內外壓力作用下復合材料夾芯圓柱殼的屈曲及面芯分層擴展研究

李澤成 ，吳 健 ，王緯波

（1.中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點實驗室，江蘇 無錫214082；2.江蘇省綠色船舶重點實驗室，江蘇 無錫 214082）

0 引 言

我國的潛艇廣泛采用雙殼的結構形式，這種潛艇在耐壓船體之外有一層非耐壓船體—輕外殼，輕外殼可以做成良好的流線型，從而減小水下航行阻力。潛艇耐壓船體一般采用環肋圓柱殼的結構形式，耐壓船體前后還采用環肋錐殼或半球殼等結構。相較于耐壓殼而言，輕外殼一般比較薄。輕外殼直接浸入海水中，受到波浪沖擊、水面漂浮物的碰撞以及停靠碼頭時相互碰撞，容易銹蝕及變形，需要經常維修保養及修理。若潛艇的輕外殼采用拆卸式復合材料夾芯結構，則復合材料結構的輕外殼比金屬材料的輕外殼具有更好的耐腐蝕和易維修等特性。在滿足同樣強度要求下，輕外殼的重量有可能降低，因此復合材料結構在潛艇輕外殼上具有廣闊的應用前景。

對于傳統的鋼制潛艇輕外殼，由于承受內外等壓作用，而且輕外殼比較薄，因此不存在穩定性問題，其強度也非重點考慮對象。然而對于厚度比較大的復合材料夾芯圓柱殼這種特定結構而言，內、外表面的內徑差使得內、外表面的壓力不等，由于壓力使得圓柱殼外側部分受壓，內側部分受拉，這有可能導致復合材料夾芯圓柱殼發生外面板褶皺屈曲（face sheet wrinkling）。而且瑕疵或者缺陷對夾芯結構的穩定性影響較大，常見的一種缺陷就是面板和芯體之間分層，即裂紋發生在面板和芯體的界面。它有可能是在制造過程中產生，也有可能是在夾芯結構服役過程中受到外來物的低速沖擊產生，而且一般很難從夾芯結構的表面觀察到。然而它將會使得夾芯結構的強度和剛度下降，導致夾芯結構在未達到預定設計載荷前發生破壞或者失穩。同時，當載荷達到一定程度時，分層將會發生擴展，最終使結構失效。

對于簡單的夾芯板殼結構已經研究得比較深入了，圓柱殼夾芯結構基本上是研究在軸向壓縮作用下的屈曲和后屈曲。Hadi[1]分別用基于能量理論與Raleigh－Ritz法的解析法和基于Reissner-Mindlin理論的有限元法兩種方法研究了壓縮載荷下柱狀夾芯結構的對稱與反對稱面板褶皺屈曲，結果與實驗吻合良好。Gdoutos等[2]對壓縮載荷下的柱狀夾芯體、三點和四點彎曲載荷下的夾芯梁和端部壓縮載荷下的懸臂夾芯梁等各種情況下面板褶皺屈曲做了大量的實驗研究，提出了一種修正的Hoff和Mautner表達式。Dafedar等[3]提出了一種混合、高階解析方程列式，用來研究任意鋪層順序下復合材料層合面板和層合芯體的夾芯平板穩定性（整體屈曲和面板褶皺），所得結果與三維彈性理論解以及實驗結果吻合，并指出了等效單層理論方法在分析該問題時的不足。Kuhhorn等[4]在自己以前的工作基礎上，提出了一種考慮芯體翹曲的八個自由度的夾芯板殼理論，并分析了壓縮載荷下夾芯平板的對稱與反對稱面板褶皺。Skvortsov等[5]用解析法研究了多種面內組合載荷下復合材料夾芯曲殼的非對稱和反對稱面板褶皺屈曲，在本構關系、幾何形狀和載荷取極限狀態下結果與以前學者所得結果相符。Pokharel等[6]用有限元法和實驗手段研究了壓縮載荷作用下含有筋條的夾芯板的面板褶皺屈曲，討論了不同筋高和筋間距對結構面板褶皺屈曲的影響。潘光等[7]用非線性數值分析方法對外部壓力作用下復合材料圓柱殼體的水下屈曲行為進行研究，首先引起纖維的微觀屈曲使基體產生剪切變形，然后發生殼體整體變形。Goswami等[8]用虛裂紋閉合技術（VCCT）計算分層前緣的能量釋放率，在ABAQUS平臺上研究了在橫向載荷作用下含面板芯體分層的夾芯結構的Ⅰ型和Ⅱ型能量釋放率隨著芯體彈性模量、面板厚度等參數的變化情況。張彤彤[9]通過虛擬裂紋閉合法建立模型來模擬塑性鋼板的破壞過程，提出了CFRP加固含裂紋鋼板加固量的計算方法。陳悅等[10]基于非線性RIKS算法，建立了軸壓作用下含預裂縫復合材料圓柱殼極限承載能力計算模型，預測結構漸進破壞模式及極限載荷。

