看透知識本質 組織主題教學
——以函數的性質為例

荊志強

(深圳市羅湖區教科院 廣東深圳 518000)

我們發現，在函數性質的學習上存在以下問題：第一，過于注重函數性質的判定方法學習，忽視函數性質的概念生成過程學習；第二，弱化乃至忽視了函數性質學習過程中學生學科思維方式的形成；第三，沒有從整體上建立對函數的不同性質的一致性理解，而是孤立地看待函數的不同性質。導致這些問題產生的主要原因在于：沒有完全從學科知識的本質上認識和理解函數的不同性質。

以下我們將重點以函數的單調性為例，對函數性質的學習做一分析，以明確函數的性質這一知識的本質。函數的單調性主要學習環節包括：

(1)給出學生在初中就已經學習過的兩個函數：正比例函數y=x和二次函數y=x2的圖像。

(2)要求學生觀察函數y=x和y=x2的圖像有什么樣的特征。學生通過觀察函數圖像，應該可以看出：函數y=x的圖像是上升的，函數y=x2的圖像在y軸的左側是下降的，在y軸的右側是上升的。)

(3)要求學生用數學語言表述他所發現的函數圖像的特征。(基于初中階段所學的函數知識，學生應該可以這樣表述：對于函數y=x，函數值y隨自變量x的增大而增大；對于函數y=x2，當x∈(-∞,0)時，函數值y隨自變量x的增大而減小，當x∈(0,+∞)時，函數值y隨自變量x的增大而增大。)

(4)進一步要求學生用數學符號表示他所發現的函數圖像的特征。其目標是要求學生找到以下的符號表示：當x1f(x2))來表示函數圖像“上升”和“下降”的特征。

當然，這對學生來說是極具挑戰性的任務，但學生也正是在完成這項挑戰性任務的過程中，不僅收獲了數學的知識(知識與技能目標)，也學會了數學學科思維方式(過程與方法目標)，還產生了積極的情感體驗、增強了學習的自信心(情感態度與價值觀目標)。尤其后面兩者對學生進一步學習函數的其他性質乃至其他知識至關重要。

至于如何引導學生找到函數單調性的代數表示，人教A版教材其實給我們提供了一個很好的思路，其編寫思路具體如下：

當然，對于函數的單調性概念的學習，最大的認知難點就是如何用數學符號表示函數的自變量和函數值的變化，反映到“形”上就是如何用數學符號描述和刻畫函數圖像的“上升”和“下降”的幾何特征。這個地方也給教師的教學設計留下了極大的創造性空間。

通過上述分析可以看出，對于函數的單調性概念的學習，其實質并不是從函數的解析式f(x)出發，針對函數定義域上的某個特定區間找到了“當x1f(x2))”，從而得出函數f(x)在該區間上單調遞增(或單調遞減)的結論，而是對函數圖像“上升”和“下降”的幾何特征去尋找代數表示！或者更形象地說，函數的單調性概念的學習走的并不是一條“捷徑”，而是一條“彎路”，我們可用下圖直觀表示：

基于函數單調性概念的本質的理解，我們可知：函數奇偶性的概念的實質是對函數圖像關于y軸對稱或關于原點中心對稱的幾何特征尋找代數表示；函數周期性的概念的實質是對函數圖像按一定規律重復出現的幾何特征尋找代數表示；函數有界性的概念的實質是對函數圖像永遠無法越過平行于x軸的兩條直線的幾何特征尋找代數表示；函數凹凸性的概念的實質是對函數圖像向上凸起和向下凸起的幾何特征尋找代數表示。我們可用表格表示如下：

函數的性質函數解析式函數圖像函數圖像的幾何特征函數圖像的幾何特征的代數表示奇偶性y=f(x) 函數圖像關于y軸對稱或關于原點成中心對稱①f(-x)=f(x)②f(-x)=-f(x)周期性y=f(x)函數圖像按一定規律重復出現f(x+T)=f(x)有界性y=f(x)函數圖像永遠無法越過平行于x軸的兩條直線|f(x)|≤A(A>0)凹凸性y=f(x)函數圖像向上凸起和向下凸起①f(x1)+f(x2)2>fx1+x22()②f(x1)+f(x2)2

基于上述分析，我們可知，函數的不同性質的教學可以采用相同的教學路徑，具體可用下圖表示：

通過上述分析可知，我們至少有以下幾點啟示：第一，雖然在不同的時間節點學生需學習函數不同的性質，但這些不同的性質有共同的本質，即為函數圖像的幾何特征去尋找簡潔的代數刻畫；第二，既然函數的不同性質的知識本質相同，在教學設計時可以采用同一教學設計路徑；第三，函數性質的學習重點、學習難點應主要是函數性質的概念的形成過程，在函數概念形成的過程中，既對學生有極大的思維挑戰性，也正是學生形成學科思維方式的好時機；第四，在函數性質的教學時，教學重點應放在函數性質的概念形成上，而不是函數性質的概念的記憶和運用。