元素關聯：小學數學結構化學習的核心

席愛勇

（淮安工業園區實驗學校，江蘇 淮安 223001）

數學是一門結構性很強的科學，不僅有邏輯清晰的知識結構，還有科學系統的方法結構。而作為一門學科，數學對于培養學生的認知結構，尤其是思維結構，顯得尤為重要。

所謂結構，從系統論的視角看，就是指系統內各組成要素之間相互聯系、相互作用的方式。[1]其中系統內各組成要素即元素，相互聯系和相互作用的方式即關聯。因此，結構從本質上講即元素關聯，結構化即元素關聯的過程和方式。

小學數學結構化學習首先要關注數學知識的元素關聯，在找準數學知識的元素基礎上，厘清它們之間的內外關聯，這樣才有可能在抓住數學知識本質內涵的基礎上生長出知識的“突觸”，便于學生連點成線、連線成面、連面成體，建構數學認知結構，發展數學核心素養。可見，元素關聯是小學數學結構化學習的核心。

一、元素關聯的內涵詮釋

所謂元素，即事物最根本的構成要素。數學知識結構中的元素即數學知識結構最根本的構成要素。例如分數的元素有分子、分母、分數線，正方形的元素有邊和角，圓的元素有圓心、半徑、直徑、圓周等。元素關聯就是指元素之間以及元素與外界之間的內在聯系，數學知識結構的元素關聯就是指數學知識內部元素之間的關聯以及內部與外部各元素之間的關聯。[2]例如，圓的元素關聯可以用圖1進行表征。

圖1 圓的元素關聯分析模型

從圖1可知，圓的內在元素主要包括圓心、半徑和直徑。圓心即圓的中心，起確定圓的位置作用；半徑即圓的定長，確定圓的大小，是一條線段，一端是圓心，另一端是圓上任意一點，在同一個圓里，半徑有無數條，長度都相等；直徑即圓的對稱軸，也是圓內最長線段，是經過圓心并且兩端都在圓上的線段，同樣可以確定圓的大小，在同一個圓里，直徑有無數條，長度都相等。圓心、半徑和直徑三者的內在聯系是：半徑的一個端點在圓心，直徑的中心點是圓心，圓內所有半徑和直徑都交于圓心；直徑是由兩個半徑組成的，或者說直徑可以分成兩個半徑，因此，在同一個圓里，半徑長度是直徑的一半，直徑長度是半徑的2倍。圓心與其他知識元素的聯系有：圓心也是事物的原點或源點，例如樹干的生長原點是樹干橫切面的圓心，漣漪水波的源點是圓心，光環的源點是圓心等；再如，車輪的軸心是圓心，花心的位置是圓心……半徑與其他知識元素的聯系有：半徑是用釘子和線畫圓時線的固定長度，是用圓規畫圓時圓規兩腳之間叉開的距離，是鐘面上旋轉的時針、分針、秒針的長度……直徑與其他知識元素的聯系有：直徑是圓對折的折痕，是圓外接正方形的邊長，內接正方形的對角線……

二、元素關聯的教育價值

1.元素關聯有利于理解數學知識的本質內涵，融通形與神的內在聯系

元素關聯即事物內在的本質聯系，數學知識的元素關聯，直接觸及數學知識的內在本質、關系和變化規律，有利于教師和學生對數學知識本質內涵、內在關系和變化規律的理解和把握，賦予數學知識本質意義詮釋，分清數學知識的本質屬性和非本質屬性，融通數學知識形與神的內在聯系。

