數學“運算能力”的內涵、要求及提升路徑

王強國

（寶應縣實驗小學，江蘇 揚州 225800）

我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標2011年版”）明確把“運算能力”作為數學教學中應特別重視的10個重要能力之一。在小學各個年級都包括不同層次的計算教學，這些內容占據著小學數學教學的大部分時間。運算不僅僅是“數與代數”領域的重要內容，其他部分的數學內容也都與運算有著密切的聯系。盡管如此，廣大教師對“運算能力”的理解還是不夠深入，以至于在實施過程中出現異化現象，對此必須引起重視，反思教學中存在的問題，提高這部分內容的教學質量。

一、“運算能力”的內涵解讀

（一）課標中的“運算能力”

“課標2011年版”中指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”[1]

課標給出的解釋簡明扼要，便于教師理解與記憶，且耐人尋味。第一句話，采用“行為條件+行為表現”的句法結構表述運算能力的內涵，“根據法則和運算律”是行為條件，“正確地進行運算”是行為表現。第二句話，是對前句的補充與強化。一方面是對運算能力的價值定位，從“行為程度”的視角提出期望。同時，也為一線教師具體實踐，提供方法論的指引。這兩句話，有力地刻畫出運算能力的三個主要表現特征：正確運算、理解算理、方法合理（運算途徑簡潔，是方法合理的自然結果）。從字面意思可以解讀為：運算能力主要是有根有據地正確運算的能力，它的作用是促進理解與應用。[2]言下之意：運算能力的培養，主要依靠根據法則和運算律提高正確性，通過理解算理與靈活運用運算解決問題，發展能力。不妨做這樣的區分：運算是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量。能夠按照一定的程序與步驟進行運算，類屬運算技能。不僅會根據法則和運算律正確計算，而且理解算理，能夠根據題目條件尋求合理簡潔的運算途徑，方為高層次的運算能力。

（二）研討中的“運算能力”

1.綜合能力說

即認為運算能力是一種綜合能力。如“運算能力是運算技能與邏輯思維能力等的一種獨特的結合”[3]。也有學者這樣描述：“運算能力不是簡單的加、減、乘、除的計算，而是與觀察能力、記憶能力、理解能力、推理能力、表達能力及想象能力等有關的由低級到高級的綜合能力。”[4]

蘇聯教育心理學家克魯捷茨基的研究，給出了數學能力的九種成分：（1）對于數學材料的形式化知覺的能力，掌握題目的形式結構的能力。（2）在數量關系和空間關系方面，以及在數和字母符號方面進行邏輯思維的能力；用數學符號進行思維的能力。（3）對數學對象、關系和運算的迅速而廣泛掌握的能力。（4）簡縮數學推理過程和相應的運算系統的能力；以減縮的結構進行思維的能力。（5）數學活動中心理過程的靈活性。（6）力求解法的簡潔、清楚、經濟和合理。（7）迅速和隨意地改變心理過程的方向，從正向思維序列轉到逆向思維序列的能力（數學推理中心理過程的可逆性）。（8）數學記憶（對數學關系、類型特征、論證或證明的模式、解題的方法以及探索的原則等的概括記憶）。（9）數學氣質。[5]

2.主要表現說

主要表現說，采用描述性的定義方式，即如果某學生有怎樣的行為程度，那么該學生就具有相對應的運算能力。如“運算能力主要表現為：根據中學數學的法則、公式等進行數學運算中表現出來的正確、合理、靈活、熟練程度上；還表現在理解運算的算理，根據題目條件尋求最合理、最簡捷運算途徑的水平上”[6]。

