數(shù)列知識(shí)結(jié)構(gòu)與拓展

■河南省偃師高級(jí)中學(xué) 胡穩(wěn)治

【數(shù)列知識(shí)結(jié)構(gòu)】

【基礎(chǔ)知識(shí)及拓展】

第一部分：數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

(一)基礎(chǔ)知識(shí)

1.數(shù)列的概念。

(1)按照一定順序排成的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列。按項(xiàng)數(shù)是否有限可分為有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列。

(2)數(shù)列可以看作以正整數(shù)集N*(或它的有限 子集 ｛1，2，…，n｝)為定義域的函數(shù)an=f(n)，當(dāng)自變量按從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。

(3)數(shù)列作為特殊的函數(shù)，也有單調(diào)性。例如:遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列。

2.數(shù)列的表示法。

相對(duì)于函數(shù)的三種表示法，數(shù)列也有三種表示法:解析法，列表法，圖像法。

(1)解析法。

①通項(xiàng)公式:如果數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

②遞推公式:由遞推公式結(jié)合初始條件，可寫(xiě)出數(shù)列的各項(xiàng)或求出通項(xiàng)公式。

(2)列表法。

全體正偶數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成的數(shù)列2，4，6，…，2n，…可用列表方法表示，如表1。

表1

(3)圖像法。

數(shù)列的圖像是一系列孤立的點(diǎn)。

(二)知識(shí)拓展

1.數(shù)列的單調(diào)性。

判斷數(shù)列｛an｝的單調(diào)性，通常轉(zhuǎn)化為判斷｛an｝的相鄰兩項(xiàng)an，an+1的大小關(guān)系。

若an+1-an＞0，則數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列;

若an+1-an＜0，則數(shù)列｛an｝為遞減數(shù)列;

若an+1-an=0，則數(shù)列｛an｝為常數(shù)列。

若已知數(shù)列的單調(diào)性，則可求得該數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)。

2.數(shù)列的周期性。

對(duì)于數(shù)列｛an｝，如果存在正整數(shù)T，對(duì)于任意的n∈N*，都有an+T=an，則稱(chēng)T為數(shù)列｛an｝的周期。

3.數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和。

Sn=a1+a2+…+an，由此可知an=

第二部分：等差數(shù)列

(一)基礎(chǔ)知識(shí)

1.等差數(shù)列的概念。

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

如果等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d。

3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。

如果等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是a1，公差是

(二)知識(shí)拓展

1.等差數(shù)列的判定方法。

(1)定義法:對(duì)于數(shù)列｛an｝，若an+1-an=d(常數(shù))，則數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列。

(2)等差中項(xiàng)法:對(duì)于數(shù)列｛an｝，若2an+1=an+an+2，則數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列。

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和。

已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是a1，公差是d。

(1)an=a1+(n-1)d=d n+(a1-d)，an是關(guān)于n的一次式。

(2)由an=a1+(n-1)d及am=a1+(m-1)d，兩式相減得an-am=(n-m)d，

3.等差數(shù)列的性質(zhì)。

(1)對(duì)于等差數(shù)列｛an｝，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，其中m，n，p，q∈N*。

特別地，若m+n=2p，則am+an=2ap，其中m，n，p∈N*。

(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等差數(shù)列，公差為m d(k，m∈N*)。

(4)對(duì)于等差數(shù)列｛an｝，如果Sn是其前n項(xiàng)和，k∈N*，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差數(shù)列，公差為k2d(k∈N*)。

(5)等差數(shù)列｛an｝的單調(diào)性。當(dāng)公差d＞0時(shí)，｛an｝為遞增數(shù)列;當(dāng)公差d＜0時(shí)，｛an｝為遞減數(shù)列;當(dāng)公差d=0時(shí)，｛an｝為常數(shù)列。

第三部分：等比數(shù)列

(一)基礎(chǔ)知識(shí)

1.等比數(shù)列的概念。

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示。

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

如果等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an=a1qn-1。

3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。

如果等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是a1，公比是q，則其前n項(xiàng)和公式為Sn=

(二)知識(shí)拓展

1.等比數(shù)列的判定方法。

(1)定義法:對(duì)于數(shù)列｛an｝，若q(q≠0)(常數(shù))，則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列。

(2)等比中項(xiàng)法:對(duì)于數(shù)列｛an｝，若an·，則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列。

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和。

已知等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是a1，公比是q。

(2)由an=a1qn-1及am=a1qm-1，兩式

3.等比數(shù)列的性質(zhì)。

(1)對(duì)于等比數(shù)列｛an｝，若m+n=p+q，則am·an=ap·aq，其中m，n，p，q∈N*。

特別地，若m+n=2p，則am·an=a2p，其中m，n，p∈N*。

(2)若等比數(shù)列｛an｝的項(xiàng)數(shù)為2n，則若等比數(shù)列｛an｝的項(xiàng)數(shù)為2n+1，

(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)。

(4)對(duì)于等比數(shù)列｛an｝，Sn是其前n項(xiàng)和，k∈N*，那么當(dāng)q≠-1或q=-1且k為奇數(shù)時(shí)，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數(shù)列;當(dāng)q=-1且k為偶數(shù)時(shí)，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k不成等比數(shù)列。

(5)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn;若等比數(shù)列。

(6)等比數(shù)列的單調(diào)性。

①當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，｛an｝為遞增數(shù)列;

②當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，｛an｝為遞減數(shù)列;

③當(dāng)q=1時(shí)，｛an｝為常數(shù)列;

④當(dāng)q＜0時(shí)，｛an｝為擺動(dòng)數(shù)列。

第四部分：數(shù)列的綜合應(yīng)用

1.數(shù)列求和。

(1)公式法:直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和。

(2)分組求和法:若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減。

(3)并項(xiàng)求和法:在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和。形如an=(-1)nf(n)的類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解。

(4)倒序相加法:若一個(gè)數(shù)列｛an｝，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法。

(5)裂項(xiàng)相消法:若一個(gè)數(shù)列｛an｝的每一項(xiàng)都可以化為兩項(xiàng)之差，并且前一項(xiàng)的減數(shù)恰與后一項(xiàng)的被減數(shù)相同，求和時(shí)中間項(xiàng)相互抵消，這種求和的方法就是裂項(xiàng)相消法。

(6)錯(cuò)位相減法:若{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和，可由Sn-q Sn，求Sn，其中q為{bn}的公比。

2.求通項(xiàng)公式。

對(duì)于由初始條件和遞推公式所確定的數(shù)列，通常可通過(guò)對(duì)遞推公式的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，通過(guò)求出等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

(1)遞推公式為an+1=f(n)an，通常做商f(n-1)可求，就可以使用累乘法求得an。

(2)遞推公式為an+1=an+f(n)，通常做差變形為an+1-an=f(n)，只要f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求，就可以使用累加法求得an。

(3)遞推公式為an+1=p an+q(p，q為常數(shù))，通常使用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列。

(4)遞推公式為an-an+1=p an+1an(p