船舶開孔有限薄板橫向彎曲振動問題研究

朱竑禎，王緯波，殷學文，高存法

（1.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京210016；2.中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點實驗室，江蘇 無錫214082）

0 引 言

結構上開孔能夠起到減重、偵查、維修、通風等作用，在工程中十分常見。帶孔薄板在船舶上應用也相當廣泛，如消聲器內部穿孔板及水下航行器的外殼板等[1]。而圓孔因加工容易且孔邊界無奇異點，在潛艇結構中是常用的開孔形狀，如在艙壁上布置圓形孔以用于安裝主機軸承及魚雷發射管等裝置[2]。靜力學中，當結構承受拉伸或擠壓時，孔洞附近的最大應力會高于平均應力好幾倍，產生了靜力學中的應力集中現象[3]，非常容易導致孔洞的變形及結構的破壞。而在動力學中，開孔后板的質量和剛度分布發生變化[4]，整體結構的動力學特性也必定會改變，因此關于含孔而導致的振動變化規律研究對于水下結構的振動控制及降噪設計、聲學優化有重要的意義。

目前對于連續薄板的振動研究已經較為成熟，而含孔薄板由于形狀復雜，難以用方程準確描述，因而對此的研究并不多，且主要集中于對中心位置含孔的研究。Paramasivam[5]利用差分法求解了正方形板中心含正方形孔的振動問題。Liew等[6]將差分法結合能量法求解了矩形板中心開孔的振動問題。差分法是通過劃分區域單元來求解的，用于求解直線邊界較為簡便，對于曲線邊界則難以模擬。Takahashi[7]通過Raileigh-Ritz能量法和由邊界條件預設的位移函數求解了矩形板中含孔的振動問題，雖然可以適用于任意位置的孔，但是其對于位移函數的準確性要求較高，因此只能適用于少量有精確解的邊界情況，且Hegarty等[8]證實了對于含圓孔方形板使用能量法求解的結果并不準確。Kwak等[9]提出了在孔洞位置和板中心位置分別建立坐標系的方法，對傳統的Raileigh-Ritz能量法進行了改進，用于計算任意位置含孔洞的平板振動問題，不過仍然受到精確位移解的限制。而在國內，對于含孔的平板振動問題大多采用有限元法求解[1，10-12]，及沿用能量法求解矩形板的振動[13-14]，對于含偏心孔洞的多種邊界的薄板振動理論研究并不多。

本文在比較各類方法后，采納Hegarty等[8]的計算方法，在內孔的中心建立全局坐標系，使內邊界條件精確滿足，在外邊界上取點，使外邊界條件近似滿足，并將Hegarty等的工作推廣至適用于任意位置的孔洞和多種邊界形狀，通過算例驗證了本文方法的正確性且分析了孔洞偏心對結構的影響。

1 基本方程

本文研究均質各向同性的薄板，薄板上含一個圓孔，圓孔的位置任意，半徑為R。薄板的形狀為曲線方程已知的規則圖形（如圓形、矩形、橢圓等）。如圖1所示，以圓孔的中心為坐標原點建立坐標系，基于Kirchhoff的經典薄板理論的平板彎曲自由振動方程為：

