基于步進加速退化建模的剩余壽命在線預測

蔡忠義, 郭建勝, 陳云翔, 董驍雄, 項華春

(空軍工程大學裝備管理與無人機工程學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

隨著狀態監測技術的發展,以設備退化狀態監控信息為依據,及時準確預測設備的剩余壽命是制定設備最優維護方案、備件訂購策略和健康管理的重要依據[1]。剩余壽命預測主要是求解各監測時刻上目標產品的剩余壽命分布函數。基于Wiener過程的剩余壽命預測分為兩個環節:

一是進行退化建模,利用同類產品的退化信息,求解出反映總體退化特征的固定系數估計值和反映個體退化特征的隨機系數先驗值。由于產品退化過程中受隨機不確性、測量不確定性等因素的影響,在退化建模時需要考慮以下退化特征:

(1)非線性特征。對具有非線性特征的退化數據處理,一般可采用兩種方法進行處理。一是對非線性數據進行線性化處理。Whtimore[2]首次提出時間尺度模型,將非線性退化數據轉化為線性退化數據,給出產品概率密度函數(probability density function,PDF)表達式。由于計算過程簡單,使得該方法得以廣泛應用[3]。二是直接建立非線性Wiener退化過程建模,給出退化產品壽命的PDF近似表達式。文獻[4-5]提出了非線性Wiener退化過程建模,給出了相應的PDF近似表達式。相關的模型誤設研究[6],表明后者進行建模評估的精度要高于前者,但后者建模和計算過程較為復雜。

(2)隨機效應。隨機效應是指同類產品中個體差異在退化過程中的具體表現。將描述隨機效應的隨機變量稱為隨機系數。一般做法是將Wiener過程參數進行隨機化處理。文獻[7]將漂移系數和擴散系數都看作是隨機變量并作為先驗分布,通過貝葉斯推斷,得到隨機系數的后驗均值,但由于涉及復雜推導,并未給出含有雙隨機系數的PDF表達式。文獻[8-9]認為同類產品中個體差異主要受Wiener過程中漂移系數的影響,只將漂移系數看作為正態分布隨機變量。這種做法能較好地處理總體退化特征與個體退化差異之間的關系,所建的模型具有良好的模型擬合性。

(3)測量誤差。由于測量過程中受噪聲、擾動、不穩定測量設備的影響,測量數據中含有一定誤差。一般做法是將測量誤差看作為均值為零的正態隨機變量且與實際退化過程之間相互獨立[10]。文獻[11-12]建立了同時考慮隨機效應和測量誤差的線性Wiener退化模型,給出了相應的PDF近似表達式。文獻[13]綜合分析了帶非線性特征、隨機效應和測量誤差的模型誤設問題,指出模型中考慮測量誤差可以有效提高評估精度。

二是進行剩余壽命預測建模。剩余壽命建模實際上給出目標產品剩余壽命的PDF。文獻[14]給出了含有測量誤差的線性Wiener過程的目標產品剩余壽命的PDF近似表達式。對于帶測量誤差的剩余壽命預測的關鍵是對剩余壽命PDF中隨機系數或當前實際退化狀態進行實時更新,以體現目標產品的個性特征。一般有以下兩種方法:

(1)隨機系數的貝葉斯更新方法。文獻[15]首次將貝葉斯推斷方法用于剩余壽命分布模型中隨機系數的更新,給出了先驗信息與目標產品退化信息之間的更新公式。文獻[13]應用貝葉斯推斷方法,進一步推導出了考慮測量誤差和隨機效應的非線性Wiener過程的目標產品剩余壽命中隨機系數的更新公式。這種方法充分利用了同類產品退化先驗信息,使得目標產品剩余壽命預測結果能反映其個體退化特征,但由于目標產品實際退化狀態未知,可能存在一定誤差。

(2)隨機系數和實際狀態的聯合更新方法。常用的更新方法有隨機濾波模型[16]、隱馬爾可夫模型[17]等。其中,隨機濾波模型將隨機系數、當前實際狀態都作為隱含狀態,建立了觀測過程與隨機系數、當前實際狀態之間的狀態空間模型,實現對隱含狀態的估計和更新。這種方法具有較高的預測精度,但計算過程較為復雜。

因此,本文針對SSADT下具有非線性、隨機效應、測量誤差等特征的退化數據,建立加速退化模型,給出總體觀測增量數據的輪廓對數似然函數,得到模型中固定系數估計值和隨機系數先驗值;建立與目標產品個體退化特征相匹配的剩余壽命PDF,引入隨機系數更新貝葉斯方法,求出剩余壽命模型中隨機系數后驗值。

1 步進加速退化建模

1.1 模型假設

(1)受試產品的關鍵性能參數僅有一個,其退化過程X(t)可用Wiener過程進行描述

X(t)=λΛ(t;θ)+σBB(t)

(1)

式中,λ為漂移系數;σB為擴散系數;B(t)為標準布朗運動;Λ(t;θ)為時間t的連續非減函數(θ為未知參數向量),表征非線性特征。

(2)選擇溫度為加速應力、Arrhenius模型為加速模型。

(3)受試產品在各加速應力下發生的退化不可逆且退化機理不變,滿足累積退化模型要求;

(4)受試產品的性能退化數據在觀測中會產生測量誤差(在壽命預測性能約束的可行域內),其觀測過程Y(t)表示為

Y(t)=X(t)+ε=λΛ(t;θ)+σBB(t)+ε

(2)

式中,ε表示測量誤差,一般認為ε～N(0,σ2)且與λ,σB相互獨立。

1.2 步進加速退化模型

由SSADT過程可知,當前加速應力下產品觀測初值是前一應力下觀測末值。根據式(2),建立各加速應力下觀測數據Y(t)的關系模型為

yi,k=

(3)