2.元素關聯有利于實現數學知識的形態轉換，融通教與學的內在聯系

數學知識有三種形態：學術形態、學科形態和學習形態。數學知識的學術形態以理論形式存在，表征形式主要有符號表征、文字表征和圖像表征；數學知識的學科形態以教材形式存在，表征形式主要有符號表征、文字表征、圖像表征和情境表征；數學知識的學習形態以學材形式存在，表征形式主要有情境表征、動作表征、實物表征、圖像表征、口語表征、文字表征和符號表征等。從數學知識的學術形態走向學科形態，是一個圍繞數學元素關聯不斷情境化（問題情境化、意義情境化、應用情境化）的過程；從學科形態走向學習形態是一個圍繞數學元素關聯不斷動態化（情境創設動態化、發生發展動態化、意義建構動態化、抽象模型動態化）的過程?？傊?，從學術形態走向學習形態，是一個圍繞數學元素關聯不斷生活化、直觀化、趣味化、兒童化的過程，讓數學知識表征形式不斷豐富，不斷長出知識“突觸”，以便于和學生已有知識經驗進行關聯的過程，也是教師教的設計過程，體現教師的專業理解和專業創造。反之，從數學知識的學習形態走向學科形態，是一個圍繞數學元素關聯不斷程序化、概念化的過程，從學科形態走向學術形態是一個圍繞數學元素關聯不斷符號化、形式化的過程，從學習形態走向學術形態，表征形式不斷簡化，逐步建構圖式結構，是學生學的發生過程，有利于發展學生的直觀程序思維和抽象形式思維。因此，把握元素關聯有利于實現數學知識不同形態之間靈活而科學的轉換，有效融通教與學的內在聯系。

3.元素關聯有利于實現元素中心的轉換，融通學和用的內在聯系

數學知識無論哪種形態怎么轉換，根本構成要素即元素是始終不變的，其本質都是圍繞元素中心的轉移、轉換和轉變。如在《圓的認識》一課（參見圖2）中，識圓是從認識圓的直徑開始的，將圓對折形成圓的直徑，多次從不同方向對折形成圓心，圓心將直徑一分為二形成兩條半徑，是沿著“直徑—圓心—半徑”的認知路徑展開的；而畫圓是從確定圓心的位置開始，然后確定半徑的長短，再畫出圓的直徑，沿著“圓心—半徑—直徑”的認知路徑展開的；用圓則常常又以圓的半徑為中心，沿著“半徑—直徑—圓心”或“半徑—圓心—直徑”的認知路徑展開。如“8名同學做投籃游戲，怎樣站最公平？”的討論，首先考慮的是每位同學離籃子距離都相等，即根據圓的半徑處處相等來確定每位同學的站位，然后考慮籃子的位置，即圓心的位置，最后考慮在多大的地方舉行，即圓的直徑。又如求圓的周長、面積常常都是要先找到圓的半徑。因此，元素關聯有利于實現元素中心的轉換，融通學和用的內在聯系。

圖2 基于元素關聯的中心轉換模型（以《圓的認識》為例）

4.元素關聯有利于實現結構思維的品質提升，融通識與智的內在聯系

元素關聯分析既是切中數學知識本質內涵、內在聯系和變化規律的分析，也是整體、系統、結構化的分析，有利于學生整體建構認知圖式結構。基于元素關聯分析的數學學習，能夠讓數學知識的呈現方式和學生的認知思維方式合拍，活動的組織形式和學生學習的展開方式合拍，形態情境的轉換過程和學生思維發展軌跡合拍，教師可以實現引導學生輕松抓住數學知識內在本質、關系和變化規律，建構數學認知圖式結構和結構化思維方式，進行結構化思維，提升結構化思維品質，從根本上發展學生數學核心素養。

三、元素關聯的實踐表達

1.學理分析，厘清思路

學理即學習背后的原理，主要包括數學知識的原理和學生認知的原理兩個方面。關于數學知識的原理即數學知識的本質、元素、關聯、結構等內在規律，學生認知的原理即學生認知的發生、發展、關聯、建構等內在規律。學理分析，有助于幫助教師厘清數學知識的來龍去脈，建構數學知識結構，深刻認識學生的認知發生發展序列，幫助學生建構認知結構。