然而，對于潛艇夾芯輕外殼，其載荷形式為內、外表面承受大小相等的壓強（內外等壓），在這特定載荷形式下的穩定性及分層擴展方面的研究還未見公開文獻報道。因此本文以圓柱殼夾芯結構為對象，用有限元法研究其在內外等壓載荷作用下的穩定性及分層擴展。

1 基本理論

1.1 屈曲分析有限元列式

根據穩定性理論和最小勢能原理可以得到在小變形情況下屈曲前平衡方程和屈曲平衡方程為[11]：

式中：［KL］為結構線性總體剛度陣；［Kσ］為結構的幾何剛度陣；｛u｝為節點位移向量；｛P｝為外載荷向量；λ是比例因子。

求解小變形情況下的屈曲控制方程是一個典型的特征值問題，本文采用Lanczos法[11]求解其特征值及其對應的特征向量，即求解夾芯結構的屈曲臨界載荷及其對應的屈曲模態。

1.2 分層擴展準則

本文采用總能量釋放率準則（G準則）作為分層擴展準則[12]，認為當裂紋擴展所釋放出來的應變能等于或大于裂紋擴展所需要的能量時，裂紋將失穩擴展。G準則表達式為

式中：Gc為極限總能量釋放率；G為應變能釋放率。將上式兩端同時乘以裂紋面積A，得

式中：Uc為裂紋擴展所需要的能量；ΔU為裂紋擴展所釋放出來的應變能。

本文先對面板和芯體之間含有分層的夾芯結構進行靜力分析，得出其應變能U1。然后假定分層擴展了一個小量長度，再對其進行靜力分析，得出其應變能U2。則裂紋擴展所釋放的應變能ΔU為

2 無損傷夾芯圓柱殼屈曲分析

2.1 單元選擇和考證

本文的數值計算是在大型通用有限元計算分析軟件ABAQUS平臺上實現的。根據分析模型的特性，可以作為平面應變問題來分析，故選取CPE8R單元，它是八節點、二次四邊形平面應變單元，且采用減縮積分。

以單一材料圓柱殼在外壓作用下的穩定性為例來驗證該單元的有效性。設圓柱殼內徑7 m，厚度80 mm，承受均勻外壓作用。材料的彈性模量為15.502 GPa，泊松比為0.14。則其各階屈曲臨界力[13]為

式中：n＝2，3，4，……，為半波個數；E為材料彈性模量；h為圓柱殼厚度；ν為材料泊松比；R為環截面中心線的半徑。

在ABAQUS建模，選取CPE8R單元，劃分網格為1×360，即徑向劃分1個單元，環向劃分360個單元，選取Lanczos法求解前十階特征值。本文還在ANSYS平臺上求解了該問題，選取PLANE183單元，也是八節點平面應變單元，網格剖分完全與ABAQUS相同。計算結果見表1。

從表1可以明顯看出，ABAQUS和ANSYS得出的數值解是一致的，而且它們的數值解與解析解十分吻合。

表1 均勻外壓作用下圓柱殼各階屈曲臨界力的數值解與解析解比較Tab.1 Comparison of analytical solutions and numerical results for critical buckling stress of the cylindrical shells under uniform exterior pressure

2.2 結構模型

芯體材料常數：Ec＝270 MPa，νc＝0.3。面板材料常數：Ef＝15.502 GPa，νf＝0.14。圓柱殼內徑 7 m，芯體厚60 mm，設計三種夾芯結構：

