淺析復積分的計算

岳紅云 劉功偉

【摘要】復變函數的積分是復變函數的核心內容，而在復變函數的學習中，工科學生普遍對積分的計算，特別是利用留數定理進行解析函數積分的計算感到無所適從，以至于對整個復變函數課程的學習產生了不良的影響.本文將通過一個典型例題舉出復積分計算的各種方法，并且對不同解法進行比較，從而讓初學者不但能熟練掌握復積分的計算方法，而且能透徹地掌握它們之間的聯系.最后，通過總結復積分的各類方法，還能對留數定理的重要性有較高的認識，讓學生對復積分的學習有充分的信心.

【關鍵詞】復積分；留數定理；柯西積分公式

【基金項目】河南工業(yè)大學理學院數學物理方法課程改革與實踐項目《數學物理方法課程教學改革與實踐（26510030）》.

一、前 言

三、結 論

通過以上3種解法，讀者可以學習到解析函數積分計算的所有重要方法，即留數定理、擴充復平面上的留數定理、復合閉路定理結合柯西積分公式，其中：

1.解法1利用留數定理進行積分的計算，解法2利用擴充復平面上的留數定理進行積分的計算，如何恰當選擇？通常，當閉曲線內部奇點較少且容易計算留數時就用留數定理，當閉曲線外部奇點較少且容易計算留數時就用擴充復平面上的留數定理進行計算.

2.解法3主要是由柯西積分公式得到的，與由留數定理計算的解法1相比，柯西積分公式要求被積函數具有特定的形式，若被積函數f（z）=e1zz，則不能使用柯西積分公式.特別地，當閉曲線C內部的奇點數多于一個時，就不能直接利用柯西積分公式，須結合復合閉路定理計算積分，這就是解法3.

綜上可知，解析函數的積分有多種計算方法，而留數定理計算積分時沒有形式的要求，計算方法更具有普遍性，適用范圍更廣泛，因此，留數定理的影響力更大.可以說，留數定理是復積分計算的最有效的方法，而柯西積分公式，還有高階導數公式，柯西—古薩基本定理（可以簡單驗證）都是留數定理的特殊情況，所以留數定理聯系了柯西等定理及級數理論，是復變函數積分理論中最核心的內容，并且留數理論在控制論及穩(wěn)定性理論中都有重要應用，而通過本論文的解析，就使得復變函數的核心內容更加突出，學習更加輕松、愉快.

【參考文獻】

[1]劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]鐘玉泉.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，1988.

[3]楊巧林.復變函數與積分變換[M].北京：機械工業(yè)出版社，2013.