也有學者認為學生運算能力表現在數學解題活動的幾個方面：（1）迅速、正確地感知數學題目的形式結構（關系及其特點）的概括化能力（對數學材料的形式化知覺能力）。（2）根據題目類型（運算和關系的特點），正確地定出解法模式，根據運算法則、運算律或關系及其性質，定出化歸的方向、解算的程序和變換的方法。（3）心理過程的靈活性，即心理活動迅速重組的能力。打破原有的解法模式而代之以一個新的模式的能力。多方面去試探題目的解法，擺脫思維定式的影響。（4）力求解法簡潔、清楚、經濟與合理。（5）對題目類型、解法模式和原則等的概括化記憶（這種記憶特別有利于數學知識和方法的遷移）。”[7]

上述研究的共同點在于，主要針對中學數學，側重于應用運算解決問題的過程。[8]基于上述研究成果，我們可以得到這樣一些有益的啟示：首先，“運算能力”具有一定的層次性和發展性。從運算的內容看，由非負數到有理數，再到實數；由整數運算，到分式、根式運算。運算能力隨著知識面的不斷拓展，抽象程度的逐漸提高而不斷發展。其次，運算能力并非一種單純的、孤立的數學能力，它需要正確理解相關知識，辨識分清運算條件，合理選擇運算方法，有效設計運算步驟，還要使運算符合算律、算理，最終盡可能簡潔地獲得運算結果，它是算和思的結合、操作和思辨的融合。第三，正確是運算的基本要求，有據是正確運算的前提，合理是運算得以進行的條件，簡潔是運算的質量刻畫。第四，“運算能力”的培養是目標與過程的有機統一體，不可能一蹴而就，其提升需要學生個體內部積極主動的自我建構過程。這些認知有助于我們尋求科學有效的教學策略。

二、“運算能力”的內容要求

小學數學中“數的運算”教學內容，主要包括非負整數的運算，非負分數、小數的運算。對于這部分內容，“課標2011年版”提出了具體要求[9]，參見表1。

與過去相比，“數的運算”內容要求突出體現以下兩方面特點：一是突出培養運算能力的要求。在繼承課程改革實驗積累的成功經驗的同時，提出了運算能力培養的要求。口算方面，把一位數乘、除兩位數的口算學習從第二學段下移到第一學段；筆算方面，第一學段增加整數兩步四則混合運算學習要求；估算方面，要求更明確具體。二是突出發展學科素養的要求。課堂教學不僅要重視讓學生獲取知識，更要重視發展學生的學科素養，培養學生智慧。智慧表現在思考的過程中，是隱性知識的內化與升華。“課標2011年版”內容要求中增加“經歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法”[10]，突出學生探究的過程、思考的過程、反思的過程，以幫助學生從中積累數學活動經驗，發展數學智慧。

三、“運算能力”的提升路徑

小學數學從它的前身“小學堂算術”誕生之日起，就將計算列為首要的學習任務。[11]“課標2011年版”將核心詞從六個增加至十個，“計算能力”改為“運算能力”。回顧總結關于它的教學研究，我們不難發現存在的最大問題是一線教師對之理解的簡單粗淺化，認為“運算能力”的培養就是讓學生會計算，要讓學生會計算，途徑就是練，機械地講解、反復的練習現象嚴重。運算能力的提升，既要教“術”又要教“理”；既要關注“正確求解”又要關注背后的“思想方法”；既要依托“智力因素”又要發揮“非智力因素”的作用。

表1 “課標2011年版”對“運算能力”的具體要求

（一）強化對計算原理的理解

算理即計算的原理，是指四則運算的理論依據，它是由數學概念、性質、定律等內容構成的數學基礎理論知識。算理為算法提供理論依據，是對算法的構建與解釋。[12]算理的厘清是向學生呈現知識形成的過程。沒有算理的算法是機械的，不講算理的教學是低效的。

1.重視基本概念的教學

概念反映著客觀事物的本質屬性以及事物之間的聯系。計算教學中重視基本概念的教學，有助于學生感悟算理，推導算法，為學生計算能力的提升提供有力的支撐。[13]

