簡化，如何抽象出數量或空間結構的問題。如E題的題目目標是整體暴露時間最少，我們團隊商討后決定將整體分為三階段，即找到三階段總和的最小值。對照著題目給定的作戰區域道路示意圖，我們均在頭腦中形成了發射裝置多波次齊射的路線及了解了在行程過程中所需滿足的約束條件，如一輛發射裝置匹配一個導彈發射點位且發射點位不重復，單車道只允許一輛發射裝置通過等。在發射裝置路線行進的過程中，我們團隊不考慮途中故障，障礙物，且認為裝置為質點，并保持勻速運動，在超車時也不考慮安全距離，同時不考慮在發射點位的技術準備時間和撤收時間。在此假設下，進行現實情境的簡化，形成現實模型。

2.3 將被結構化的現實模型翻譯為數學問題，形成數學模型（數學化）

將現實模型用數學語言進行描繪，將其表達成數學形式。在這個過程中，團隊成員一起商討如何用數學語言寫出問題的表達式，列出整個問題涉及的變量，同時要進行符號說明，團隊要統一符號，這樣有利于三個人的交流。如三階段總和的最小值，就能用求和基礎上再求最小值的函數來表示，即

其中，X為目標函數；記，表示第i階段第k輛導彈發射裝置機動路徑中節點的有序集合，表示第i階段第k輛導彈發射裝置機動路徑中兩相鄰節點的時間區間。

如單車道只允許一輛發射裝置通過，將單車道上的發射裝置分為同向或反向兩種情況，其中當發射裝置在單車道上同向行駛時，用數學表達為：當時，

上式表示在單車道任意道路節點上，兩個發射裝置同向行駛時每一時刻到達位置的交集為空集，以避免在單車道上出現錯車的情況。其中，表示第k輛導彈發射裝置的平均行駛速度，表示第k輛導彈發射裝置在第階段所經路徑中相鄰兩節點的時間區間，q表示時間區間內的某個時刻，表示第k輛導彈發射裝置在第i階段到達其機動路徑第個節點的時刻。

在建立數學模型時，注意要自然地選擇適用的建模方法，或應用現有的數學模型，建模不盲目追求“高大上”的方法和“全能新”的模型，主要看對問題的針對性和適用性。⑨

2.4 用數學方法解決所提出的數學問題，獲得數學解答（數學求解）

在選擇求解模型方法的時候，可以選擇解決問題的一般求解方法，在查閱相關文獻書籍后，確定求解方法。要注意的是，在實現模型求解之前，首先說明求解模型方法的依據和過程，然后給出詳細的求解步驟和具體的算法。對于筆者團隊解答的E題，我們使用了Floyd算法，該算法可以算出任意兩個節點之間的最短距離，易于理解且代碼編寫簡單。并在此過程中采用適當的計算機技術，我們利用EXCEL編程并分析數據，以擴大解決問題的范圍，盡可能地減少計算錯誤。

2.5 根據具體的現實情景解讀并檢驗數學解答，獲得現實結果（解釋和轉譯）

對于得到的數學結果，帶入到現實情境中進行解讀，使用恰當的語言解釋其含義，將結果進行明確的表述，并分析其正確性和實用性，檢驗該解答是否與現實匹配。當筆者團隊算出了數據，便回到題目本身及現實的導彈裝置運行狀況對數據進行解讀，詮釋數據背后的含義及分析得到的數據的準確性。

2.6 檢驗現實結果的有效性（檢驗）

在現實情境中，批判性地看待得到的結果，可以通過模型結果的誤差分析來檢驗模型的準確性，通過問題的實際數據或仿真數據檢驗模型的實用性。同時，也可進行模型的敏感性分析，檢驗模型結果的可信度。筆者團隊對于所建立模型的合理性也做了適當的評估。

2.7 反饋給現實情景（反饋）

需要參賽團隊客觀地評價自己論文的優缺點，給出該模型適用的情境，也要寫出團隊在理解問題上的限制，以及在模型的建立和求解上的局限性，并給出模型改進的想法。筆者團隊對于我們所得的模型進行了推廣，并針對所建模型的局限性給出了更加全局的改進想法。

3 參賽的經驗與反思

在選題時，共有6道題目可任選，建議考慮選擇與團隊知識面、熟悉程度最相近的題目，這樣比較有利于對題目整體的把握與正確的解答。在建模過程中，不要等到模型建立完成后，結果全部出來再開始著手寫論文，應該要一邊建模一邊寫作，團隊互相鼓勵，通力合作。需要注意的是在論文主體撰寫完成后，要認真地撰寫摘要，摘要是整篇論文的核心，是內容高度的概括，是團隊4天以來想法的精華，應該呈現出建模方法，模型，求解方法，結果，解決的問題及效果，特色和創新點，并寫出其意義。

四天四夜的數學建模考驗的是一個人的毅力，考驗的是團隊的合作，對于即將步入教師隊伍的數學教育專業的職前教師們，只有自己擁有了這些品質，才能讓學生們耳濡目染。作為教師，其最終目標是為了學生最終的遷移學習，教育的真正目的是，讓學生從學徒變成他們自己的教師，變成自主的終身學習者，并且保持對于世界的好奇心，用所需的工具，去形成他們自己的問題，追求有意義的答案，并且，通過元認知，意識到在這個過程中自己的學習。⑩而在數學建模競賽過程中，培養的就是自主學習和運用數學知識解決實際問題的能力，當教師自身具備了這種能力，教育教學的很多問題也將迎刃而解。

4 結束語

當數學教育界已掀起了一股數學建模的浪潮之時，作為未來的數學教師，應培養自身的數學建模能力，除了各高校的數學建模課程之余，職前教師們也可以積極地參與到數學建模競賽中來，不斷地挖掘自身的潛力，不斷地豐富自身建模能力，不斷地完善數學核心素養。當未來的數學教師自身已具備創造力，相信在不久的將來，會培養出一批又一批的人才。

注釋

① 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[S].北京：人民教育出版社，2017：5-6.

② 張平文.數學建模進入課堂已經成為世界教育的潮流[J]. 數學教育學報，2017.26（6）：6-7.

③ 紀雪穎.高中學生數學建模能力水平研究[D]. 華東師范大學，2010.

④ 鐘一兵.卓越教師培養課程體系中引入數學建模課程的思考[J].肇慶學院學報，2015.36（2）：29-32.

⑤ 孫杰寶，吳勃英，張達治.研究生數學建模能力培養研究[J].教育教學論壇，2017（33）：80-81.

⑥ 李大潛.數學建模與素質教育[J].中國大學教學，2002（10）：41-43.

⑦ 中國研究生數學建模競賽官網.

⑧ 蔡金法，徐斌艷.也論數學核心素養及其構建[J].全球教育展望，2016.45（11）：3-12.

⑨ 韓中庚.數學建模競賽論文的寫作方法[J].數學建模及其應用，2017.6（2）：42-48.

⑩ Hattie J & Fisher D.Visible Learning for Mathematics[M].SAGE.2017.