（1） 內面板厚度為tf i＝4 mm，外面板厚度為tfo＝6 mm，記為 Model 1；

（2） 內面板厚度為tf i＝10 mm，外面板厚度為tfo＝10 mm，記為 Model 2；

（3） 內面板厚度為tf i＝6 mm，外面板厚度為tfo＝6 mm，記為 Model 3。

圓柱殼的內、外表面承受相同大小的均布壓力。

2.3 有限元網格疏密的影響

對Model 1，面板和芯體環向均勻劃分1 440個單元，內、外面板徑向劃分一個二階單元，討論芯體徑向單元個數對屈曲臨界力的影響。此時夾芯圓柱殼的屈曲模式為外面板褶皺（face sheet wrinkling），如圖1所示，這是夾芯結構特有的一種屈曲行為。該種外面板的屈曲行為顯然與芯體相關，因此需要一定數量的單元來模擬芯體。結果（見圖2）表明，芯體徑向至少需要劃分3個二階單元才能滿足精度要求。本文在下面的數值計算中，各個分析模型的芯體徑向單元個數取為芯體厚度與外面板厚度的比值。

圖1 外面板褶皺屈曲（整個圓柱殼的一小部分）Fig.1 Wrinkling of exterior skin(on the exterior part of the cylindrical shell)

還是對Model 1，內、外面板徑向劃分一個單元，芯體徑向均勻劃分10個單元，研究芯體和面板環向單元個數對屈曲臨界力的影響，結果如圖3。當環向劃分360個單元時，單元最大邊長約為60 mm，最小邊長為4 mm（即內面板厚度），兩者比值約等于15，大于單元臨界邊長比值10，因此所得的屈曲臨界力是不夠精確的。當環向劃分540個單元時，單元邊長比值剛好等于臨界值10，因此環向至少需要劃分720個單元。本文在后面的數值計算中，每個模型環向均劃分1 440個單元。

圖2 屈曲臨界力隨芯體徑向單元數量變化曲線Fig.2 Critical buckling stress versus core’s element number in radial direction

圖3 屈曲臨界力隨芯體和面板環向單元數量變化曲線Fig.3 Critical buckling stress versus the core’s and shell’s element number in circumferential direction

2.4 芯體彈性模量的影響

對Models 1-3，假定芯體的彈性模量變化，研究其對結構穩定性的影響。由圖4可見，總體來看選擇高模量的芯體，夾芯結構的穩定性也隨著增強。由于Model 2的內、外面板厚度相對于芯體來說比較厚，圖中屈曲臨界力曲線是隨著芯體彈性模量的增加而線性上升的。而Model 1和Model 3的面板厚度相對比較薄，所以臨界力曲線不是線性遞增的，而是上升速度逐漸變緩。

2.5 芯體泊松比的影響

由于芯體采用的是泡沫材料，它并不是嚴格的線彈性材料，而特征值屈曲分析要求材料是線彈性材料，所以本小節研究芯體泊松比對結構穩定性的敏感性，即除了芯體泊松比外，其余數值與2.2節相同。結果見圖5。屈曲臨界力隨著泊松比的增大而增大，且影響程度越來越劇烈。當泊松比小于0.2時，影響不大；但是當泊松比從0.3變化到0.4時，屈曲臨界力增加了約70%。

圖4 芯體彈性模量對屈曲臨界力的影響曲線Fig.4 The effect of core’s elastic modulus on critical buckling stress

圖5 內外等壓下芯體泊松比對屈曲臨界力的影響曲線Fig.5 The effect of poisson’s ratio on critical buckling stress under identical interior and exterior pressure

由于查找不到相關文獻對芯體泊松比的討論，本文在只加外壓的情況下再次對三個模型進行了研究，結果見圖6。發現此時三個模型芯體泊松比對結構穩定性的影響可以忽略不計，與通常情形相吻合，從而確認本文正確地數值模擬了夾芯結構的穩定性。因此，在受內外等壓作用時，芯體泊松比確實對結構穩定性影響比較大。

圖6 單獨外壓下芯體泊松比對屈曲臨界力的影響曲線Fig.6 The effect of Poisson’s ratio on critical buckling stress under exterior pressure

圖7 芯體與外面板厚度比值對屈曲臨界力的影響曲線Fig.7 The effect of core to exterior skin thickness ratio on critical buckling stress

