關(guān)注歸納推理所隱藏的思想、能力和本質(zhì)

吉智深

（南通師范高等專科學(xué)校，江蘇 南通 226500）

歸納推理是人們間接認識事物和事物本質(zhì)屬性的一種重要思想方法，也是一種人人應(yīng)掌握的科學(xué)方法，歸納推理在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力方面起著很大的作用。其實，歸納推理中還隱藏著一些思想、方法與本質(zhì)，需要我們關(guān)注，否則歸納推理在教學(xué)中的作用就會大打折扣。下面就這些話題，談?wù)劰P者的見解與認識。

一、關(guān)注歸納推理前涉及的：無影的數(shù)學(xué)思想

歸納推理是一種重要的思想方法，如果沒有其他所需思想的支持與配合，那么學(xué)生對歸納推理可能只知其然，而不知其所以然。

如三角形的面積推導(dǎo)時，教材通過插圖（蘇教版五年級上冊第12頁，參見圖1）提出問題：如何求涂色三角形的面積？（每個小方格表示1平方厘米）

圖1

教材編寫的意圖很明顯，就是引導(dǎo)學(xué)生通過歸納發(fā)現(xiàn)：兩個完全相同的三角形可以拼成一個平行四邊形。但在教學(xué)時，我們還要關(guān)注插圖中所給的三角形分別是：直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。為什么在歸納前，把歸納的對象先分類呢？這是因為歸納推理時，對特例有兩個方面的要求：一是量的要求，需要足夠多的特例，范圍要足夠廣；二是質(zhì)的要求，需要特例有典型性和代表性，這兩條基本要求是互為依存、缺一不可的。如果只注重量的方面而忽視質(zhì)的方面，會讓歸納推理得到的規(guī)律不具有一般性。事實上，歸納前先分類，再通過具有代表性的特例歸納出一般的規(guī)律，這樣的情形不僅出現(xiàn)在三角形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)過程中，也出現(xiàn)在分數(shù)乘法和分數(shù)除法算法的歸納推理教學(xué)過程中，將來還會出現(xiàn)在其他歸納推理或數(shù)學(xué)證明中，如正弦定理和余弦定理的公式推導(dǎo)等。

又如釘子板上的多邊形（蘇教版五年級上冊第111頁，參見圖2），求多邊形的面積各是多少平方厘米？每個多邊形邊上的釘子各有多少枚？先數(shù)一數(shù)、算一算，將結(jié)果填入表中，再與同學(xué)說說你的想法。

填好表以后，教材提問：

（1）多邊形內(nèi)只有1枚釘子，它的面積與它邊上的釘子數(shù)有什么關(guān)系？用字母表示出它們函數(shù)關(guān)系后，教材繼續(xù)提問：

（2）如果多邊形內(nèi)有2枚釘子，多邊形的面積與它邊上的釘子數(shù)又有什么關(guān)系？

（3）如果多邊形內(nèi)有3枚、4枚……釘子，它的面積與它邊上釘子數(shù)的關(guān)系會怎樣變化？如果多邊形內(nèi)沒有釘子呢？

圖2

從上面的歸納推理，我們可以發(fā)現(xiàn)多邊形的面積既與它邊上的釘子數(shù)有關(guān)，也與多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)，這是一個二元函數(shù)問題。事實上，小學(xué)數(shù)學(xué)有不少多元函數(shù)的例子，如：矩形面積等于長乘寬是二元函數(shù)；梯形面積等于上底加下底的和再乘高除以2是三元函數(shù)。對于涉及多元函數(shù)的歸納推理時，教師首先要意識到這是個多元函數(shù)問題，雖然我們不能和學(xué)生說這是二元函數(shù)、那是三元函數(shù)，但要做好這種多元函數(shù)思想的滲透，也要認識到如何處理涉及多個變量的歸納推理問題。如釘子板上的多邊形這節(jié)課滲透這樣的思想：先使其中一個變量固定，即固定多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，當多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)為0枚時，1枚時，2枚時，……多邊形面積與多邊形邊上釘子數(shù)的關(guān)系，再通過歸納推理得到多邊形的面積與多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)和多邊形邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系。雖然教材對此沒有做明確的要求，但教師在歸納推理教學(xué)前，要意識到這種多元函數(shù)，做好這方面的滲透，并且要滲透處理這類多元函數(shù)的方法。

