滯環(huán)非線性系統(tǒng)的自抗擾動(dòng)態(tài)面控制方法*

劉勝榮 孫國法 王 亮

1.青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，青島 266520 2.北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854

在過去幾十年中，為了獲得滯環(huán)的動(dòng)態(tài)特性并實(shí)現(xiàn)精確控制，學(xué)者們?yōu)橄鋵?duì)控制性能的影響做出了不懈努力。例如，文獻(xiàn)[1]解決了一類輸入帶有類齒隙滯環(huán)非線性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)自適應(yīng)控制問題，其中滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)由一個(gè)微分方程描述。隨后，該方法被擴(kuò)展為該類系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊控制問題[2]。與此同時(shí)，文獻(xiàn)[3]研究了一類帶有一般化的Prandtl-Ishlinskii滯環(huán)輸入的純反饋形式的未知非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制。類似的，文獻(xiàn)[4]針對(duì)一類存在不確定性攝動(dòng)并帶有未知類齒隙滯環(huán)嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的控制問題，提出了自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制問題。文獻(xiàn)[5]對(duì)一類前面帶有包含滯環(huán)的時(shí)延非線性系統(tǒng)提出了一種魯棒自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面。上述控制方法基于穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的控制器很難保證系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。本文提出基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的自適應(yīng)魯棒控制解決一類帶有輸入端滯環(huán)的純反饋非線性系統(tǒng)的跟蹤問題。

自抗擾控制器(Active Disturbance Rejection Controller，ADRC)[6]是由韓京清和他的團(tuán)隊(duì)創(chuàng)立的一種新的實(shí)用的非線性控制方法。自抗擾控制和經(jīng)典PID的不同之處是它不依賴被控對(duì)象的精確模型，是一種新型的實(shí)用數(shù)字控制技術(shù)。自抗擾技術(shù)算法簡單，參數(shù)易于調(diào)節(jié)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在非線性環(huán)節(jié)中，自抗擾技術(shù)將跟蹤微分器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和誤差反饋組合在一起，發(fā)揮它們各自的功能。自抗擾技術(shù)的先進(jìn)性主要體現(xiàn)在它能夠?qū)?nèi)部擾動(dòng)和外部干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，而且，自抗擾技術(shù)的反饋采用非線性誤差反饋，這樣能夠提高跟蹤的質(zhì)量。目前，自抗擾控制技術(shù)已經(jīng)在船舶航向控制[7]、飛行器控制[8]、電機(jī)控制[9]和機(jī)器人控制[10]等領(lǐng)域的一些實(shí)際問題中得到了廣泛應(yīng)用。

研究一類含滯環(huán)非線性系統(tǒng)的自抗擾動(dòng)態(tài)面控制策略，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，提高閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能。

1 系統(tǒng)描述與準(zhǔn)備條件

首先給出一類帶有輸入端滯環(huán)的非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題。然后，回顧一些有關(guān)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)的基本知識(shí)以方便后續(xù)提出的控制器的設(shè)計(jì)過程。

考慮如下形式的被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型：

(1)

式中，u齒隙類滯環(huán)非線性的輸出信號(hào)，由如下方程描述:

(2)

其中，α，c，B是常數(shù)且c>B。

研究動(dòng)態(tài)模型式(2)解的性質(zhì)來解釋切換機(jī)制，對(duì)于控制器的設(shè)計(jì)至關(guān)重要。解方程式(2)可得u對(duì)于v的解為

u(t)=cv(t)+d(v)

(3)

其中

(4)

對(duì)于初始值u(v0)=u0。

把式(3)帶入式(1)得

(5)

圖1 輸入信號(hào)為v(t)=ksin(2.3t)時(shí)的滯環(huán)曲線

2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

(6)

其中，z1和z2是新定義的坐標(biāo)變量。

將式(5)帶入式(6)得：

(7)

將式(7)進(jìn)行化簡得

(8)

其中

(9)

作為自抗擾技術(shù)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的主要作用是對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部擾動(dòng)和外部擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，具體算法推導(dǎo)如下。考慮系統(tǒng)形式如下：

(10)

其中,f(x1,x2,t)為未知擾動(dòng)函數(shù)，令x3=f(x1,x2,t),則原式變?yōu)?/p>

(11)

