基于凸約束下泰勒估計的主瓣干擾抑制算法

王 偉, 李 壯, 姜 維, 李 欣

(1. 中國電子科技集團公司第二十九研究所, 電子信息控制重點實驗室, 四川 成都 610000; 2. 哈爾濱工程大學自動化學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

近年來,自適應波束形成器被廣泛應用于無線通信、語音處理、雷達、聲納、醫學成像和其他領域[1-3]。傳統的自適應波束形成算法如采樣矩陣求逆[4-5]、迭代自適應[6-7]、自適應旁瓣對消[8]等,在白噪聲環境下,對旁瓣干擾具有很好的干擾抑制效果[9]。當存在主瓣干擾時,利用傳統方法進行波束形成,算法會在方向圖主瓣內形成零陷造成主波束畸變、旁瓣電平升高等問題,輸出信干噪比(signal-to-interference noise ratio, SINR)也會大幅度下降[10]。目前,解決主瓣干擾問題的方法有很多,如文獻[11]的大孔徑天線陣列,文獻[12]的正交極化陣列,上述方法抑制主瓣干擾都是以增加系統復雜度為代價的。文獻[13]對阻塞矩陣預處理(blocking matrix preprocess, BMP)類方法進行了總結,包括傳統BMP、對角加載BMP以及線性約束BMP。文獻[14]改進了阻塞矩陣的構造方法。BMP類算法在已知信號到達角的條件下具有良好的主瓣干擾抑制效果,但存在損失系統自由度和破壞白噪聲特性的問題[15]。文獻[16]將特征投影矩陣法與干擾噪聲協方差矩陣(interference noise covariance matrix,INCM)重構法[17]相結合,解決了傳統特征投影預處理(eigen-projection matrix preprocessing, EMP)方法存在的方向圖主波束峰值偏移問題。EMP方法由于是在特征空間進行操作,相較于BMP方法魯棒性更好,且不會造成陣列自由度的損失,但功率較大的主瓣干擾會使得波束形成時旁瓣零陷變淺。文獻[18]利用Capon空間譜估計方法構建主瓣干擾信號分量,削弱主瓣干擾對旁瓣零陷的影響。

以上主瓣干擾抑制算法都是基于INCM建立的。EMP方法利用INCM而不是信號協方差矩陣主要出于兩點原因,一是在波束形成時避免由于期望信號相消導致的旁瓣電平升高問題;二是防止期望信號的混入導致主瓣干擾對應特征矢量篩選錯誤。實際中,由于期望信號存在于訓練序列中,INCM往往無法直接獲得。文獻[19]將迭代自適應角度估計與EMP方法相結合,利用迭代自適應法得到的空間譜重構出INCM。但迭代自適應算法[20]精度受網格點數制約,網格點選取越密集,計算量越大。

上述的各種方法都是利用采樣協方差矩陣(sampling covariance matrix,SCM)近似代替真實協防差矩陣。當采樣信號獨立同分布時,SCM為真實協方差矩陣的最大似然估計。然而實際中,采樣點數較少或采樣信號存在重尾現象,此時SCM將與真實協方差矩陣存在較大誤差[21],導致后續波束形成和干擾抑制性能下降。文獻[22]對泰勒協方差矩陣估計進行改進[23],提出了泰勒估計加凸約束的協方差矩陣估計方法,該方法計算量低,收斂速度快,在低采樣點和低網格點條件下可以得到更為精確的估計協方差矩陣。

受該文獻啟發,提出了基于凸約束下泰勒估計的主瓣干擾抑制算法。相比于現有方法[24-25],本文方法模擬了實際中采樣信號可能出現的低快拍和重尾現象且適用于期望信號存在于訓練序列條件。利用估計出的主瓣干擾導向矢量篩選主瓣干擾特征矢量,省去繁瑣的INCM重構過程的同時增加了算法魯棒性。最后,利用線性約束法進行自適應波束形成,避免由于期望信號相消導致方向圖畸變、輸出SINR降低等問題。仿真結果證明了本文方法具有更穩健波束形成效果和更高的輸出SINR。

1 陣列模型

考慮N個陣元組成的均勻線陣,假設陣元間各向同性并忽略陣元間互耦作用,陣元間距為半波長,接收信號模型可表示為

x=Aβ+ε

(1)