我們要在歸納推理前，發(fā)現(xiàn)蘊含其中的數(shù)學(xué)思想，并且深化這些思想，這將會給歸納推理教學(xué)乃至整個數(shù)學(xué)教學(xué)帶來積極的影響。

二、關(guān)注歸納推理中所需的：無形的概括能力

在歸納推理教學(xué)中，教師有時只關(guān)注具體的東西，如概念、規(guī)律、關(guān)系等，而忽視了概括能力的培養(yǎng)，面對一些簡單的規(guī)律，學(xué)生也無法發(fā)現(xiàn)。有趣的乘法計算（蘇教版第三冊第22頁）：

這幾題的乘積會有什么特點？先算一算、填一填，再和同學(xué)交流。

積的末兩位是怎樣算出來的？末兩位前面的數(shù)呢？

第一個問題，不少學(xué)生通過歸納推理順利找到規(guī)律，但第二個問題，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學(xué)生就很少了。為什么？原因可能有二：一是這個規(guī)律因為沒有數(shù)學(xué)表征支持與幫助，單從數(shù)字計算中學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律；二是學(xué)生歸納概括能力不強，對數(shù)字的變化不夠敏感。我們可以指責這樣的“簡易算法”對學(xué)生來說沒有任何的價值可言，但學(xué)生的概括能力不強也是不爭的事實。對于課程標準中的例題，觀察：

15×15=225 25×25=625

35×35=1225 45×45=2025

測試統(tǒng)計表明：能正確地總結(jié)“個位是5的兩位數(shù)自乘規(guī)律”的學(xué)生不足9%，在測試現(xiàn)場也觀察到，相當多的學(xué)生對已有特例看不出規(guī)律。對于這樣的實驗結(jié)果，我們不能一味地去找客觀原因，而應(yīng)該反思歸納教學(xué)的目的，歸納推理不能僅僅停留在“簡易算法”，而應(yīng)該有更高的追求與理想，我們也要反思教學(xué)中概括能力的培養(yǎng)與發(fā)展問題。事實上，概括能力是重要的能力，蔡金法老師曾指出：“數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心?！盵1]這種無形的能力不是通過教師“教”出來的，而是學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動“悟”出來的，那么怎樣才能提高學(xué)生的概括能力呢？

1.歸納推理包括求同法、存異法、同異并用法、剩余法、共變法等，教師要引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上學(xué)會這些方法，從而提升他們的概括意識。求同法是指在被研究現(xiàn)象發(fā)生變化的若干場合中，若只有一個情況在這些場合中共同具有的，那么這個唯一的共同情況就是被研究現(xiàn)象的原因（或結(jié)果），如倒數(shù)概念的歸納采用的方法就是求同法，雖然每幾組數(shù)字各不相同，但它們的乘積都等于1。共變法是指被研究現(xiàn)象發(fā)生變化的各個場合中，如果只有一個情況變化著，其他情況保持不變，那么這個唯一變化的情況就是被研究現(xiàn)象的原因（或結(jié)果）。如在釘子板上的多邊形中，多邊形內(nèi)的釘子數(shù)是保持不變的，唯一變化的就是多邊形邊上的釘子數(shù)，它的數(shù)量變多，是多邊形面積變大的原因。

2.概括能力往往來自于各種數(shù)學(xué)表征的理解與表達。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該給學(xué)生呈現(xiàn)恰當?shù)臄?shù)學(xué)表征，讓他們學(xué)會從中主動歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律或者公式，這是教學(xué)的需要，也是學(xué)習(xí)的需求。問題：下圖（參見圖3）所示的乘法表中偶數(shù)積多還是奇數(shù)積多?[2]

在解決“偶數(shù)積多還是奇數(shù)積多？”這個問題后，學(xué)生還注意到：一個偶數(shù)乘一個偶數(shù)總是一個偶數(shù)時，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法記錄該規(guī)律：偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。這會讓他們學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法歸納出規(guī)律或者公式，也會促使學(xué)生尋找同樣類型的其他概括。

