基于完備循環差集的type-Ⅱ QC-LDPC碼的構造

黃 勝, 宋 靜, 袁建國

(重慶郵電大學光通信及網絡重點實驗室, 重慶 400065)

0 引 言

低密度奇偶校驗(low-density parity-check, LDPC)碼[1]是線性分組碼的一種,因其性能良好,廣泛應用在許多領域。2016年,LDPC碼作為5G的標準碼重新引起世人的關注,對于準循環(quasi-cyclic)低密度奇偶校驗(quasi-cyclic low-density parity check,QC-LDPC)碼[2]來講,若校驗矩陣H僅由單位循環置換矩陣(circulant permutation matrices, CPM)或零矩陣(zero matrices, ZM)構成,其對應的碼字為type-I QC-LDPC碼[3],多數文獻中構造的碼都屬于type-I QC-LDPC碼[4-7]。若校驗矩陣中不僅包含ZM、CPM,還含有權重為2的循環置換矩陣(weight-2 circulant permutation matrices, W2-CPM),其對應碼字為type-Ⅱ QC-LDPC碼,其最小距離的上界值比type-I QC-LDPC碼的更大(任意(J,L)規則type-I QC-LDPC碼最小距離上界值為dmin≤(J+1)![8],而type-Ⅱ QC-LDPC碼的最小距離上界值為dmin≤(J+1)!2J[9])。最小距離又與碼的檢、糾錯能力息息相關,最小距離值越大,碼的檢錯、糾錯能力越強。由于type-Ⅱ QC-LDPC碼中僅含權重為2的循環矩陣W2-CPM,導致Tanner圖中更易出現短環,影響譯碼性能,出現錯誤平層。文獻[10]主要分析了type-Ⅱ QC-LDPC碼中的W2-CPM對最小距離上界值以及譯碼性能的影響。文獻[11]基于sidon序列構造的type-Ⅱ QC-LDPC碼,其校驗矩陣H中僅包含W2-CPM,Tanner圖中含有大量的6環導致譯碼性能下降。文獻[12]基于完備循環差集構造的type-Ⅱ QC-LDPC碼,其校驗矩陣是滿秩的且包含ZM、CPM和W2-CPM的3種形式的子矩陣,校驗矩陣具有中心對稱結構,圍長至少為8,但由于8環的數量過多影響了譯碼性能。文獻[13]基于有限域構造的type-Ⅱ QC-LDPC碼的校驗矩陣同樣包含ZM、CPM和W2-CPM子矩陣,但文中并未給出具體的仿真實驗結果,而僅有理論分析。文獻[14]基于完備循環差集,構造了一種新穎的可快速編碼的非規則type-Ⅱ QC-LDPC碼,但因其含有短環,影響了迭代譯碼收斂速度,導致迭代譯碼性能下降。

基于此,本文構造一種type-Ⅱ QC-LDPC碼,其圍長至少為8,且8環的數量較少,迭代譯碼性能優異。首先構造校驗矩陣H,校驗矩陣具有近似雙對角的結構,再由完備循環差集填充,用CPM、ZM和W2-CPM的矩陣擴展校驗矩陣H,通過推理證明校驗矩陣中不含4、6環。由仿真實驗結果可知,在迭代譯碼時,本文構造的type-Ⅱ QC-LDPC碼無明顯的錯誤平層。

1 完備循環差集

定義1設v為正整數,取加法群Zv={0,1,2…,v-1}中的t個子集,每個子集包含k個元素,即Di={d1,d2,…,dk},i=1,2…t,m≠n,m,n=1,2…k,滿足Zv中每個非零元素在(dm-dn)modv運算時,其值恰好出現λ次,則集合Di被定義為一組t-(v,k,λ)循環差集(cyclic difference families, CDF)[15]。當循環差集參數為t=1,λ=1,v=k2-k+1時,稱為完備循環差集[14],完備循環差集的特性,即Di中的任意兩個元素dm、dn,作(dm-dn)modv運算其值各不相同。對于(7,3,1)-完備循環差集,D={0,1,3}的差集表如表1所示[16]。在差集表中,除0元素外,其余元素具有相異性。