圖1 含圓孔的薄板及其坐標系示意圖Fig.1 Coordinate system of the thin plate with a circular hole

其中：w為z方向的位移，即撓度，ρ為平板的密度，h為板厚，D為彎曲剛度和μ分別為材料的楊氏模量和泊松比。

由于基于內部的圓孔建立坐標系，因此本文采用極坐標系求解該問題。如圖1中平板上任意一點P，在平面直角坐標系下的坐標與極坐標系下坐標的關系為：

設撓度w具有如下形式：

其中：i為復數單位（i2=-1），ω為圓頻率。 代入（1）式即有：

Leissa[15]已求得極坐標系下（2）式的解為：

1.1 內邊界條件

在薄板彎曲理論中，由彈性力學[16]可得圓板的轉角φ、彎矩Mr、橫向有效剪力Vr為：

若內邊界固支，則滿足：

以固支為例，將（3）式代入（5）式可得：

由（7）式可以求得：

對于三種邊界情況，（8）式均成立，只是對應不同的邊界情況，系數不同。

對于簡支情況：

對于自由邊界：

將（8）式代入（3）式，則撓度函數中未知量的個數減少，可以寫為：

1.2 外邊界條件

坐標系固定在圓孔中心位置，外邊界的形狀可任意，近似地用若干離散點取代外邊界的連續曲線，使其各自滿足對應位置的邊界方程，從而使外邊界條件近似滿足。

如圖2所示，P點為邊界Г上的任意一點，對于曲線邊界而言，三種邊界條件分別表示為[17]：

自由，彎矩和有效剪力為零：（Vt）Γ=0， （Mt）Γ=0

其中：下標t表示P點所在位置的法線方向，m則表示切線方向。

圖2 薄板外邊界Fig.2 Outer boundary of the thin plate

圖3 圓形外邊界上取點Fig.3 Selected point of outer circular boundary

以外邊界為圓形為例，如圖3所示為一塊含圓孔的圓形薄板，O點為圓孔的圓心，O′點為外圓板的圓心，考慮到圓形的軸對稱性，以兩圓心連線方向為x軸，O點為坐標原點建立坐標系，OO′的長度記為e，代表圓孔偏離圓板中心的距離，圓孔的半徑為R。在外邊界上取M個點使它們均滿足邊界條件，假設第i個點為P，其相對于坐標原點O的極坐標為 （ri, θi），其相對于圓板圓心O′的極坐標為（r′ , θi′），顯然r′為圓板的半徑。 對于P點，注意到P點的法線方向為，即圓板的半徑方向。

若外邊界固支，對于邊界上任意一點P，應滿足：

若外邊界簡支，則在P點有：

若外邊界自由，則在P點有：

分別以O和O′為坐標原點建立的坐標系的坐標（r,θ） 和 （r′,θ′）之間的關系，根據偏微分的知識，可得：

且由圖中的幾何關系可得：

從而求得：

以固支為例，將以上結果代入（10）式則P點的邊界條件如下所示，且對于邊界上每個取點都需滿足這兩個方程：

再以矩形板為例，如圖4所示，以圓孔的中心O為坐標原點，沿矩形板的長寬方向分別為x軸和y軸建立直角坐標系，矩形板的中心點為O′，其與O點的水平距離為e1，垂直距離為e2。矩形板的四條外邊界分別記為l1，l2，l3，l4。 設P點為在邊界上取的第i個點，其直角坐標為 （xi,yi），極坐標為 （ri, θi）。

若P點在邊界l1，l2上，則邊界條件為：

若P點在邊界l3，l4上，則邊界條件為：

圖4 矩形外邊界上取點Fig.4 Selected point of outer rectangular boundary

其中：M，V為彎矩和剪力，分別可以由位移函數表示為：

其中涉及到的偏微分運算為：

而由極坐標與直角坐標的關系可知：

仍以固支為例，若P點在l2邊界上，則滿足的兩個邊界條件為：

其他兩種情況只需代入相應的邊界條件即可，在此不作贅述。

2 求解分析

綜合以上的分析，在（9）式中若取截斷項數為N，則待定系數為：C，D，C，D，C*，D*，…，C，D，C*，

001111NNN D*N，共有（4N+2）個未知量。在外邊界上取M個點，每個點滿足各自的兩個邊界條件，則可得到2M個方程。最終獲得的方程組表示為：

若2M=4N+2，即方程數與未知數個數相等，恰好能將未知數求解出，若2M＜4N+2，即方程個數少于未知數個數，所得解不唯一。若2M＞4N+2，即方程個數大于未知數個數，可以通過最小二乘法來求得唯一解。因此在選擇截斷項數和外邊界上點數時，為確保求解的唯一性，應滿足2M≥4N+2。

要由（20）式求自由振動固有頻率只需使矩陣A的行列式為零，即由該方程求解得到的頻率即為固有頻率。但是首先矩陣A不一定為方陣，求解其行列式困難，因此可以轉化為解，其中ATA為一個（4N+2）×（4N+2）的方陣。其次由邊界方程可以看到，矩陣A中的項涉及貝塞爾函數，且表達式較復雜，并非關于頻率的線性項，因此并不是一個線性方程，難以直接求得固有頻率。參考文獻中對非線性方程求根的做法[18]，轉化為取值具體做法即是在頻率域內循環，每個頻率對應的行列式值 的倒數取對數，當出現極大值時，認為該頻率為固有頻率的平方。

理論上，在邊界上選擇的點數越多，越能真實還原出邊界的形狀。截斷項數越大，撓度函數越精確。實際上，M與N不可能取無限大，而且它們的取值關系到結果的準確性和運算的效率。為了確定M的取值，首先運用上述方法計算普通的不含圓孔的平板的自由振動頻率。

