三角函數知識結構與拓展

■河南省偃師高級中學 周成玉

【知識網絡】

【基礎知識及拓展】

第一部分：角的概念及任意角的三角函數

(一)基礎知識

(1)角的概念;(2)終邊相同的角的表示;(3)弧度制與角度制的互化(包括弧長公式和扇形面積公式);(4)任意角的三角函數的概念;(5)三角函數線。

(二)知識拓展

1.象限角與軸線角的表示。

(1)象限角。

(2)軸線角。

2.任意角三角函數的定義。

設P(x，y)是角a終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，則sina=

3.三角函數值在各象限內的符號。

三角函數值在各象限內的符號口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦。

第二部分：同角三角函數的基本關系與誘導公式

(一)基礎知識

(1)同角三角函數的基本關系式:sin2a+cos2a=1=tana;(2)誘導公式:要掌握2kπ+a(k∈Z)，-a，π+a，π-a，

(二)知識拓展

1.同角三角函數基本關系式的變形。

2.sina，cosa的齊次式的應用:分式中分子與分母是關于sina，cosa的齊次式，或含有sin2a，cos2a及sinacosa的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“sin2a+cos2a=1”代換后轉化為正切求解。

3.掌握sina+cosa，sina-cosa，sinacosa的關系:(sina+cosa)2+(sinacosa)2=2。

4.應用誘導公式的重點是“函數名稱”與“正負號”的正確判斷。求任意角的三角函數值的問題，都可以通過誘導公式化為銳角三角函數的求值問題，具體步驟為:負角化正角→正角化銳角→求值。

第三部分：三角函數的圖像和性質

1.正弦函數y=sinx，余弦函數y=cosx，正切函數y=tanx的圖像與性質，如表1。

2.函數y=Asin(ω x+φ)的圖像畫法。

(1)五點作圖法:找五個關鍵點，分別為使y取得最小值、最大值的點和曲線與x軸的交點。其步驟為:

(一)基礎知識

表1

表2

由此可得五個關鍵點。

③描點畫圖，再利用函數的周期性把所得簡圖向左右分別擴展，從而得到y=Asin(ω x+φ)的簡圖。

(二)知識拓展

1.對于函數y=Asin(ω x+φ)的性質(定義域、值域、單調性、對稱性、最值等)可以利用換元的方法，令X=ω x+φ，將其轉化為研究y=sinX的性質。

2.函數y=Asin(ω x+φ)的對稱軸由ω x+φ=kπ+，k∈Z確定，對稱中心由ω x+φ=kπ，k∈Z確定其橫坐標。

3.函數y=Acos(ω x+φ)的對稱軸由ω x+φ=kπ，k∈Z確定，對稱中心由ω x+φ=kπ+，k∈Z確定其橫坐標。

4.f(x)=Asin(ω x+φ)(A≠0，ω≠0)為偶函數的充要條件是φ=+kπ(k∈Z);

f(x)=Asin(ω x+φ)(A≠0，ω≠0)為奇函數的充要條件是φ=kπ(k∈Z)。

g(x)=Acos(ω x+φ)(A≠0，ω≠0)為偶函數的充要條件是φ=kπ(k∈Z);

g(x)=Acos(ω x+φ)(A≠0，ω≠0)為奇函數的充要條件是φ=+kπ(k∈Z)。

5.求三角函數的最小正周期，一般先通過恒等變形化為y=Asin(ω x+φ)，y=Acos(ω x+φ)，y=Atan(ω x+φ)的形式，再分

6.求三角函數解析式的方法。

(3)求φ，常用方法有:

①代入法:把圖像上的一個已知點代入(此時，A，ω，B已知)。

②五點法:確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點（，0）作為突破口，

具體如下:“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點中距原點最近的交點)為ω x+φ=0;“第二點”(即圖像的“峰點”)為ω x+φ=;“第三點”(即圖像下降時與x軸的交點)為ω x+φ=π;“第四點”(即圖像的“谷點”)為ω x+φ=;“第五點”為ω x+φ=2π。

第四部分：三角恒等變換

(一)基礎知識

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式。

(二)知識拓展

1.公式的常用變形: (1)tana±tanβ=tan(a±β)(1?tanatanβ)。(2)降冪公式:sinacosa=sin2a。(3)升冪公式:1+cos 2a=2cos2a;1-cos2a=2sin2a;1+sin 2a=(sina+cosa)2;1-sin2a=(sinacosa)2。(4)輔助角公式:asinx+bcosx=

2.三角化簡、求值的常用方法:異名三角函數化為同名三角函數，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數互化。

3.在化簡時要注意角的取值范圍。

4.給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難入手的，但仔細觀察會發現非特殊角與特殊角之間總有一定的關系。解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式將非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數，從而得解。

5.已知三角函數值，求其他三角函數式的值的一般思路:(1)先化簡所求式子。(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯系(從三角函數名及角入手)。(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值。

6.已知某種三角函數值來求角，在選取函數時，有以下原則:(1)已知正切函數值，則選正切函數。(2)已知正、余弦函數值，則選正弦或余弦函數。若角的范圍是（0），則選正、余弦皆可;若角的范圍是(0，π)，則選余弦較

第五部分：正弦定理和余弦定理

(一)基礎知識

1.正弦定理和余弦定理，如表3。

表3

(二)知識拓展

1.三角形的內角和定理:在△ABC中，A+B+C=π，其變式為A+B=π-C，

3.在三角形中大角對大邊，大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，余弦值則相反，即在△ABC中，A＞B?sinA＞sinB?cosA＜cosB。

4.在△ABC中，已知a，b和A，解三角形時，若求c，則也可以用余弦定理來解。

5.利用正弦、余弦定理判定三角形形狀的兩種思路:(1)“角化邊”:利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含邊的關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀。(2)“邊化角”:利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含內角的三角函數間的關系，通過三角恒等變換，得出內角間的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A+B+C=π這個結論。

6.求三角形面積的方法:(1)若三角形中已知一個角(或該角的正、余弦值)，結合題意求所夾這個角的兩邊或該兩邊之積，代入公式求解。(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積。

7.三角形中，已知面積求邊、角的方法:三角形面積公式中含有兩邊及其夾角，故根據題目的特點，若求角，就尋求所夾這個角的兩邊的關系，利用面積公式列方程求解;若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關的角，利用面積公式列方程求解。

8.求最值或范圍時，注意公式的選擇。

(1)求取值范圍時，用正弦定理轉化為解三角函數的值域問題。

(2)求最大或最小值時，用余弦定理和均值不等式。注意均值不等式只能求一端的最值，有時也可由兩邊之和大于第三邊求另一個。