1.3 加速模型

一般認為Wiener過程的漂移系數與應力有關。采用Arrhenius模型來描述漂移系數與溫度應力之間的關系，即

λi=aexp(-b/Si)

(4)

式中,a和b為待定參數;Si為第i個應力;λi為應力Si下產品的漂移系數。

(5)

2 參數估計

根據多元Wiener過程性質,觀測增量數據向量Δyj服從n元正態分布[4]。

(1)當給定λi時,則有

(6)

(7)

(8)

(9)

根據式(9),基于m個產品觀測數據集Δy={Δy1,Δy2,…,Δym},建立未知參數集Θ的對數似然函數為

(10)

(11)

(12)

(13)

3 剩余壽命預測模型

3.1 剩余壽命分布函數

將目標產品在當前觀測時刻ti,k處的剩余壽命Li,k定義為

Li,k=inf{li,k:X(ti,k+li,k)≥w|X(ti,k)

(14)

(15)

式中

β(li,k)=(li,k+ti,k)c-(ti,k)c-c(li,k+ti,k)c-1li,k

(16)

φ(li,k)=(li,k+ti,k)c-(ti,k)c

(17)

ε,ε～N(0,σ2)

(18)

?

(19)

當前時刻ti,k處目標產品剩余壽命的期望為

(20)

3.2 隨機系數在線更新

(21)

其中

(22)

(23)

(24)

(25)

4 仿真實例

本文依據文獻[18]給出的激光器實測退化數據,仿真得到激光器在步進加速應力下的退化數據,以驗證所提出方法的正確性。文獻[8，19]也是基于該激光器數據仿真得到的加速退化數據,研究加速退化建模問題。

已知該激光器的性能參數為工作電流(單位:mA),正常工作溫度為25 ℃。激光器的工作電流會隨著時間的延長而出現遞增的退化現象。圖1給出了15組激光器的實測退化數據。

圖1 15組激光器的實測退化數據Fig.1 15 sets of lasers measured degradation data

已知該激光器受溫度影響較為敏感,其性能退化速率與溫度之間的關系符合Arrhenius模型。引用文獻[8]中給出的激光器退化模型參數真值如表1所示。引入測量誤差,設定σ=0.08。采用蒙特卡羅仿真方法,設定步進應力為25 ℃、50 ℃、75 ℃,每個應力下測量5次,測量間隔為150 h,得到8組仿真的步進應力下實際退化數據(不帶測量誤差,此時σ=0)和觀測數據見圖2、圖3(圖中藍線為目標產品的退化軌跡)。

圖2 仿真的SSADT實際退化數據Fig.2 Simulated SSADT actual degradation data

圖3 仿真的SSADT觀測數據Fig.3 Simulated SSADT observed data

利用仿真得到的激光器SSADT觀測數據來驗證本文所提出方法的正確性和優勢。將文獻[19]中未考慮測量誤差的非線性加速退化建模方法記為M1;將帶測量誤差的線性加速退化建模方法(即c=1)記為M2;本文提出的帶測量誤差的非線性加速退化建模方法記為M3(由此可見,M1和M2是M3的特殊情況)。采用赤池信息準則(AIC)和均方誤差(MSE)來判別各模型之間的擬合優劣性。

4.1 退化模型的參數估計

表1 不同模型的參數估計結果

4.2 隨機系數在線更新

以SSADT中第8個樣本為目標產品,其在第2 250 h處的實際退化數值為11.81 mA。為了驗證本文在剩余壽命中引入隨機系數更新貝葉斯方法的有效性,假設該激光器的退化失效閾值為11.81 mA,在2 250 h處剛好失效。將M3的剩余壽命預測模型中加入隨機系數在線更新方法記為M4。通過對比M3、M4與真實值剩余壽命預測結果來驗證M4的優勢。

表2 觀測末期隨機系數后驗值

由表2可知,M4計算出的隨機系數均值和方差的后驗值介于其先驗值與真實值之間;而M3計算出的隨機系數均值和方差的后驗值離真值較遠。這是因為M4在M3的基礎上引入隨機系數更新方法,能更好地反映出目標產品的個體退化特征,具有更好的估計優勢。

4.3 目標產品剩余壽命預測

分別將M3、M4的隨機系數后驗值以及真值,代入式(19)和式(20),計算出目標產品的剩余壽命PDF如圖4所示。

由圖4可知,M4的剩余壽命PDF比M3的剩余壽命PDF更窄且更接近真值的PDF;同時M4的目標產品剩余壽命點估計值較M3更接近于真值的剩余壽命點估計值。這是因為M4的剩余壽命PDF采用隨機系數更新方法,使得目標產品在剩余壽命預測過程中不斷以自身觀測數據來更新隨機系數,使得預測結果更逼近于其真實退化過程。說明本文所提出的帶測量誤差的退化模型和基于隨機系數貝葉斯更新的剩余壽命預測模型具有更好的預測精度。

圖4 不同方法下剩余壽命的PDFFig.4 Remaining lifetime PDF by different methods

5 結 論

(1)本文建立了帶測量誤差的非線性步進加速退化模型,給出了基于Fminsearch函數的輪廓似然函數求解方法,得到了固定系數估計值和隨機系數先驗值,為解決退化模型中多參數估計提供了可行途徑;

(2)引入隨機系數貝葉斯更新方法,推導出了目標產品剩余壽命的PDF近似表達式,利用目標產品退化信息來更新剩余壽命的隨機系數后驗值,實現了目標產品剩余壽命預測結果在線更新;

(3)結合仿真實例分析,與現有算法對比分析,驗證了本文所建模型在估計誤差和預測精度上具有一定優勢。