（1）厘清數學知識來龍去脈

學生在學習《圓的認識》一課之前，已經認識過長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形等平面圖形，從圓柱體、球體中整體感知過圓，從物體上描畫過圓，這是學生已有的知識基礎。蘇教版義務教育教科書《圓的認識》一課教材內容都是基于學生的已有知識基礎展開的：從日常生活世界圓形物體中整體感知圓，并從中抽象出作為數學研究對象的圓；通過圓和以前學過的平面圖形對比分析，整體感知圓是由曲線圍成的平面圖形；用多種辦法畫圓；在此基礎上認識圓心、半徑、直徑以及表示方法和各自作用；用圓規畫指定半徑或直徑的圓；發現圓的特征；圓的實踐應用和價值欣賞。為后面學習圓周率、圓的周長、面積計算等知識做好鋪墊。

（2）厘清學生認知發展序列

在《圓的認識》一課中，學生遵循著“整體—部分—整體”的認知發展序列，具體來說，先從日常生活物體中整體感知圓；在圓與球體、圓與其他平面圖形的對比中認識到圓是由曲線圍成的平面圖形；在用多種方法畫圓中認識圓的各部分名稱：圓心、半徑、直徑，各自表示方法和作用，通過用不同方法畫圓體會到圓是到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的集合或運動軌跡；進一步學習用圓規畫指定半徑和直徑的圓；在活動體驗中發現圓的各種特征、各部分之間的內在聯系和各自作用；最后在實踐應用中整體感悟圓的多元價值。

2.學情調研，探明學生

美國教育心理學家奧蘇泊爾指出：“影響學習唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據此進行教學?！睂W情調研即對學生學習情況的調查研究，既要探明學生已有認知基礎，也要探明學生認知發展需求，在現實基礎和可能發展之間尋求學生的“最近發展區”。

例如，在《圓的認識》上課之前，筆者設計了課前自主學習單（略），旨在通過學生的自主學習和問題回答，發現學生的已有認知基礎和認知發展需求。

（1）探明學生已有認知基礎

通過學情調查發現，100%的學生能夠從日常生活中找到圓形物體，如大餅、圓盤、太陽、月亮等，并能從物體中描畫出圓；100%的學生知道球是立體圖形，而圓是平面圖形；83%的學生能夠認識到圓是由曲線圍成的平面圖形，而我們以前學過的長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形都是由線段圍成的平面圖形；60%的學生自己能夠發現，同一個圓里，半徑有無數條、長度都相等，直徑有無數條，長度都相等，直徑長度是半徑的2倍，半徑長度是直徑長度的一半。以上是教師不需要教育引導，學生自己就能夠學會的數學知識和解決的問題。

（2）探明學生認知發展需求

通過學情調查發現，68%的學生用圓規畫圓的方法技能不熟練，需要加以指導和練習；95%的學生想不到用釘子和線畫圓，需要教師啟發、引導和示范；85%的學生還不能認識圓心、半徑、直徑以及表示方法和各自作用，體會不到圓是到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的集合或運動軌跡；72%的學生需要引導才能發現規律，圓是軸對稱圖形，直徑就是圓的對稱軸，圓有無數條對稱軸；90%的學生不能發現“在一個圓里所畫的線段中，直徑最長”；87%的學生不能運用圓的特征和規律解釋生活現象，如“為什么車輪一定是圓形的？”“為什么漣漪一定是圓形的？”“為什么說在一切平面圖形中，圓是最美的？”等，這些都是需要教師引導的學生最近發展區的認知發展需求。

3.學材開發，配置資源

學材即學習支撐材料，既包括直接支撐學習的教科書、參考用書、課件、圖片、視頻以及生活中的物體、模型等各種體驗性學材資源，也包括間接支撐學習的學生尺、圓規、剪刀、釘子、錘子等各種工具性學材資源。學材開發、合理配置學材資源，有利于引導學生積極參與到數學活動中去，從直觀操作入手，逐步抽象概念。