表1 完備循環差集{0,1,3}mod7的差集表

Table 1 Difference table of mod 7 pefect cycle difference family {0,1,3}

2 Type-Ⅱ QC-LDPC碼

設J,L,p為正整數,則碼長為N=Lp,Type-Ⅱ QC-LDPC碼校驗矩陣H的結構如式(1)所示[17]。

(2)

3 基于完備循環差集的Type-Ⅱ QC-LDPC碼

3.1 構造方法:

基矩陣的構造過程如下所示:

圖1 構造的基矩陣E的結構Fig.1 Structure of constructed base matrix E

步驟2令擴展因子為p,大小等于差集的模p=v,將基矩陣E中元素對分別替換為p×p大小的矩陣,權重為2的循環矩陣I(dm)+I(dn),用大小為p×p的單位矩陣替換基矩陣的0元素,用p×p的零矩陣0替換∞元素,從而獲得校驗矩陣。

通過以上步驟構造出基矩陣,既保留了Type-Ⅱ QC-LDPC碼最小距離上界值大的優點,同時利用構造的近似雙對角結構與完備循環差集的特性結合,避免了短環的出現,而且構造出的碼字具有良好的檢、糾錯性能。

3.2 圍長分析

(3)

滿足jn=j0,ln=l0,t2n=t0,當jk=jk+1時,t2k≠t2k+1;當lk=lk+1時,t2k≠t2k+2。

3.2.1 無四環證明

引理1對于所有j0、j1,0≤j0≠j1≤J,所有l0、l1,0≤l0≠l1≤L-1,以及所有ti∈{1,2},0≤i≤3,當以下不等式全部都不成立時,本文構造的校驗矩陣H所對應的Tanner圖中不存在4環。

其中,0≤j0,j1≤J, 0≤l0,l1≤L-1,而當l0=l1且j0=j1時,t1≠t0。由完備循環差集的特性可知,基矩陣E中的任意兩元素之差作模p運算,值各不相同,因此本文構造的基矩陣不存在4環。

3.2.2 無六環證明

由環長存在定理可知,當n=3時,可將式(3)寫為式(4)形式。

(4)

結合基矩陣的結構,可能存在6環的情況如下:

(1) 當j0≠j1≠j2,l0≠l1≠l2時,只有橫跨三行三列,才可能出現6環,如圖2(a)～圖2(f)所示,即如同Type-I QC-LDPC碼六環的證明情況一樣。由于本文構造的基矩陣有類似雙對角結構,結合完備循環差集的特性,基矩陣中的任意兩元素之差作模p運算值各不相同,故上述6環情況不會出現。

圖2 基矩陣E(H)中6環的存在形式Fig.2 Form of six cycles in E(H)

(2) 當j0=j1,l0=l1時,其他變量保持不變,則式(4)變為式(5)。

(5)

由環長的構成可知,一個環內只有首,尾位置的坐標相同,其余位置不同,而式(5)與之矛盾,故無6環。同理,j0=j1,l2=l1和j0=j1,l2=l0的證明與上述相同。

(3)當j0=j1時,其他變量保持不變,橫跨兩行三列的形式,則式(4)變為式(6),若6環存在,則如圖2(g)所示。

(6)

由圖1可知,本文構造的基矩陣中并不存在此結構,故無6環。同理,j2=j1,j2=j0時的證明與上述相同。

(4)當l0=l1時,其他變量保持不變,橫跨三行兩列的形式,則式(4)變為式(7),若6環存在,則如圖2(h)所示。

(7)

由圖1可知,本文構造的基矩陣中并不存在此結構,故無6環。同理,l2=l1,l2=l0時的證明與上述相同。

(5)當l0=l1=l2時,其他變量保持不變,三行一列的形式,則式(4)變為式(8),若6環存在,則如圖2(i)所示。

(8)

由圖1可知,本文構造的基矩陣中并不存在此結構。故無6環,等式(8)不成立。

(6)當j0=j1=j2時,其他變量保持不變,一行三列的形式,則式(4)變為式(9),若6環存在,則如圖2(j)所示。

(9)