2.6 芯體與面板厚度之比的影響

本小節里芯體厚度是變化的，其余參數不變。由于Model 1的內、外面板厚度不相等，為簡單起見，這里指芯體與外面板厚度之比，即芯體的厚度是隨著與外面板厚度的比值而變化的，結果如圖7所示。當比值小于5時，三個模型發生的結構整體失穩，屈曲臨界力相差不大。隨著比值的繼續增大，三個模型發生了局部失穩--外面板褶皺，且屈曲臨界力逐步下降，這是因為從整體失穩過渡到局部失穩時，外面板的褶皺變形對內面板和芯體是有影響的，隨著比值的增大，影響逐步減小，使得結構的穩定性逐步只由外面板的剛度來承擔。如果單獨從穩定性方面考慮，對于本文給定的材料常數，設計時取芯體厚度與外面板厚度的比值為5或者6最佳。

2.7 圓柱殼內徑大小的影響

圖8 夾芯圓柱殼內徑對屈曲臨界力的影響曲線Fig.8 The effect of the sandwich cylinder’s interior radius on critical buckling stress

對于Models 1-3，假設夾芯圓柱殼的內徑大小是變化的，而其它參數保持不變，研究圓柱殼內徑大小對結構屈曲臨界力的影響。從計算結果圖8可以看出，當圓柱殼內徑小于3 m時，結構的穩定性隨著內徑的增大而顯著提高，而且Model 1和Model 3的屈曲臨界力曲線在內徑較小時是基本重合的，這是因為此時的屈曲模式僅僅是外面板的褶皺屈曲，且外面板的褶皺行為未影響到內面板。隨著圓柱殼內徑的進一步增大，屈曲臨界力的變化逐漸變緩，即此時圓柱殼內徑的大小對屈曲臨界力影響很小，這正是面板褶皺屈曲的重要特性。

3 含面板/芯體分層損傷夾芯圓柱殼的分層擴展分析

潛艇在入水及服役過程中，極有可能會由于低速碰撞而引起面板和芯體之間的分層，這種分層的存在將會大大降低結構的穩定性，而且分層在一定潛深時可能會擴展。本節將研究內外等壓作用下含面芯分層損傷的夾芯圓柱殼的分層擴展行為。

3.1 Griffith裂紋能量釋放率考題

考慮Griffith裂紋問題（即無限大平板帶有穿透板厚的中心裂紋，且受到無窮遠處的單向均勻拉伸的裂紋問題），則平面應變狀態下Griffith裂紋的能量釋放率[9]為：

式中：σ是無窮遠處的均勻拉伸應力，E是彈性模量，a是Griffith裂紋長度的一半。

在ABAQUS上建模，拉力取20 N/m，矩形板沿拉力方向長1 m，與拉力方向垂直的長度為0.84 m，中心裂紋長度2a＝0.04 m，厚度L=1 m，仍然選取CPE8R單元，每個單元邊長為0.01 m，進行靜力分析得到擴展前應變能U1及假定裂紋沿兩端同時擴展δ＝0.001 m后的應變能U2，則能量釋放率為：

經計算得Ganalytical＝1 589 J/m2，Gfinite＝1 453 J/m2，有限元法與解析解誤差為8.6%，兩者基本吻合。事實上，用該方法所得的能量釋放率的精確表達式為：

即δ應該是趨近于零的一個無窮小量，而在有限元法中只能盡量取一小值，因此這是造成有限元法和解析解誤差的最主要因素。而且目前只對裂紋劃分了4個單元，若進行網格加密對裂紋劃分16個單元，則誤差可降低到4.1%。同時預計若采用奇異元將使得誤差進一步減小。

3.2 面/芯分層損傷夾芯圓柱殼的分層擴展

假定三個模型在外面板與芯體之間有一定長度的分層，本節研究分層開始擴展所需的載荷。極限總能量釋放率Gc＝8 000 J/m2，如果分層同時沿兩端同時擴展δ＝0.01°（0.622 mm），則分層擴展所需要的能量