圖3

3.養(yǎng)成設(shè)置標志、符號、字母對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系進行抽象概括的習(xí)慣。數(shù)學(xué)概括的進行和最終結(jié)果的表達都必須借助于數(shù)學(xué)語言，歸納推理要通過數(shù)學(xué)特例與表征找到歸納對象的共性，并且通過數(shù)學(xué)語言抽象概括來揭示其本質(zhì)。乘對加的分配律，先觀察特例：（3+4）×5=3×5+4×5，（6+12）×4=6×4+12×4，（4+7）×7=4×7+7×7，先引導(dǎo)學(xué)生用自己的方法概括該等式，（□+○）×△=□×△+○×△，不要小瞧這一步，它是從具體到抽象的中間環(huán)節(jié)，接著引導(dǎo)學(xué)生要字母表示出該等式，最后再要求學(xué)生將字母表示的定律“翻譯”成文字表達。

數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心，是看不見的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，歸納推理教學(xué)要抓住機會，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力，進而促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。

三、關(guān)注歸納推理所體現(xiàn)的：無言的數(shù)學(xué)本質(zhì)

不同的人從不同的角度對數(shù)學(xué)本質(zhì)有不同的理解，數(shù)學(xué)家們認為，數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，因為發(fā)現(xiàn)真理、追求真理永遠是數(shù)學(xué)發(fā)展的最終目標，但對歸納在推動數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的作用也是一致認可的，因為數(shù)學(xué)發(fā)展史證明，推動數(shù)學(xué)發(fā)展的主要動力是歸納而不是演繹。正如波利亞所說：“用歐幾里得方法提出來的數(shù)學(xué)看來卻像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué)?！睔w納推理除了體現(xiàn)這一本質(zhì)之外，還可以體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)”。除此之外，歸納推理還體現(xiàn)數(shù)學(xué)的另一本質(zhì)，即：數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)。教師雖然不能和小學(xué)生做這方面的介紹，但應(yīng)該通過具體的歸納推理滲透這方面的內(nèi)容。

“數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)”這一關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的定義得到了眾多數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家的認可，不同的數(shù)學(xué)分支研究不同的模式，如算術(shù)與數(shù)論研究數(shù)字與計算模式，幾何學(xué)研究形狀模式，邏輯學(xué)研究推理模式和概率論研究機會模式等。模式也是學(xué)生認識規(guī)律并整合自己世界的方法，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教育目標應(yīng)該對學(xué)生理解模式提出具體要求與目標?！睹绹鴮W(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標準》一書提出：在學(xué)前至二年級，所有學(xué)生應(yīng)該能夠“識別、描述并擴展（例如聲音、形狀或簡單的數(shù)字模式等），并能夠把一種表現(xiàn)形式的模式轉(zhuǎn)化為另外一種表現(xiàn)形式；分析重復(fù)型和增長型的模式是如何”。在三至五年級，所有學(xué)生應(yīng)該能夠“描述、擴充與概括有關(guān)幾何和數(shù)方面的模式；應(yīng)用文字、表和圖示表征與分析模式和函數(shù)”[3]。雖然我國義務(wù)階段數(shù)學(xué)課程標準對這方面的內(nèi)容沒有明確提出要求，但通過歸納推理教學(xué)可以體現(xiàn)與完成這些目標。

1.數(shù)數(shù)模式

數(shù)數(shù)模式是數(shù)學(xué)史上最早的數(shù)學(xué)模式，它促使自然數(shù)的產(chǎn)生。當然我們可以借助數(shù)數(shù)模式，歸納出自然數(shù)更多的性質(zhì)，如通過使用各種間隔數(shù)數(shù)在百數(shù)圖上使用不同的模式，使學(xué)生從視覺上認識到這些數(shù)字的特征。如5的倍數(shù)有哪些特征,我們就可以發(fā)現(xiàn)，5、10、15、20、25、30……，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察百數(shù)圖（參見圖4）上著色的數(shù)字構(gòu)成的視覺模式與5的倍數(shù)之間構(gòu)成一種對應(yīng)，從而順利地歸納出能被5整除數(shù)的特征。