其中，x3定義為擴(kuò)張狀態(tài)。

基于公式變換式(6)，本文設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)為

(12)

其中,β1,β2和β3是增益為可調(diào)參數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，β1,β2和β3取值從小到大，并且依次差一個(gè)數(shù)量級(jí)，非線性函數(shù)取為

(13)

其中，e為反饋輸入誤差，δ>0。在實(shí)際的控制工程界，常用到的經(jīng)驗(yàn)就是：“大誤差，小增益；小誤差，大增益”，因此，當(dāng)輸入誤差信號(hào)時(shí)，可以通過調(diào)節(jié)fal(e,α,δ)的參數(shù)，使得反饋環(huán)節(jié)在誤差較大時(shí)，產(chǎn)生較小的反饋增益；在誤差較小時(shí)，產(chǎn)生較大的反饋增益。在保持系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)，使系統(tǒng)快速的到達(dá)穩(wěn)定。

3 動(dòng)態(tài)面控制器設(shè)計(jì)

自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 自抗擾控制結(jié)構(gòu)圖

其中，xd為參考信號(hào)；v1為過渡過程的狀態(tài)；v2為提取的微分信號(hào)；D(t)為外部擾動(dòng)。zi，i=1,2,3代表擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的3個(gè)狀態(tài)，也就是內(nèi)部和外部總擾動(dòng)的估計(jì)。本論文的主要工作是研究控制器部分，下面進(jìn)行介紹。

如圖2所示，自抗擾控制信號(hào)選為

(14)

其中，b0表示前向通道放大倍數(shù)b的估計(jì)值，u0的形式可以設(shè)計(jì)為多種形式。

如果用經(jīng)典PID控制，因?yàn)閡0為e1和e2的函數(shù)，具體形式表達(dá)為

(15)

其中，反饋誤差定義為

(16)

如果采用非線性控制器控制，例如可以采用滑模控制，具體的表達(dá)形式為

(17)

由于滑模控制信號(hào)式(17)里面包含符號(hào)函數(shù)，會(huì)給系統(tǒng)帶來高頻顫振。在本文中，我們采用第2種非線性控制動(dòng)態(tài)面(DSC)，控制信號(hào)組成結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖3 動(dòng)態(tài)面控制器示意圖

在圖3中， 定義如下形式的反饋誤差面：

(18)

其中，xd是被跟蹤的參考信號(hào)；α1是中間虛擬控制信號(hào)，具體形式將在下面設(shè)計(jì)中給出。

上述誤差面的動(dòng)態(tài)可以轉(zhuǎn)化為

(19)

通過求取第2個(gè)誤差面E2對(duì)時(shí)間的微分，可以得到具體非線性反饋動(dòng)態(tài)面控制信號(hào)的表達(dá)形式為

(20)

其中，K1，K2為設(shè)計(jì)常數(shù)；ω是魯棒項(xiàng)，具體形式選為

(21)

其中，dM是誤差的上界，將在后續(xù)中給出；μ2是有界的，滿足不等式

0<|μ2|<μM

(22)

式中，μM是正常數(shù)。

4 穩(wěn)定性分析

考慮如下形式的李雅普諾夫候選泛函：

(23)

對(duì)V求導(dǎo)數(shù)得

(24)

其中，跟蹤誤差信號(hào)的動(dòng)態(tài)滿足：

(25)

(26)

把式(25)和(26)帶入式(24)得

(27)

上式中，不難看出如下不等式成立:

(28)

于是，有不等式

(29)

根據(jù)參考文獻(xiàn)[11]，又有如下不等式成立

(30)

將式(30)帶入式(29)得

(31)

對(duì)公式(31)左右兩端積分可得

因此，閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差是有界的，通過合理選取控制信號(hào)設(shè)計(jì)參數(shù)，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，能夠使得跟蹤誤差任意小。

5 仿真算例

考慮如下形式的含有輸入端滯環(huán)的二階非線性不確定性系統(tǒng)：

(32)

其中，u=H(v)代表輸入端滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)。

結(jié)合式(3)，被控對(duì)象式(31)變?yōu)?/p>

(33)

其中，

α1=γ1cos(ω1t)，α2=γ2cos(ω2t)
b(t)=γ4cos(ω4t)