表1和表2列出了Leissa在《Vibration of plates》一書中求解的周邊固支圓板和周邊固支正方形板的無量綱化自由振動固有頻率與本文計算結果的對比。N為截斷項數，M為外邊界等距取點個數，括號內表示的是矩陣A的維數。由表1可見，N=3，M=8時，結果已經足夠準確。而對于矩形板而言，因為有轉角，形狀比圓板更復雜，需要在邊界上取更多的點以保證邊界的形狀（在此M均取為偶數以保證結構的對稱性），因此相對應截斷項數N也要取更大一些。表2中可見在N=5，M=12時，與N=4時的計算結果對比誤差已經減小，而且在M=16時，由于A的維數差異較大，存在明顯的漏頻現象。由Hegarty等[8]和Ariman等[19]的研究可知，方程個數和邊界取點個數有一定的比例，結果才更精確，而并非越大越好。由本文選取的算例可見，在本文的情況中方程數與未知量個數的比值大致為1時較為準確。因此為了運算的速度和結果準確性，N和M不需要再取得更大，在以下含圓孔的算例中，選取圓板參數N=3，M=8，選取矩形板參數N=5，M=12。

表1 周邊固支的圓板的自由振動頻率（無量綱參數=，泊松比0.3，a為圓板半徑）Tab.1 Natural frequencies of clamped circular plate(Dimensionless frequencyPoisson’s ratio 0.3,radius a)

表1 周邊固支的圓板的自由振動頻率（無量綱參數=，泊松比0.3，a為圓板半徑）Tab.1 Natural frequencies of clamped circular plate(Dimensionless frequencyPoisson’s ratio 0.3,radius a)

理論解（Leissa）[15]N=3 N=4 M=7（14×14）M=8（16×14）M=10（20×14）M=9（18×18）M=10（20×18）M=12（24×18）3.196 4.611 5.906 6.306 7.144 7.799 3.196 2 4.610 9 5.905 9 6.306 4 7.144 2 7.798 7 3.196 4.611 5.906 6.306 7.143 7.799 3.196 4.611 5.906 6.306 7.144 7.799 3.196 4.611 5.906 6.306 7.144 7.799 3.196 4.611 5.906 6.306 7.144 7.799 3.196 4.611 5.906 6.306 7.144 7.799

表2 周邊固支的正方形板的自由振動頻率（無量綱參數，泊松比 0.3，l為板寬）Tab.2 Natural frequencies of clamped square plate(Dimensionless frequencyPoisson’s ratio 0.3,edge length l)

表2 周邊固支的正方形板的自由振動頻率（無量綱參數，泊松比 0.3，l為板寬）Tab.2 Natural frequencies of clamped square plate(Dimensionless frequencyPoisson’s ratio 0.3,edge length l)

理論解（Leissa）[15]（20×18） Error M=12 N=4 N=5 M=10（24×18） Error M=12（24×22） Error M=16（32×22） Error 5.924 5 8.538 1 10.366 8 11.473 4 12.844 8 14.503 4 14.809 5 5.927 8.248 10.564—12.779 13.952—0.04%-3.40%1.90%—-0.51%-3.8%—5.889—10.564 11.476——14.931-0.60%—1.90%0.02%——0.82%5.889 8.442 10.564 11.476 13.298 14.311 14.931-0.60%-1.13%1.90%0.02%3.53%-1.33%0.82%5.968——11.926 12.840——0.73%——3.94%-0.04%——

3 含孔平板算例分析

首先考慮含圓孔的圓板的振動問題。如圖5所示，圓孔中心與圓板的中心距離為e，圓孔半徑為b，圓板半徑為a，顯然應有b＜a，0≤e＜a-b，假設邊界條件為外邊界固支，內邊界自由，計算無量綱化自由振動頻率

若在圓板上含一個同心圓孔（e=0），即為一個圓環板的自由振動問題，則不同b/a比值下的結果與解析解的對比如表3所示。

表3 外周固支，內圓孔自由的圓環板自由振動頻率 Tab.3 Dimensionless natural frequency，泊松比1/3of annular plate with clamped outer boundary and free inner boundary,Poisson’s ratio 1/3

表3 外周固支，內圓孔自由的圓環板自由振動頻率 Tab.3 Dimensionless natural frequency，泊松比1/3of annular plate with clamped outer boundary and free inner boundary,Poisson’s ratio 1/3