如果以9為間隔，9的倍數(shù)在百數(shù)圖的排列不是豎條型的，而是斜條型的，但它們的數(shù)字和都等于9，從而歸納出100以內(nèi)的數(shù)，如果一個數(shù)各數(shù)位之和等于9，則它一定能被9整除。

2.重復(fù)模式

圖4

學(xué)前的孩子已經(jīng)意識到一個“紅、白、紅、白、紅、白”顏色模式在形式上與一個“站起、蹲下、站起、蹲下、站起、蹲下”動作模式是相同的，到了小學(xué)階段學(xué)生要了解到這兩種非常不同的情境具備相同的數(shù)學(xué)性質(zhì)，并且知道兩種模式都可以被描述為：ABABAB，這樣也有助于了解代數(shù)的作用。如果對這種重復(fù)模式進一步研究，通過“一一間隔”的物體，歸納出兩邊的物體比中間的物體多一。也可以擴展這種模式，如“紅旗、紅旗、黃旗、黃旗、紅旗、紅旗、黃旗、黃旗……”，通過歸納推理算出第19面旗幟是什么顏色？第20面旗幟是什么顏色？從而把這種重復(fù)模式與帶余除法建立起聯(lián)系。

3.關(guān)系模式

有人說，數(shù)學(xué)是一門“關(guān)系學(xué)”，這很有道理。這種關(guān)系模式集中體現(xiàn)在函數(shù)關(guān)系，它是尋求兩種變量之間的依賴關(guān)系。這種依賴關(guān)系大多數(shù)都是通過歸納推理得到的，如多邊形的內(nèi)角和=(n-2)×180°，這種函數(shù)關(guān)系給出明確的解析式，當然小學(xué)數(shù)學(xué)有不少沒有明確解析式的函數(shù)，也是通過歸納推理得到的，如通過教材所給的圖片（參見圖5）。

歸納出：幾個9就等于幾十減幾個。小學(xué)數(shù)學(xué)中常常有這種沒有解析式的函數(shù)關(guān)系，需要通過歸納推理發(fā)現(xiàn)并且找到這種關(guān)系，這一點在教學(xué)時也應(yīng)加以重視。

這種關(guān)系模式不僅僅存在于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，也存在于圖形與幾何領(lǐng)域。如兩個圖形之間的關(guān)系，兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，兩個完全相同的梯形拼成一個平行四邊形。教材通過一系列問題引導(dǎo)學(xué)生思考幾何圖形之間的關(guān)系：拼成平行四邊形的兩個梯形有什么關(guān)系？拼成的平行四邊形的底與梯形的上底、下底有什么關(guān)系？平行四邊形的高與梯形的高有什么關(guān)系？每個梯形的面積與拼成的平行四邊形的面積呢？

圖5

4.機會模式

小學(xué)階段的概率主要研究機會模式，從把事件描述成肯定發(fā)生、可能發(fā)生和不可能發(fā)生，再到發(fā)生可能性的大小定性研究，最后到可能性的大小定量研究。舉個例子，口袋中有5個白球和1個紅球,那么摸出白球的可能性大呢？還是摸出紅球的可能性大呢？讓學(xué)生摸20次、30次甚至更多次,他們發(fā)現(xiàn)摸出白球次數(shù)多，而摸出紅球的次數(shù)少，歸納出從口袋里摸一個球，摸出白球的可能性大，而摸出紅球的可能性小。反過來，如果學(xué)生能根據(jù)摸出白球與紅球的頻率，就可以猜出袋子里的白球比紅球多的結(jié)論，更可以通過紅球出現(xiàn)的頻率判斷口袋中紅球所占的比例，學(xué)生們也會根據(jù)抽獎盤上不同顏色區(qū)域的大小，歸納出中一等獎的機會很小，這些都是歸納推理，都體現(xiàn)了概率是研究機會的模式。

歸納推理教學(xué)給教師和學(xué)生提供了寶貴的機會，促使學(xué)生積極參與“描述、擴充與概括有關(guān)模式”，滲透“數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)要善于挖掘歸納推理所隱藏的教育價值，借助歸納推理，研究其中蘊含的數(shù)學(xué)思想——分類與多元函數(shù)；提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心能力——概括能力；滲透歸納推理所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)——數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)，從而促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?/p>