（1）配置體驗性學材資源

圓，存在于自然界，存在于人類社會，也存在于學生已經認識的圓柱體、球體等立體圖形中，還存在于旋轉運動中。因此，我們需要配置自然界中圓形物體或圖片，如荷葉、水果切面、樹干截面、漣漪等；也要配置人類社會中圓形物體或圖片，如車輪、鐘面、建筑物、工藝品；還要配置已經認識的圓柱體、球體等立體模型或圖片；當然，風葉旋轉形成圓、溜冰旋轉形成圓、施工現場繞點畫圓、圓規畫圓等視頻也是需要配置的重要資源，這些資源都是可供學生直接觀察的圓的體驗性學材資源。當然，還有和圓進行對比的以前學過的平面圖形圖片如長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形，圓的半徑、直徑、圓心概念的文字介紹課件或PPT等也是需要配置的重要學材資源。

（2）工具性學材資源

《圓的認識》還需要配置如釘子、線、學生尺、圓規、剪刀、圓形紙片、正三角形紙片、正方形紙片、正五邊形紙片、正六邊形紙片等活動工具性學材資源，讓學生在多樣化的畫圓、量圓、剪圓、折圓、旋轉活動中感悟圓的內外元素關聯，為發展學生結構化思維提供物質支撐和活動保障。

4.學程設計，立體呈現

學程即學習的進程，既要考慮數學知識的展開序列，也要考慮學生思維的發展序列；既要進行學的設計，也要進行教的設計?；诮Y構化思維的學程設計模型如圖3。

數學知識的展開序列可以通過環環相扣的主題問題鏈形式呈現，如《圓的認識》一課我們可以設計如下幾個問題：

連續環節問題一：圓是怎么來的？

關聯環節問題二：圓里有什么？

推進環節問題三：怎樣畫圓？

循環環節問題四：你想對圓說些什么？

圖3 基于結構化思維的學程設計模型圖

對應學生思維發展序列依次是：直觀思維——程序思維——抽象思維——形式思維。依據數學知識展開序列和學生思維發展序列，教的設計可以分為如下幾個環節：問題情境——互動交流——總結提煉——實踐應用。學的設計可以對應的分為如下幾個環節：觀察操作——描述分析——意義建構——拓展提升。使用備課軸，《圓的認識》一課具體學程設計如圖4。

圖4 基于結構化思維的備課軸模型（以《圓的認識》為例）

教的設計以數學知識展開序列為依托，彰顯數學知識結構的形成過程；學的設計以學生思維推進序列為依據，彰顯學生認知結構的形成過程；教與學的設計有機統一在一根備課軸上，便將數學知識結構與學生認知結構形成過程有機統一起來，相互滲透，相互融合，最終形成學生的素養結構。這樣的備課軸，可以讓教師教有結構、教有思路、教得深刻、教得靈動；可以讓學生學有結構、學有思路、學得深刻、學得輕松。

5.學評導引，推進反思

元素關聯，可以從數學知識的元素關聯，走向數學認知、思維方法的元素關聯，最后走向數學核心素養的元素關聯。以學評為導引，推進反思是實現元素關聯遷移轉化的推進器。例如，《圓的認識》一課我們可以引導學生進行如下的學評反思：“認識了圓，你還想對圓說些什么？”讓學生展開想象的翅膀，進一步拓展思維空間，讓元素關聯結構變得開放起來，學生自然從半徑、直徑向圓周長、圓面積延伸。“你認為這次圓的學習經歷對以后學習有什么幫助？”在學評反思中注重學習方法、研究方式、思維方式的元素關聯和相互融通，推進結構化思維方式的轉變，從根本上提升結構化思維水平和品質。

可見，基于元素關聯的小學數學結構化學習是數學學習的重要范式，需要從學理層面厘清數學知識結構和學生認知結構：從學情層面探明學生的已有認知基礎和認知發展需求，精準定位學生的“最近發展區”；從學材層面合理配置各種資源，進行優化組合，支撐學生數學學習的真正發生；從學程層面精心設計數學知識、教、數學知識結構、學生思維、學、學生認知結構的發展序列，用備課軸將其有機組合成一個整體；最后從學評層面推進反思，讓學生實現元素關聯和相互融通，從根本上促進學生數學核心素養的不斷發展。[3]▲