由圖1可知,本文構造的基矩陣含有此結構,又因為完備循環差集中任意兩元素之差作模p運算值各不相同,故等式(9)不成立。綜上所述,本文構造的基矩陣中不含6環。

4 仿真與性能分析

在構造QC-LDPC碼時,需要考慮碼的結構、碼長、碼率等影響性能的因素。一般來講,當其他參數相同的情況下,碼長較長時,性能普遍好。但碼長過長會導致時延增加。碼率越小,糾錯性能越好,但會導致監督位的過度冗余。本文構造中短碼長,碼率為0.5的碼字。采用加性高斯白噪聲(additive white Gaussian noise, AWGN)信道,和積(sum-product algorithm, SPA)譯碼,BPSK調制,選擇迭代50次。

首先選取完備循環差集為{1,2,23,34,84, 123,136,142,146,160,176,201,226,230,232,239},將完備循環差集的元素分為h={1,2,23,34,84,123,136,142},g={160,176,201, 226,230,232,239}兩個子集,令δ=5,μ=3,h*={123,136,142,1,2,23,34,84},g*={201,226,230,232,239,146,160,176},令p=241,碼率為R=0.5,碼長N=3 856。

圖3 碼率為0.5的Type-Ⅱ P-CDF-QC-LDPC (3 856,1 928)碼與其他碼型的糾錯性能對比圖 Fig.3 Contrast figure of error correction performance of Type-Ⅱ P-CDF-QC-LDPC (2 680,1 340) code at code-rate of 0.5

本文構造的基于完備循環差集的圍長至少為8的type-Ⅱ P-CDF-QC-LDPC(3 856,1 928)碼,與文獻[14]基于完備循環差集構造的非規則且可實現快速編碼的type-Ⅱ CDS-QC-LDPC(4 788,2 394)碼比較,同時與文獻[17]基于完備循環差集構造的列重為4的規則type-Ⅱ P-CDS-QC-LDPC (3 906,1 953)碼的性能進行比較,在誤碼率為(bit error ratio, BER)為10-6時,其凈編碼增益分別提高0.42 dB和0.15 dB。

為進一步展現構造碼字的優越性能,構造碼率為0.5,碼長為6 096的type-Ⅱ P-CDF- QC-LDPC(6 096,3 048)碼,選擇完備循環差集{1,2,20,29,97,119,152,154,177,203,241,255,291,297,301,308,338,362,367,370},令δ=5,μ=3,p=381,將構造的碼字分別與基于sidon序列構造的type-Ⅱ QC-LDPC碼,基于斐波那契數列構造的type-I QC-LDPC碼對比,如圖4所示。

圖4 碼率為0.5的Type-Ⅱ P-CDF-QC-LDPC(6 096,3 048)碼與其他碼型的糾錯性能對比圖 Fig.4 Contrast figure of error correction performance of Type-Ⅱ P-CDF-QC-LDPC (6096,3048) code at code-rate of 0.5

在BER為10-6時,與文獻[11]基于sidon序列構造的type-Ⅱ SD-QC-LDPC(6 096,3 048)碼和文獻[19]基于斐波那契數列構造的type-I FS-QC-LDPC(6 200,3 100)碼相比,本文構造的type-Ⅱ P-CDF-QC-LDPC(6 096,3 048)碼的凈編碼增益分別提升0.3 dB和0.4 dB。

綜合上述分析,與其他具有優異性能的QC-LDPC碼相比,本文type-Ⅱ P-CDF-QC-LDPC碼的碼率為0.5,圍長至少為8,并且具有較為明顯的凈編碼增益。

5 結 論

本文提出了基于完備循環差集構造具有近似雙對角結構的type-Ⅱ P-CDF- QC-LDPC碼的設計方法,使其對應的Tanner圖中的圍長至少為8,且8環的數量較少。基矩陣中的元素由完備循環差集中的元素構成,節省了存儲空間,該方法構造簡單,在高信噪比區域收斂速度快速,無明顯的錯誤平層,其糾錯性能優異。