“9加幾”教學（蘇教版小學數學教材一年級上冊第十單元）。教材創設情境：一個盒子可以裝10個蘋果，盒子里已經放了9個紅蘋果，盒子外有4個綠蘋果。要求“一共有多少個蘋果？”應該將紅蘋果與綠蘋果合起來，所以用加法計算，這依賴于學生對“加法意義”的理解與掌握。“9+4”的計算，學生可以從加數的基數意義角度思考：1、2、3……12、13，依次數完所有的蘋果；也可以結合加數的序數意義建構，紅蘋果有9個，綠蘋果有4個，可以在9的后面接著數四個數。數數的過程與加法的意義、算理的明晰融為一體。“湊十法”是對上述數數過程的提煉與優化。教師引導學生觀察，盒子里有10格，放了9的蘋果，再放入一個蘋果，正好10個，盒子外還剩下3個蘋果，一共13個蘋果，接著嘗試用算式來表達算理，對“湊十法”進一步感知，這其中需要數的組成中“分”與“合”等基本概念的支撐。[14]

2.完善算理的提升過程

“計算教學既需要讓學生在直觀中理解算理，也要讓學生掌握抽象的法則，更需要讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程。”實踐中，對于算理的教學應當經歷“直觀操作——表象操作——抽象分析”的提升過程。

“十幾減九”教學（蘇教版小學數學教材一年級下冊第一單元）。教材以“13-9”為例，呈現如下的情境：盒子里有10個桃，盒子外有3個桃，小猴買9個桃。還剩多少個桃？列式為：13-9=（）。第一步，安排學生直觀操作，要求學生取出1捆（10根）和3根小棒，從中取走9根。可以先取走3根，再拆開1捆，取走6根，剩下4根；也可以直接從1捆中取走9根，將剩下的1根和3根加起來；還可以先拆開整捆與3根合并，從13根里取走9根。第二步，讓學生在同桌交流的基礎上說一說自己的操作方法，學生通常會看著自己的小棒進行復述，雖有直觀，但成分在減少。第三步，對操作方法的比較分析，讓學生討論思考，這三種操作方法之間有什么不同的地方？又有什么相同之處？哪種方法更簡便？在這樣的教學中，直觀與抽象相互促進，有助于學生真正地理解算理，掌握算法。

3.加強算理的多向溝通

北京師范大學周玉仁教授對小學生的數學學習過程曾這樣闡述：小學生數學學習是一個經驗激活、利用、調整、積累、提升的過程，是“對生活中的數學現象的解讀”，是“建立在經驗基礎之上的一個主動建構的過程”。[15]計算教學中，算理的理解也符合上述特征。

首先是縱向的溝通。以“分數除法”為例。教材分多課時，分別教學分數除以整數、整數除以分數、分數除以分數等。其基本的原理都是除法的意義，把一個數平均分成幾份或者一個數里面有多少個另一個數。教學中適時的比較與溝通，有利于學生分數除法的統一算法：甲數除以乙數（不為0），等于甲數乘以乙數的倒數。

其次是橫向的溝通。以“加減法”為例。縱觀加、減法運算內容編排，無論是整數加減法“相同數位對齊”，小數加、減法“小數點對齊”，還是分數加、減法“先通分”，其本質都是為了相同計數單位的數相加減，不僅突出了算法的本質，而且溝通了知識間內在聯系，實現知識“互聯”。

（二）突出對基本數學思想的感悟

史寧中教授認為，“數學思想需要滿足兩個條件：一是數學產生、發展過程中所必須依賴的那些思想；二是學習過數學的人所具有的思維特征。可以歸納為三種基本思想：抽象、推理和模型。”[16]計算教學對數學基本思想的感悟有其自身的優勢。

1.在算例的比較中感悟抽象的思想

從具體的例子中抽象出相應的數學規律，完成算法的歸納，實現方法的優化，是計算教學的任務之一。這里的抽象要重點關注現象中隱含的特征和變化中不變的共性。經歷這樣的學習過程，有助于學生進一步感悟抽象的思想，提高抽象的水平。