式中,A=[a1,a2,…,aL],L為信號個數;β和ε分別代表零均值的信號和噪聲;a為信號的導向矢量,可以表示為

a=[ej2πdsin θ/λ,…,ej2π(N-1)dsin θ/λ]

(2)

信號協方差矩陣可以表示為

Σ

(3)

式中,pj為對應信號的方差;Σ=diag(σ1,σ2,…,σN)為NCM。定義P=diag(p1,p2,…，pL),則R可以寫作R=APAH+Σ。

傳統方法利用SCM近似替代真實協方差矩陣,假設采樣點數為K,則SCM可以表示為

(4)

這種做法存在兩個缺點,其一,當采樣點數較少時協方差矩陣估計精度較低;其二,實際中采樣數據往往存在重尾現象或存在異常值,在這種情況下,用該方法估計得到協方差存在較大誤差。

2 凸結構約束下的泰勒估計

針對低采樣點條件下傳統方法SCM估計精度不夠的問題,尋找一種高魯棒性的協方差矩陣估計方法是解決問題的關鍵。泰勒估計是一種穩健的極值估計方法,表達式為

(5)

s.t.R=APAH

(6)

對任意P>0,代價函數可以表示為

(7)

凸約束下的泰勒估計迭代過程如表1所示。

表1 凸約束下的泰勒估計

表1中,

(8a)

(8b)

(8c)

通過迭代過程可以看出,該方法用對特征值的迭代替代了傳統泰勒估計方法對整個協方差矩陣的迭代。這樣做大大減少了算法的復雜度,迭代收斂速度更快。

在得到高精度的估計協方差矩陣的基礎之上,針對傳統EMP方法主瓣干擾特征矢量篩選困難,需要重構INCM,輸出SINR較低等問題,本文將空間譜估計與EMP方法相結合,提出了改進抗主瓣干擾自適應波束形成算法。

3 本文算法

EMP方法的難點在于準確的篩選出主瓣干擾對應的特征矢量。傳統方法利用特征矢量與期望信號的相關性來篩選主瓣干擾特征矢量,這就要求協方差矩陣中不能含有期望信號,否則會導致特征矢量篩選錯誤,主瓣干擾無法得到有效抑制。然而,當期望信號存在于訓練序列時,INCM無法直接獲得,重構INCM的過程計算量較大,且與真實INCM往往存在較大誤差,這些都會導致算法干擾抑性能下降。本文方法將空間譜估計與EMP方法相結合,重新定義主瓣干擾對應特征矢量篩選標準,在期望信號存在于訓練序列條件下,主瓣干擾抑制以及自適應波束形成性能優異。

(9)

MUSIC空間譜可以表示為

(10)

使θ變化,通過尋找波峰得到各信號的估計到達角。主瓣干擾信號到達角可以通過主瓣寬度進行判別,可得

(11)

(12)

傳統方法通過下式篩選主瓣干擾對應特征矢量um,即

θ0)|2≥c|a(θ0)|2

(13)

式中,c(c>0)是一個依據經驗選取的系數,在實際中難以直接獲得。文獻[16]對傳統方法進行了改進,利用相關性篩選主瓣干擾對應特征矢量

(14)

式中,ρ是相關系數,可以通過式(15)求取

(15)

式中,v1,v2為維度相同的向量;‖·‖表示歐式范數。

當協方差矩陣中存在期望信號分量時,利用上述算法篩選主瓣干擾對應特征矢量,由于期望信號相關度更高,會導致特征矢量篩選錯誤,造成嚴重的后果。本文方法由于估計出了主瓣干擾的到達角,通過與估計主瓣干擾導向矢量的相關性判別主瓣干擾特征矢量,在期望信號存在于協方差矩陣條件下,將不會產生特征矢量篩選錯誤問題。主瓣干擾特征矢量篩選標準可以更新為

(16)

特征投影矩陣求解公式為

(17)

式中,I為N×N的單位矩陣,陣列輸出可以表示為

Y=Bx

(18)

