中學數學冪函數教學的建模案例設計

賈晨 楊劉

【摘要】深刻理解和掌握基本初等函數的概念和性質既是高中數學階段學習的重要要求，也是學生學習和教師講授的難點之一，將數學建模的思想融入這一部分教學，可有效提高教學效果.本文以冪函數為例，介紹了相關數學建模案例設計，有一定的教學意義.

【關鍵詞】數學建模；冪函數；模型設計

一、引 言

函數的定義及其性質是高中數學教學內容的重要組成部分，同時也是后續學習的基礎，因此，對高中階段涉及的函數，深刻理解其定義及性質是十分重要的.但是，函數定義的抽象性給學生學習和教師講授帶來了很大的困難.因此，這一部分內容也成為高中數學學習和教學的難點之一.

數學建模將數學理論知識和實際應用緊密聯系起來，是數學理論和實際應用之間的橋梁.將數學建模的思想融入函數概念與性質的教學，能夠起到理論聯系實際的作用，并能提高學生對這些抽象概念與性質的理解和掌握.

而在兩者的結合上，案例的選取與構造，又是決定建模思想輔助函數教學效果好壞的關鍵.合適的案例，可以促進隱性知識與顯性知識的不斷轉化，通過具體的情境，將隱性的知識外顯，或將顯性的知識內化，在加深學生對抽象概念理解的基礎上，還可以進一步培養學生的應用能力，提高學生學習的積極性.已有文獻中提出了一些用以加深學生對函數定義與性質理解的數學建模案例，但這些案例大多屬于數學應用題范疇，如下文所述，這些應用題與數學建模有較大差別，因而，在上述輔助教學方面起到的作用較為有限.本文以冪函數為例，介紹相關的建模案例的設計.

二、數學建模與數學應用題

建立數學模型分析實際問題與解答數學應用題是有一定區別的.通常的應用題不是直接來自實際，而是經過一定程度的數學建模加工得到的成品或半成品，問題的提法也已經是數學化、理想化，具有條件清楚準確、結論唯一、結果符合實際等特點，甚至可以說是已經建立了完善的數學模型.顯然數學建模與這一類應用題有密切的聯系，又有較為明顯的區別，主要體現在以下四個方面：

（1）問題給出的條件的充分程度；

（2）問題解決過程中是否需要一定的合理假設；

（3）結果是否需要在實際中反復檢驗并根據檢驗結果對過程進行相應的修改和完善；

（4）問題解決的表達方式.

數學模型是對于現實世界的特定對象，為了特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的數學結構.數學建模是從實際問題出發建立數學模型，通過數學方法對模型進行分析求解，并解釋和驗證所得的解，進而為解決現實問題提供數據支持和理論指導的過程.可以說，數學建模教學是學生在教師指導下，發揮主體性進行的、充滿個人思維構造色彩的創造性活動，具有個人體驗、自主活動的鮮明特點，這些是數學應用題所缺乏的.因此，構造合適的數學建模案例輔助課程內容教學，相比較與解答相關的應用題有著更為重要的意義.

三、基于數學建模思想的函數教學案例設計

日常生活中，我們有一些基本的常識，比如在商店購買商品時，買大包裝比小包裝更劃算，這是由商品的出廠價格決定的.例如，某廠家生產牙膏出售，其中60 g裝的牙膏出廠價為每支1.15元，150 g裝的牙膏出廠價為每支2.5元.現該廠家根據客戶需要生產180 g裝的牙膏，請你確定該牙膏的出廠價格.

（一）符號約定

上述冪函數的單調性可更清楚地說明大包裝商品價格更低的現象.

（四）模型分析與改進的教學延展

（1）實際中牙膏的出廠價格除了生產牙膏的成本及包裝成本之外，還應包含外包裝盒等成本，但與文中考慮的兩項相比影響較小，對結果的影響不大；

（2）模型中假設牙膏體積與表面積的函數關系是一種相對規則形狀的對應關系，它們之間更準確的關系應在進一步調查測量的基礎之上改進.

在上述案例中，教師引導學生分析實際問題，提取其中的數學信息，根據不同牙膏質量所對應的各項成本建立冪函數關系，進而建立數學模型并進行分析與求解.在這一過程中，學生既感受了數學建模的全過程（問題分析、簡化假設、模型建立、模型求解、模型分析與進一步改進等），也加深了對冪函數的概念、性質與應用的理解和掌握，體現了數學建模輔助教學的效果.

四、總 結

數學建模思想融入高中函數教學，既可以有效提高函數理論的學習效果，也可以激發學生的學習興趣、培養學生應用數學知識解決實際問題的能力，因此，對開展相關問題的理論研究與實踐研究都具有十分重要的意義.

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