一道大學生數學競賽題的思考與推廣

王奉龍

【摘要】本文借助定積分的三種表達形式、廣義積分中值定理、微分中值定理、牛頓—萊布尼茲公式求解該極限題，并將此極限結果推廣到一般形式.

【關鍵詞】無窮和式極限；定積分定義；廣義積分中值定理；微分中值定理

高等數學是以函數為對象，以微分和積分及其應用為內容，以極限為手段的一門學科，換句話說，高等數學是用極限來研究函數的微分和積分的理論.由于極限貫穿于整個高等數學的學習過程，故極限的計算顯得尤為重要.在極限求解的學習過程中，作者查閱了相關教材并閱讀了相關期刊文章，卻未發現有與該題類似解題思路的題目，該題顯得極為特殊，故本文將不再贅述其他極限求解的方法，而以一道全國大學生數學競賽題為例講解此極限題求解的思路與方法，并予以推廣到一般形式.

一、競賽真題

三、結 語

本文主要探討了此類特殊極限的求解思路與方法，對于極限問題的求解，其主要思路就是將題目中未知的信息與我們已知的信息建立聯系，并使得題目符合極限運算的過程.針對此題，須借助定積分多種書寫形式建立聯系，應用廣義積分中值定理，微分中值定理—拉格朗日中值定理與牛頓—萊布尼茲公式簡化運算過程.可見，該題詳盡地考查了定積分定義以及微分中值定理、積分中值定理、牛頓—萊布尼茲公式等微積分主干內容，是一道選拔數學人才不可多得的好題.極限的運算具有極強的技巧性和靈活性，在求解類似特殊極限題之前，應對極限運算法則與極限的基礎解法融會貫通，并適時地聯系積分中值定理、微分中值定理、泰勒定理等方能對此類較為復雜的極限進行求解.

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