利用最小方差無失真響應(minimum variance distortionless response,MVDR)等方法進行波束形成,由于特征投影矩陣B的存在,波束形成時會產生峰值偏移,輸出SINR降低等問題。本文方法由于對信號到達角進行估計,因此可以考慮通過線性約束進行波束形成。為了使得期望信號方向形成最大增益,自適應波束方向圖應盡可能的逼近靜態方向圖。同時還要在旁瓣干擾處形成零陷,達到抑制干擾,提升輸出SINR的目的。上述問題可以通過式(19)描述。

(19)

式中,wq為靜態權矢量,C是除主瓣干擾信號以外的所有信號導向矢量組成的矩陣,f是列向量,線性約束部分可以表示為

(20)

通過構造拉格朗日函數可以求解自適應權值矢量,即

J(w)=‖w-wq‖2+Re{ηH(CHw-f)}

(21)

式中,η為拉格朗日乘子,令η=2λ,對式(21)求導得到

λ=0

(22)

將式(22)代入式(20)整理得到自適應權矢量為

w=(I-C(CHC)-1CH)wq-C(CHC)-1f

(23)

最后,陣列輸出可以表示為

Z=wHY=wHBx

(24)

本文提出的算法流程如圖1所示。

圖1 本文所提算法流程框圖Fig.1 Processing block diagram of the proposed algorithm

對比文獻[19]中算法流程,可以看出,本文算法更為簡潔,省去了多次對INCM進行重構的過程,算法復雜度大大降低。利用凸約束下的泰勒估計對信號協方差矩陣進行估計,使得估計出的協方差矩陣非常接近真實協方差矩陣,為低采樣點條件下提高波達方向(direction of arrival, DOA)估計精度和譜峰檢測概率奠定了基礎。利用MUSIC算法進行空間譜估計,并利用估計出的主瓣干擾導向矢量篩選主瓣干擾對應特征矢量,在期望信號存在于訓練序列條件下提升了算法的魯棒性。利用線性約束求解自適應權矢量,解決了期望信號存在于訓練序列條件下,MVDR等傳統自適應波束形成算法由于期望信號相消造成的方向圖畸變問題。

4 仿真實驗與分析

(25)

實驗1信號協方差矩陣估計誤差

信號協方差矩陣的估計誤差會對特征子空間類的算法產生較大影響。傳統算法利用采樣協方差矩陣近似替代真實協方差矩陣,對協方差矩陣的估計誤差很少深入分析。事實上,在采樣點數較小或采樣信號存在重尾現象的條件下,采樣協方差矩陣的估計誤差很大,導致后續算法性能嚴重下降。本實驗利用標準均方誤差(normalized mean square error, NMSE)來評估協方差矩陣的估計誤差,即

(26)

每一組數據都由100次蒙特卡羅實驗取平均值,信號數=5,陣元數=16,仿真結果如圖2所示。本實驗對比了3種協方差矩陣估計方法,傳統SCM法,泰勒估計法和本文采用的凸約束下的泰勒估計法。

圖2 信號協方差矩陣估計誤差Fig.2 Estimation error of the SCM

通過觀察圖2仿真結果可以看出,隨著采樣點數的增加,3種方法的估計精度都有所提高。低采樣點數條件下,SCM估計存在較大誤差,而本文所采用的凸約束泰勒估計方法估計精度高,且采樣點數變化對估計精度影響較小。

實驗2MUSIC空間譜及估計誤差

主瓣干擾由于空間位置上與期望信號相近,且功率較大,在采樣點數較低的情況下,利用SCM進行空間譜估計會存在譜峰偏移,譜峰消失等問題。本文仿真了3種信號協方差矩陣估計方法下MUSIC空間譜估計的性能,同時對估計誤差進行了研究。MUSIC算法的估計誤差可以通過噪聲子空間的估計誤差來反映,定義估計誤差為

(27)

圖3是采樣點數N=20的條件下,3種方法MUSIC估計出的空間譜。

圖3 MUSIC DOA估計(N=20)Fig.3 DOA estimated by MUSIC (N=20)

通過仿真圖可以看出,傳統采樣協方差矩陣在低快拍條件無法分辨出期望信號和主瓣干擾信號。而本文所采用的方法譜峰清晰無偏移,通過譜峰搜索可以得到準確的DOA估計值。圖4為噪聲子空間估計誤差隨采樣點數變化的曲線,蒙特卡羅實驗數為100。