式中：L是圓柱殼長度，本文用的是平面應變單元，故L=1 m；第一個2指分層沿兩端同時擴展；第二個2指分層擴展δ時，外面板和芯體兩部分同時脫開。

在ABAQUS平臺上建立模型，網格劃分原則與前面相同，即環向1°劃分4個單元，內面板和外面板各劃分一個單元，芯體的單元個數為芯體厚度與外面板厚度的比值。在芯體與面板分層處引入接觸條件，避免受載變形時發生外面板穿入芯體。打開大變形選項，且采用逐步加載方式加載，計算每一步結構的應變能，用Newton－Raphson迭代法分別對未擴展和已擴展的兩種結構進行非線性靜力分析，求得兩者的應變能，并用后者減去前者得到ΔU曲線，當ΔU＞Uc時，即認為此時分層發生了擴展，所對應載荷即為分層擴展載荷。

經過大量的數值計算，發現在當前結構形式和載荷條件下，分層在結構發生屈曲前不會擴展。圖9是Model 2具有20°分層長度下的ΔU曲線圖，從圖上可以明顯看出，在結構屈曲前，ΔU為0。由于屈曲后步長增量為變步長，分層未擴展和擴展后對應的兩條應變能曲線相減后會出現插值，而插值導致了ΔU曲線開始發生振蕩。所以在當前分析模型下，只要確定含分層損傷的夾芯結構的屈曲臨界力就可以了。

計算過程中還發現不同的最大步長增量所求得的屈曲臨界力有較大影響，為此對無分層損傷的Model 2用兩種方法進行后屈曲分析，結果如表2所示。表2中STABILIZE法是指引入耗散能量百分比并采用自動增量步長的Newton－Raphson迭代法，本文取耗散能量百分比為1e-6；RIKS法指采用修正的弧長法；誤差指與特征值屈曲得出的屈曲臨界力做比較，即383.06 MPa。顯然，在求解后屈曲問題時，RIKS法比STABILIZE法要穩定，STABILIZE法在步長較小時才能趨于穩定。

圖9 含20°分層長度Model 2的ΔU曲線圖Fig.9 The curves of ΔU of model 2 versus the length of lamination with 20°cross-ply angle

表2 最大增量步長對STABILIZE法和RIKS法的影響Tab.2 Comparison between STABILIZE and RIKS with respect to the biggest increment step

3.3 面板/芯體分層損傷夾芯圓柱殼的穩定性

然而對于含分層損傷結構，RIKS法的最大增量步長還是需要選取小量，避免外面板和芯體間發生嵌入。對當前分析模型，STABILIZE法和RIKS法的最大增量步長都只能取到0.5 MPa。考慮到特征值屈曲分析所得屈曲臨界力與兩種后屈曲算法所得結果相差不是很大，但能節省大量的計算時間，因此本文采用特征值分析法求解含分層損傷夾芯結構的穩定性，該結果比后屈曲算法所得結果大1%左右。

三個模型隨著分層長度的屈曲臨界力變化曲線如圖10所示。當分層較小時，分層對結構的穩定性幾乎沒有影響，屈曲模式為面板/芯體分層處外面板的褶皺失穩；當分層大于10°左右時，分層的存在極大地降低了分層附近夾芯結構的剛度，使得該部分夾芯結構發生了失穩，因此夾芯圓柱殼的屈曲臨界力曲線開始急劇下降，最后逐步趨于平緩。

圖10 含分層損傷夾芯圓柱殼的屈曲臨界力曲線Fig.10 Critical buckling stress of the sandwich cylinder with delamination defects

4 結 論

本文用有限元法研究了復合材料夾芯圓柱殼結構在內外等壓載荷作用下的穩定性及分層擴展情況，得到如下結論：

（1）選取彈性模量較高的芯體可以有效地提高夾芯結構的穩定性；

（2）在內外等壓載荷作用下，芯體泊松比對結構的穩定性會有較大影響；

（3）夾芯結構的穩定性并不隨著芯體厚度與面板厚度的比值的增大而線性增大，在當前分析模型下，比值取5或者6時結構的穩定性最好；

（4）即使面板和芯體間發生分層損傷，在內外等壓載荷下，直到結構失穩前分層并不發生擴展；（5）小分層的存在并不影響結構的穩定性，然而超過損傷容限后，將引起結構穩定性的急劇下降，內外等壓載荷作用下，圓柱殼損傷容限在10°左右；

（6）本文計算所得的無損傷和含分層損傷夾芯圓柱殼的屈曲臨界力遠遠大于芯體的壓縮強度（6 MPa），因此對夾芯圓柱殼的潛艇輕外殼，其穩定性是足夠的，只需校核其強度即可。