妙用向量投影法解題的分析

摘 要：向量知識是高中數學的重要內容，對解決數學問題具有重要幫助，因此在數學學習中必須對向量投影法進行巧妙應用。基于此，本文就妙用向量投影法解題的策略進行研究，首先就向量投影法的概念進行簡要描述，從而加深對這一方法的理解程度，然后闡述向量投影法在向量問題、幾何問題和立體幾何的應用，并以大量的例題進行解讀。

關鍵詞：向量投影法；解題思路；解題方法

在關于向量數量積的求解問題中，很多同學都會采用代數問題，但是代數難度較大，而且運算的過程也相對繁瑣，因此應該對向量投影法進行合理應用，從而提高解題效率。

一、 向量投影法概述

在解決高中數學問題時，必須具備邏輯性和抽象性的數學思維，并且對各種數學概念有深刻的理解。對于向量投影法而言，要想巧妙地運用這一方法解決問題，就必須對這一概念進行深刻的理解，并且將向量投影法的概念與其他知識體系相聯系，從而構建一個系統性的知識體系。向量投影法是平面向量這一章節中的概念，主要對數量積的概念進行引申。例如在一個三角形中三個角分別為A、O、B，其中向量OA=a，向量OB=b，過點B做OA的垂直線段BB1，則OB就是OA方向上的投影，即b是a方向的投影。根據上述概念可以對向量投影的計算公式進行總結，即|b|cosθ=a·b|a|=b·e，在這一計算公式中，cosθ是OB與OA之間的夾角，而e是OA方向的單位向量。就向量投影法的應用范圍來看，主要體現在以下幾個方面，分別是解決向量問題、解決平面幾何問題、解決立體幾何問題和解決線性規劃問題。以解決幾何問題為例，常會出現不同的解題情況，一種是垂足確定的情況，例如菱形對角線、直角三角形等；二是模長為定值的情況，例如已知模長的角度，對數量積的范圍進行求取。

二、 妙用向量投影法解題的策略

（一） 在向量問題中的應用

在向量問題中，應用向量投影法能夠巧妙解決問題，提高解題的效率。要用向量投影法解決向量問題，必須對向量數量積的幾何意義進行明晰。從上文的概念描述可知，向量數量積就是“一個向量在另一個向量上的投影”，而數量積就是“向量模的乘積”，因此在解決向量問題時，必須對投影的長度進行計算，從而在最快的速度下得到問題的答案。

例1 假設有三角形ABC，其中P0B是AB邊上的1/4處的線段，其定點為P0，且滿足P0B=14AB，在AB上有一個任意點為P，并且滿足→PB·→PC≥→P0B·→P0C。該問題的選項有以下幾個方面，分別是

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=30°

C. AB=ACD. AC=BC

通過這一問題分析可知，向量投影法能夠巧妙將問題簡化，從而將解決數量積問題轉變為解決投影問題。

（二） 在幾何問題中的應用

圖1

由圖1可知拋物線x2=y，其中A點的坐標為（-12，14），B點的坐標為（32，94），點P是拋物線上的一點，且坐標為（x，y）（-12

（1） 對AP斜率的取值范圍進行求取。（2）對絕對值PA和絕對值PQ的最大值進行求取。

很多學生在對待這一問題時會采用弦長求積的方式，雖然這種方法可以求出最終的解，但是需要對Q的坐標值進行確定，因此計算量較大，對解題的效率會有所影響。為了提升解題效率，可以采用向量投影法進行求解。首先將各點的坐標以向量的方式進行表示，因此可以將PQ看作是向量PB與向量PA上的投影，而投影的長度就是|→PQ|。由此來看，問題可以得到極大的簡化。

（三） 在立體幾何中的應用

在解立體幾何的問題時，著重要對向量數量積的定義進行深入的了解，從而得到立體幾何元素之間的距離公式。立體幾何的距離公式可以分為以下幾個類型，分別是點與面之間的距離、線與面之間的距離、面與面之間的距離和異面之間的距離，其中線與面之間的距離和面與面之間的距離都能夠轉化為點與面之間的距離。因此只需要掌握兩個距離公式，其中點與面之間的距離公式為d=|n·→MP||n|，而異面直線之間的距離公式為d=|n·→MP||n|，其中M∈a，P∈b，而d就是異面直線a與b之間的距離。

三、 結論

綜上所述，針對妙用向量投影法解題策略的探究是非常必要的。本文主要分析向量投影法的基本特點，然后從解題的角度提出一些切實可行的建議。研究可得，應用向量投影法解決向量問題、幾何問題、立體幾何問題和線性規劃問題時，必須運用邏輯性思維對問題進行簡化，然后運用投影的意識靈活應用數量積的概念，從而使問題得到高效率的解決。

參考文獻：

[1]石向陽.強化向量“投影”意識把握數量積概念的本質[J].數學通訊，2017（10）：43-48.

[2]張煥萍.出奇制勝 百戰百勝——淺析平面向量解題意識的培養[J].數學學習與研究，2015（17）：117-118.

作者簡介：

劉浩文，山東省壽光市，壽光市現代中學。