三角變換、三角函數(shù)及解三角形的經(jīng)典題型剖析

■山東省臨沂第四中學(xué) 李新生 曹 偉

高考對三角主要是圍繞三角變換中的“變角、變名稱、變結(jié)構(gòu)”和“三角函數(shù)圖像的性質(zhì)及應(yīng)用”，以及“三角形中的最值及范圍”等知識進行考查的，彰顯“等價轉(zhuǎn)化、整體變量和數(shù)形結(jié)合”等核心素養(yǎng)的具體應(yīng)用。

一、三角恒等變換

1.化簡求值。

提煉：解決化簡求值問題，大多數(shù)是“切化弦通分利用輔助角公式約項或消項”，其實質(zhì)是兩角和與差公式的逆用，注意式子的結(jié)構(gòu)特征要和公式對應(yīng)。

2.條件求值。

提煉：對于條件求值問題，實質(zhì)是把所求的角用已知角進行表示，借助角的和差變換或倍半變換或互余與互補關(guān)系，有時借助換元法溝通這種關(guān)系，本題中的溝通實質(zhì)是關(guān)系更加明朗化。

二、三角函數(shù)圖像的性質(zhì)及應(yīng)用

例3(20 18年湖南省永州市一模)已知函數(shù)f(x)=Asin(ω x+φ)，A＞0，ω＞0，

(1)求f(x)的解析式;

圖1

提煉：利用三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心及周期性，可探究等高線下的兩變量滿足的關(guān)系，可以整體求三角函數(shù)值，可以降元轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)值，還可以簡化求解三角函數(shù)值構(gòu)成的數(shù)列求和問題。

三、三角形中的三角變換

例4(20 18屆江西省k 12聯(lián)盟高三教育質(zhì)量檢測)在銳角△ABC中，c=2，3a=2csinA。

(1)求角C;

(2)求△ABC的周長的最大值。

方法2:用余弦定理溝通轉(zhuǎn)化均值不等式解范圍，由余弦定理得b2=4=a2+c2-a c=(a+c)2-3a c，所以4+3a c=(a+c)2≤∈(0，+∞)，所以a+c≤4，即當(dāng)三角形為正三角形時，a+c的最大值為4，即△ABC的周長的最大值為4，此時三角形為正三角形。

提煉：已知三角形的一個內(nèi)角與該角所對的邊，用兩種方法可探究其周長和面積最大時為等腰三角形，當(dāng)這個角為時，此三角形為正三角形，對于選擇題和填空題可用此結(jié)論簡化求解。