數列中易錯點的歸類剖析

■河南省洛陽市第一高級中學 王瑋琪

一、忽視隱含條件致錯

例1首項為-20的等差數列{an}，從第10項起各項均為正數，則其公差d的取值范圍為 。

解析：由題意知，數列{an}滿足

易錯點分析：若不能準確把握等差數列的單調性，便不能認識到“前9項均為負數或0”這一隱含條件，從而忽視隱含著的“a9≤0”這一條件。實際上，等差數列要么是遞增數列，要么是遞減數列，要么是常數列。根據本題已知條件，數列{an}應是遞增數列。

例2在等比數列{an}中，an·an+1=16n，則其公比為_____。

解析：因為an·an+1=16n，所以當n≥2時，an-1·an=16n-1，兩式相除得q2=16。由條件知相鄰兩項同號，故q＞0，所以q=4。

易錯點分析：本題易忽略隱含條件“q＞0”，導致得出“q=±4”這一錯誤結果。

二、an與Sn關系把握不準確致錯

例3已知數列{an}的前n項和Sn=n2+2n+1，則其通項公式為 。

解析：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1;

當n=1時，a1=S1=4。

易錯點分析：本題易將an與Sn的關系理解為an=Sn-Sn-1，從而得出an=2n+1，并且誤認為{an}是等差數列。實際上，當公差d≠0時，等差數列的前n項和應為關于n

三、對等差數列前n項和的形式把握不準致錯

易錯點分析：本題易根據數列的前n項和的比，將{an}，{bn}的前n項和分別設為Sn=A(7n+45)，Tn=A(n+3)，從而造成結果錯誤。

四、求等差數列各項絕對值之和時出錯

例5 在公差為d的等差數列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數列。

(1)求d，an;

(2)若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|。

解析：(1)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2，則d2-3d-4=0，解得d=-1或d=4。

所以an=-n+11，n∈N*或an=4n+6，n∈N*。

(2)設數列{an}的前n項和為Sn。因為d＜0，由(1)得d=-1，an=-n+11。

易錯點分析：一是不注意按n≤11，n≥12分類討論致錯;二是在n≥12的情況下，求和時忽略前11項，而直接從第12項開始計算。

五、放縮法證明數列不等式時放縮不當

例6 設n∈N*，xn是曲線y=x2n+2+1在點(1，2)處的切線與x軸交點的橫坐標。

(1)求數列{xn}的通項公式;

解析：(1)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)·x2n+1，曲線y=x2n+2+1在點(1，2)處的切線的斜率為2n+2，從而切線方程為y-2=(2n+2)(x-1)。令y=0，解得切線與x軸

綜上可得，對任意的n∈N*，均有Tn≥

易錯點分析：本題第(2)問是通過放縮的方法證明不等式的，由于不能直接求和，需要放縮后才能求和，并在求和后再進行放縮，放縮的尺度不恰當或放縮的起始項不恰當，是致錯的主要原因。實際上，要證考慮通項，通過適當放縮能夠使得每項相消即可。證明思路如下:先表示出Tn=當n≥2時，單獨考慮