“有趣的乘法計算”教學（蘇教版小學數學教材三年級上冊第一單元）。探索“同頭尾合十”的兩位數乘兩位數的計算規律時，教材首先呈現了三道豎式：“22×28”“35×35”“56×54”。教學時，可以先要求學生仔細觀察、比較這幾個算式，說說它們有什么共同的特點，在討論和交流中逐步進行抽象，明確：這些算式都是兩位數乘兩位數，每個算式中兩個乘數十位上的數是相同的，個位上的數相加正好等于10。在此基礎上，要求學生算出每個算式的乘積，繼續觀察、比較得到的幾個乘積，并適當啟發：每題積的末兩位各是多少？積的末兩位的數各是由哪兩個數相乘得到的？每題積里末兩位前面的數各是多少？它們又可看作哪兩個數的乘積？由此，完成抽象：積的末兩位是兩個乘數個位上的數相乘的積，而末兩位前面則是兩個乘數十位上的數與比它大1的數相乘的積。

2.在猜想的驗證中感悟推理的思想

小學數學教學中，對于結論的得出多以不完全歸納的得出。基于不完全歸納法得出的結論真假不能確定，因此需要通過證明進一步確認其可靠性。根據小學生的年齡特點和認知水平，對經由不完全歸納所得到的結論一般不要求進行嚴格意義的證明，只要求他們采用合適的方式進行驗證。這里所說的驗證，一般是指舉例驗證。

“和與積的奇偶性”教學（蘇教版小學數學教材五年級下冊第三單元）。例如，學生依據列出的若干個具體算式歸納出“當兩個加數都是偶數時，和一定是偶數；當兩個加數都是奇數時，和一定也是偶數；當兩個加數中，一個是奇數，另一個是偶數時，和一定是奇數”等結論之后，可以告訴他們：這些結論都是通過對幾個具體例子的觀察得到的，是否一定正確還不好說，所以只是一些猜想。由此，進一步啟發：你能再舉一些例子驗證上面的猜想嗎？你能找到不符合上面這些猜想的反例嗎？通過這樣的活動，一方面可以使相關猜想的可靠性得到增強，另一方面也有助于學生初步感受數學推理的嚴謹性。

3.在有序的表達中感悟模型思想

數學是思維的體操，語言是思維的外殼。計算教學中，讓學生有序地表達，不僅有助于算法的理解，還能促進算法模型的遷移與新建！

“兩位數乘兩位數”筆算教學（蘇教版小學數學教材三年級下冊第一單元）。學生已有的算法模型是兩位數乘一位數的“乘、乘、加”，與本課內容的學習高度關聯。教學中，我們可以激活學生已有的經驗，結合具體豎式，表述兩位數乘一位數的計算方法，“乘、乘、加”的模型得以明晰。在此基礎上，出示例題：每箱迷你南瓜24個，53箱一共有多少個？豎式計算中，一方面，可以讓學生將前兩步算式標注在豎式旁邊；另一方面，在學生完成計算后，要讓學生說一說每一步是怎么算的？求出的是什么量？如圖1引導。

圖1

同時，為了避免無關數字的相互干擾，豎式過程中可采用“遮擋法”，例題中，當計算“24”乘“3”時，可以將“53”中的“5”遮擋住，當計算“24”乘“5”時，可以將“53”中的“3”遮擋住，這樣的遮擋將兩位數乘兩位“轉化”為類似兩位數乘一位數，算法模型在遷移中得以重組！

（三）注重對計算心理的分析

對于計算中學生的錯誤，我們通常用“粗心大意”這個詞來籠統地概括，背后的心理層面的原因思考甚少，因而，對于錯誤的對策不多——重復講解、反復練習；效果不佳——一講再講、一錯再錯。如果我們從心理層面去分析學生計算時的狀態，可能會給計算教學帶來新的啟發。