階數b/a=0.1 b/a=0.2 b/a=0.4 b/a=0.6 Leissa[15] 本文 Error（%） Leissa[15] 本文 Error（%） Leissa[15 本文 Error（%） Leissa[15 本文 Error（%）1 2 3 3.191 4.601 5.875 3.195 4.597 5.892 0.13-0.087 0.29 3.216 4.525 5.819 3.200 4.498 5.797 0.12-0.60-0.38 3.680 4.450 5.598 3.699 4.396 5.593 0.52-1.21-0.09 5.060 5.340 6.050 5.096 5.297 6.003 0.71 0.81 0.78

由表1可見，本文的計算結果與經典理論中的結果相比，誤差小，基本一致，由此可驗證本文理論的正確性和可行性。

圖5 含偏心圓孔的圓板Fig.5 Circular plate with an inner eccentric circular hole

圖6 不同孔洞尺寸下圓板基頻隨偏心距的變化Fig.6 The variation of fundamental frequency of circular plate with eccentricity under different hole sizes

當偏心距e不為零時，即圓孔相對圓板中心產生偏心。圖6對比了五組不同的圓孔尺寸下，圓板的無量綱基頻隨偏心距的變化。顯然可見，當內孔尺寸擴大，頻率升高。隨著偏心距的增大，基頻均呈現降低趨勢，孔徑越大，偏心對于結構的影響就越大。如圖7所示，本例計算含圓孔的正方形板，圓孔中心與矩形板中心x方向的距離為e1，y軸方向的距離為e2，圓孔半徑為r，正方形板邊長為L，顯然 0≤e1＜L/2-r，0≤e2＜L/2-r，圓孔內邊界自由，無量綱化頻率取為

表4 含不同半徑圓孔的四邊固支正方形板前兩階頻率 ，泊松比0.3Tab.4 The first two dimensionless natural frequenciesof clamped square plate with a central circular hole under different hole sizes,Poisson’s ratio 0.3

表4 含不同半徑圓孔的四邊固支正方形板前兩階頻率 ，泊松比0.3Tab.4 The first two dimensionless natural frequenciesof clamped square plate with a central circular hole under different hole sizes,Poisson’s ratio 0.3

階數2r/L 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 1 2 5.889 8.442 5.883 8.442 5.874 8.433 5.882 8.401 5.923 8.335 6.006 8.241 6.139 8.144

圖7 含偏心圓孔的正方形板Fig.7 Square plate with an inner eccentric circular hole

圖8 四邊簡支不同孔洞尺寸下方板基頻隨偏心距的變化Fig.8 Fundamental frequencies of simply-supported square plates with eccentricity under different hole sizes

首先考慮方形板正中含圓孔的問題，設e1=0，e2=0，計算了外邊界四邊固支情況下的固有頻率，如表4所示。當圓孔不再位于板中心位置時，圖8對比了在四邊簡支外邊界下圓孔沿單方向偏心和沿對角線方向偏心的基頻變化規律。

與圓板不同的是，由表4的數據可見，在四邊固支的邊界情況下，基頻呈現先減小后增大的趨勢，而第二階頻率則只有下降的趨勢。而由圖8可見，當孔徑由2r/L=0.05變大為0.1時，固有頻率略有下降，而變大至0.2時，又有明顯提升，這與表4的結果是一致的。Hegarty等[8]認為這是由于開孔使應變能減少，及降低整板質量共同決定的，當質量減輕對固有頻率的影響未超過能量對頻率的影響時，固有頻率就會降低，反之則會升高。此外，內孔僅沿一邊偏心時固有頻率變化幅度遠小于內孔沿對角線方向偏心，尤其是在孔徑較大或偏心距較大時，固有頻率的下降非常明顯。由此可知，具有較大開孔尺寸及較大偏心距的平板是較為不穩定的。

4 結 論

本文基于經典薄板理論，結合數值計算方法，求解了含圓孔的薄板振動問題。坐標系建立于孔的中心，因此內邊界方程能精確滿足，通過對外邊界上取點使其分別滿足邊界條件從而模擬外邊界情況。與經典解析解的對比證明了本文方法是正確有效的，對于偏心孔洞的計算表明了孔洞偏心能使結構基頻降低，且孔洞尺寸越大，其影響效果越顯著。理論上本文的方法能夠適用于計算多種規則孔洞和多種外邊界形狀，不過對于外邊界點和待定系數的選取數量會直接影響計算效率，因此在計算其他形狀的平板和孔洞時仍需進一步討論和驗證。