圖4 噪聲子空間估計誤差Fig.4 Estimation error of noise subspace

通過曲線可以看出,本文方法對噪聲子空間估計精度較高,且性能受采樣點數影響較小。

實驗3波束形成方向圖

圖5給出了本文方法、傳統EMP方法、文獻[16]提出的協方差矩陣重構EMP方法的波束形成方向圖,采樣點數為20。

圖5 自適應陣列方向圖Fig.5 Beam pattern of adaptive array

通過仿真圖形可以看出,由于期望信號存在于訓練序列中,且受到特征投影矩陣B的影響,傳統EMP方法波形畸變嚴重。在低采樣點條件下,協方差矩陣估計精度較低導致協方差矩陣重構EMP方法也出現了旁瓣電平升高以及主波束峰值輕微偏移的問題。本文方法利用線性約束進行波束形成,在低采樣點數和期望信號混入訓練序列條件下仍具有良好的波束形成效果。波束形成方向圖在期望信號方向形成主瓣,主波束無畸變和偏移問題,旁瓣電平逼近靜態方向圖水平,同時在旁瓣干擾位置能夠準確的形成-60～-70 dB的深零陷,相較于現有算法,本文方法具有明顯的性能優勢。

實驗4輸出SINR

圖6是訓練序列中存在期望信號條件下幾種算法輸出SINR隨采樣點數變化的曲線。蒙特卡羅實驗數為100。

圖6 輸出SINR隨快拍數變化Fig.6 Output SINR versus the number of snapshots

分析仿真圖形,由于期望信號的存在以及特征投影矩陣B的影響,傳統EMP方法輸出SINR非常低,進行協方差矩陣重構后(文獻[16])輸出SINR有明顯改善,但期望信號相消仍然使得輸出SINR有所下降。文獻[19]方法由于利用迭代自適應法重構了INCM,解決了波束形成時期望信號相消的問題,在采樣點數較高的條件下輸出SINR與本文方法相近,但在低采樣點條件下,本文算法仍具有明顯優勢。相較于泰勒估計方法,本文所采用的凸約束下泰勒估計法對信號協方差矩陣估計精度更高,對主瓣干擾抑制更加徹底,從仿真圖中可以看出,本文方法輸出SINR接近靜態輸出水平。

實驗5均勻面陣仿真

上述實驗對本文所提出方法的估計誤差,干擾抑制性能等進行了詳細的分析,實驗5將通過仿真驗證算法拓展到二維陣列的有效性。實驗采用10×10的均勻面陣,坐標系建立參考文獻[27],陣元間距為半波長,期望信號SNR為0 dB,來波方向為俯仰0°,方位0°;主瓣干擾SINR為10 dB,方向為俯仰5°,方位5°;旁瓣干擾SINR為20 dB,方向為俯仰45°,方位-30°。圖7為采樣點數為20的條件下,MUSIC估計出的空間譜。

圖7 均勻面陣MUSIC空間譜Fig.7 MUSIC space spectrum of uniform plane array

通過仿真圖可以看出,本文算法應用于二維陣列在低采樣點條件下可以清晰的分辨出空間分布較近的期望信號與主瓣干擾信號。圖8為主瓣干擾抑制后的波束形成方向圖。

圖8 均勻面陣方向圖Fig.8 Beam pattern of uniform plane array

通過仿真圖可以看出,由于主瓣干擾被消除,方向圖主波束無畸變和峰值偏移的問題,在旁瓣干擾位置能夠準確的形成零陷,可以對旁瓣干擾進行有效抑制。

5 結 論

提出了基于凸約束下泰勒估計的抗主瓣干擾自適應波束形成方法。本文方法適用于訓練序列存在期望信號和低采樣點條件。相比現有EMP類主瓣干擾抑制算法,本文方法省去了繁瑣的重構INCM的過程,方法復雜度更低。利用線性約束進行自適應波束形成,能夠在期望信號方向形成主瓣,旁瓣干擾位置準確的形成深零陷,同時能夠獲得較低的旁瓣增益,避免了期望信號相消引起的波形畸變和輸出SINR降低問題。理論分析和仿真結果顯示,本文方法輸出SINR明顯高于其他對比算法,說明該算法對主、旁瓣干擾抑制更加充分,算法性能優越。