1.感知粗略：區分不精細

計算技能的熟練需要一定量的反復練習，這種練習還常常處于同一個思維層面。因而，計算教學往往會給師生留下機械、重復的印象。小學生籠統、隨意的感知特點導致計算時出現看錯數字、抄錯運算符號等現象。如把“35”寫成“53”，把“-”寫成“+”，等等。

學生進行計算，必然要通過自己的感覺器官與數據、符號建立聯系。[17]在計算教學中，教師要發揮“先入為主”心理定式的積極作用，重視學生先前的學習，重視學生的首次感知，給學生留下正確、深刻的表象；其次，要重視學生感知的監督，即要養成檢查、比對的習慣，達到強化感知、建立清晰表象的目的。

2.注意分散：動作不同步

小學生，尤其是小學低年級學生，無意注意占據主導地位，到了中高年級，開始向有意注意轉換，這也從一個角度解釋了隨著年級的升高，學生計算層面的低級錯誤減少的原因。小學數學中的計算教學，多安排在低中年級，這符合數學教學的邏輯順序，但與學生注意力的現狀存在沖突。

小學生的注意持續時間短還具有明顯的情緒特點，往往被鮮艷的色彩、富有趣味的故事等所吸引。計算中單調乏味的數字與符號，機械呆板的講解與練習難以吸引學生的注意。因此，教學中要運用生動活潑的教學方式激發學生興趣，如在新授環節，我們可以借助學生喜聞樂見的生活情境、故事情境展開；在探究中，讓學生成為主人，小組交流、相互批改等方式進行；在練習環節，可以適當“小比賽”等形式激勵。

3.思維定式：應用不清晰

思維定式也稱“慣性思維”，是指按照已有的思維活動經驗，定型化了的思維路線、方式、程序或模型。[18]對于學習而言，思維定式猶如一把雙刃劍，對類似內容的學習產生正向的推動力，而遇到“形似神非”的問題時，思維定式會造成學生不假思索的套用，干擾新知的學習。

打破思維定式，教學中，較為有效的方法是對比練習與變式練習。對比練習在現行的各版本的數學教材中均有安排，教者應該為學生的觀察、比較、辨析提供足夠的時空；變式練習即一題多變式練習，有助于學生提高思維的深刻性與警惕性，呈現知識的形成過程。比如“）”，在學生簡便計算后，可以將原題稍作改變為：“，引導學生思考探究。

4.記憶較弱：提取不順暢

記憶時間在幾秒左右的記憶稱之為短時記憶，這種記憶方法在計算時經常用。如將題目中的數據提取，列成算式，將第一步的結果代入下一步等等。在簡單的計算中，學生應對自如。但隨著計算的復雜程度加深，對學生的記憶提出了更高的要求，比如兩位數乘兩位數（連續進位），其中，既有記憶的成分，也有運算的成分，學生錯誤較多。

正確計算需要學生及時、準確、完整地提取儲存的信息，提髙學生的記憶力應該是計算教學的一個分支。教學中，一方面可以進行針對性的訓練，如從200開始，讓學生連續減去8，或者出示一個數9，學生連續加9等，這種“接力”式的訓練，需要學生記住前一步口算后的得數，有助于記憶力的提升；另一方面，計算過程中的輔助環節，也有助于學生記憶，以“48×17”為例，在計算7×48時，七八五十六，可以讓學生將進位的5寫在相應的位置，四七二十八，可以讓學生將“28”寫在草稿紙上，算出28加5后再按第一步的程序進行，事實上，對于一些后進生28加5都達不到脫口而出。

“運算能力”對于學生數學的學習具有十分重要的作用。我們應該從更高層次理解“運算能力”，準確把握其內容要求，并在教學中，不斷探尋有效的教學策略，為提升學生的“運算能力”而不懈追求。▲