(34)

式中，

γ1=0.7，γ2=-1，γ4=0.1，ω1=0.5，ω2=0.7，ω4=2

式(31)中

(35)

是輸入端滯環(huán)特性的非線性環(huán)節(jié)部分。其中，參數(shù)值選為K=10,α=5,B1=0.345,c=3.1635,u(0)=0,v(0)=0。

當(dāng)在參考信號(hào)xd=0.8sin(0.5t+0.1cost)的自抗擾控制中加入滯環(huán)特性，取擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的參數(shù)依次為β1=10,β2=100,β3=300，對(duì)應(yīng)的仿真圖像如圖4所示，總擾動(dòng)信號(hào)觀測(cè)存在較大誤差。當(dāng)增大觀測(cè)器反饋增益β3的取值時(shí)，能夠提高擾動(dòng)信號(hào)的觀測(cè)精度，觀測(cè)曲線如圖5和6所示。

圖4 β3=100總擾動(dòng)信號(hào)觀測(cè)曲線

圖5 β3=500總擾動(dòng)信號(hào)觀測(cè)曲線

圖6 當(dāng)β3=900總擾動(dòng)信號(hào)觀測(cè)曲線

在跟蹤相同的正弦參考信號(hào)xd時(shí)，如果用PID控制，觀察跟蹤效果。因?yàn)镻ID的參數(shù)比較難調(diào)，只能根據(jù)曲線變化相應(yīng)地改動(dòng)比例和積分參數(shù)，通過調(diào)節(jié)參數(shù)值發(fā)現(xiàn)，當(dāng)kp=5,kd=0.007時(shí)，效果比較好。經(jīng)典PID的跟蹤效果如圖7所示。

圖7 PID控制跟蹤曲線

由圖7可以看出，輸出信號(hào)曲線的跟蹤效果并不理想。系統(tǒng)輸出信號(hào)y=x1雖然穩(wěn)定，但是跟蹤效果存在很大的誤差，而且存在超調(diào)，達(dá)不到預(yù)期滿意的效果。

當(dāng)采用自抗擾技術(shù)時(shí)，仿真圖像如圖8所示。由圖中曲線可以看出，控制效果明顯優(yōu)于PID控制器。基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)信號(hào)的實(shí)時(shí)觀測(cè)與動(dòng)態(tài)面信號(hào)的補(bǔ)償控制，輸出信號(hào)以很高的精度跟蹤參考軌跡。充分體現(xiàn)了自抗擾控制算法的魯棒性與快速跟蹤性能。同時(shí)，從跟蹤曲線可以看出，所采用的控制信號(hào)并沒有出現(xiàn)滑模控制信號(hào)的抖振問題。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在控制本文第2節(jié)給出的含有輸入端滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)的不確定非線性系統(tǒng)時(shí)，自抗擾控制算法在提高系統(tǒng)的魯棒性和快速性方面明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制策略。

圖8 動(dòng)態(tài)面控制跟蹤曲線

(36)

其中，設(shè)計(jì)參數(shù)通過采用一種根據(jù)經(jīng)驗(yàn)方法取值為kP=30，kI=0.2，kD=0.3來跟蹤一個(gè)給定的參考信號(hào)xd=0.85sin(1.25πt)/(1.25T),T=5s。

對(duì)于改進(jìn)的動(dòng)態(tài)面設(shè)計(jì)方法，其中參數(shù)值選為b0=0.025，c1=10，c2=23，r2=60，自適應(yīng)參數(shù)值選為θ1=θ2=0.5，σ1=σ2=0.025。

6 結(jié)論

研究了輸入端含滯環(huán)的二階不確定非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制問題， 提出了一種自抗擾控制算法。首先通過對(duì)滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)的重新表述和坐標(biāo)變換，設(shè)計(jì)了三階非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器。在對(duì)狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)和總擾動(dòng)信號(hào)同時(shí)觀測(cè)的基礎(chǔ)上，提出了一種動(dòng)態(tài)面控制律，在提高輸出信號(hào)跟蹤參考信號(hào)快速性的同時(shí)，避免了滑模控制帶來的抖振問題。數(shù)值仿真表明，該算法在跟蹤性能方面優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制算法。