一道經(jīng)典題的多角度思考

■江蘇省蘇州市西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 紀(jì)麟玉

同學(xué)們?cè)诮獯鹨恍┙?jīng)典題時(shí)，如果能進(jìn)行多角度的思考和歸納，那么對(duì)于幫助我們開拓思路、積累解題經(jīng)驗(yàn)是非常有效的。下面以一道經(jīng)典考題為例，從多個(gè)角度進(jìn)行思考與解答，現(xiàn)整理出來(lái)與同學(xué)們分享。

角度一、從方程角度思考

解法1：根據(jù)方程有解問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求值域問(wèn)題，a的取值范圍即是以x為自變量的函數(shù)的值域，不妨令y=a，以函數(shù)知識(shí)為背景，解法如下:

將函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的初等函數(shù)，利用初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解題。令，再令y1=x(2-x)，0≤x≤2，函數(shù)y1是二次函數(shù)，易得0≤y1≤1，所以2≤y2≤4。因?yàn)閥＞0，所以2≤y≤2，所以a的取值范圍是[2，2]。

解法2：通過(guò)導(dǎo)數(shù)工具來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出值域。令y=f(x)=+得x=1，易得，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，y'≥0;當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，y'≤0。故函數(shù)y在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=1時(shí)，y取最大值2。又因?yàn)閒(0)=f(2)=，所以a的取值范圍為[2，2]。

角度二、從不等式角度思考

解法3：利用均值不等式巧妙地將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式求最值問(wèn)題。將a=≤2+[x+(2-x)]=4。又因?yàn)閍2=2+，所以2≤a2≤4。因?yàn)閍＞0，所以當(dāng)x=0或x=2時(shí)，amin=2;當(dāng)x=1時(shí)，amax=2，所以a的取值范圍是[2，2]。

解法4：聯(lián)想到柯西不等式，將a寫成x·1+2-x·1的形式。由柯西不等式可得a2=(x·1+2-x·1)2≤[(x)2+(2-x)2](12+12)=4，當(dāng)且僅當(dāng) x=2-x，即x=1時(shí)，取“=”，所以=4。又因?yàn)閍＞0，所以amax=2，求最小值同解法3。

角度三、從三角函數(shù)角度思考

解法5：由x的有界性(x∈[0，2])聯(lián)想到通過(guò)三角代換，借助三角函數(shù)的有界性求a的范圍，解法如下:

角度四、從復(fù)數(shù)角度思考

解法7：令復(fù)數(shù)z=x+2-xi，x∈[0，2]，則|z|=2，設(shè)z的實(shí)部為m，虛部為n，從而可設(shè)m=2cosθ，n=2sinθ，0≤θ≤。所以a=m+n=2cosθ+2sinθ=

角度五、從向量角度思考

解法8：a=x·1+2-x·1，令p=(x， 2-x)，q=(1，1)，則 p =q =(設(shè)p與q的夾角為θ)，所以又點(diǎn)P(x，)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的四分之一圓弧上，所以0≤θ≤，所以≤cosθ≤1，2≤2cosθ≤2，所以a的取值范圍是[2，2]。

角度六、從數(shù)列角度思考

角度七、從解析幾何角度思考

解法10：令a=m+n，則m+n=2，0≤m≤2，設(shè)直線l的方程為 mx+n y=0，點(diǎn)A(1，1)到直線l的距離為d，則d=a=2d。直線l恒過(guò)原點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)O A⊥l時(shí)，d取最大值2;當(dāng)l的斜率為0或不存在時(shí)，d取最小值1。所以a的取值范圍是[2，2]。

上述十種解法是常見的雙二次根式的處理方法，以不同知識(shí)內(nèi)容為切入點(diǎn)，得出不同的解題方案。我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)中若能經(jīng)常這樣去挖掘總結(jié)，從不同的視角去探究解決問(wèn)題的方案，領(lǐng)悟常規(guī)解法、簡(jiǎn)捷解法、創(chuàng)造性的解法，定能拓寬我們的解題思路，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高我們的解題能力。