淺談高中數(shù)學(xué)中的不等式問題

歐陽昱燾 長沙市長郡濱江中學(xué)

一、不等式在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位

在高中數(shù)學(xué)理論體系中，不等式是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的重要組成部分，而不等式問題則貫穿了整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，例如，不等式可以應(yīng)用在函數(shù)問題、三角函數(shù)問題、幾何問題、平面向量問題、數(shù)列問題等，不等式問題的考查也集中在上述幾個方面的問題。不等式問題的分析和解答集抽象性、復(fù)雜性、邏輯性為一體，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中較難掌握、較為棘手的問題，通常也出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題當(dāng)中。同時，在針對不等式問題分析和學(xué)習(xí)的過程中，同學(xué)們不僅可以熟悉不等式問題的基本概念，而且還能培養(yǎng)自身數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想，養(yǎng)成獨(dú)立思考的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。因此，熟練掌握高中數(shù)學(xué)各種類型的不等式問題的解法，不僅能夠提高高考數(shù)學(xué)成績，還能夠鍛煉同學(xué)們的動手計(jì)算能力和邏輯思考能力，意義重大。

二、高中數(shù)學(xué)不等式問題的類型與其對應(yīng)的解法探索

縱觀近十年的全國各個省份的高考數(shù)學(xué)題目，不難發(fā)現(xiàn)，不等式問題往往很少單獨(dú)命題，出題人常常將不等式問題與其他知識點(diǎn)（如：函數(shù)求導(dǎo)、解析幾何、數(shù)列等問題）相結(jié)合，以不等式為解題工具來求定義域、函數(shù)單調(diào)性、未知數(shù)的取值范圍、函數(shù)極值問題函數(shù)最值問題等內(nèi)容。因此，高中數(shù)學(xué)不等式問題的出題方式和考查內(nèi)容主要為一下兩個方面：一是直接考場不等式的相關(guān)內(nèi)容，考查方式較為直接；二是引導(dǎo)學(xué)生以不等式作為工具，對其他重要知識點(diǎn)進(jìn)行考查，這也是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)。下面本文將列舉不同類型的不等式問題并進(jìn)行解法探索。

1.不等式的性質(zhì)判斷與應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)不等式的基本性質(zhì)主要有：（1）對稱性；（2）傳遞性；（3）乘法單調(diào)性；（4）加法單調(diào)性；（5）同向不等式可加性；（6）同向正值不等式可乘性；（7）正值不等式可乘方；（8）正值不等式可開方；（9）倒數(shù)法則。考查的重要不等式主要有：（1）基本不等式；（2）柯西不等式；（3）絕對值不等式；（4）排序不等式；（5）貝努力利等式等。高考命題人往往將不等式的基本性質(zhì)和重要不等式與其他主干知識點(diǎn)相結(jié)合進(jìn)行交匯考查。

例題1：下面四個條件中，使 ba＞ 成立的充分而不必要的條件是（ ）.

分析：此題出自2011年全國卷，主要考查不等式充要條件的判斷，在解題過程中還要運(yùn)用好同向不等式可加性和正值不等式可乘方等不等式的性質(zhì)，通過逐項(xiàng)驗(yàn)證可解的答案為（A）。

例題2：若0＞＞ba，0＜＜dc，則一定有（ ）.

例題3：將離心率為 1e的雙曲線C的是半軸長a和虛半軸長b（ba≠）同時增加)0(＞mm個單位長度，得到離心率為 2e 的雙曲線C ，則（ ）

分析：此題出自2015年湖北省高考題。命題人將不等式的基本性質(zhì)與圓錐曲線相結(jié)合，要想解答這道題，答題者不僅要理解不等式的基本性質(zhì)和圓錐曲線的基本性質(zhì)，還要將兩個不同的知識點(diǎn)相聯(lián)系，是一道典型的不等式問題。

（由解題過程可知，盡管這道高考題看起來非常抽象，同時將圓錐曲線與不等式問題相結(jié)合，增加了解題的復(fù)雜性，但是如果在審題和分析時明確命題人的出題思路，將兩個看似不相關(guān)的考點(diǎn)合理的聯(lián)系起來，解題難度就會大大下降。）

2.不等式的證明問題

在高考數(shù)學(xué)中，不等式的證明常常作為壓軸題出現(xiàn)，可見對學(xué)生的邏輯思考能力和判斷分析能力是個有效的考查。這就要求學(xué)生在解題過程中要學(xué)會通過條件分析問題，通過問題與條件的關(guān)系推導(dǎo)出兩者之間的橋梁，進(jìn)而進(jìn)一步求解。

（此題出自2011年安徽省高考題，是證明絕對值不等式問題，考綱要求學(xué)生要會用比較法、分析法、綜合法等證明絕對值不等式。）

證明：①②的解題過程略。

三、總結(jié)

總之，通過以上幾個例題可以看出，考題的形式和內(nèi)容，以及知識點(diǎn)的考查方式都千變?nèi)f化，近年來不少創(chuàng)新題涌現(xiàn)，不同類型的知識點(diǎn)之間往往會相結(jié)合進(jìn)行出題。但是，俗話說“萬變不離其宗”，所謂的“宗”，在高中數(shù)學(xué)就是指解題過程中的數(shù)學(xué)思想，雖說命題人出題形式變化莫測難以捉摸，但是其考查的數(shù)學(xué)思想確實(shí)亙古不變的，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)一個好的數(shù)學(xué)思想方法，有利于領(lǐng)悟題目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而提高解題效率，得出分析問題的處理方法。