淺談復合函數的導數

張蕾

復合函數求導是一元函數微積分的基礎，本文從復合函數的分解入手，研究利用求導法則對復合函數求導。

復合函數求導是一元函數微積分的重要基礎，是求導方法的進一步深入學習，對于較簡單的復合函數求導問題，學生解決起來問題不大，對于較復雜的復合函數求導問題，學生做的過程中會出現各種錯誤，而且這些錯誤非常隱蔽，學生自己發現不了，本文從易錯點的角度對復合函數求導問題進行研究。

什么是復合函數

深刻理解復合函數的概念及其本質是學好復合函數求導的基礎。設是的函數，而是的函數，則將代入得到，這個新函數叫作由和復合而成的復合函數，其中稱為內層函數，稱為外層函數。例如，都是復合函數。

復合函數的求導，一定要抓住“中間變量”這一關鍵環節，然后應用法則，由外向里一層層求導，注意不要漏層就可以得出結果，熟練以后，可以擺脫引入中間變量的字母，只要心中記住就行，這樣可以使書寫簡單。

從以上分析可知，復合函數求導最核心的問題就是中間變量，關于中間變量我們需要注意以下幾點：首先，中間變量的選擇必須準確，只有中間變量選擇準確了才能夠不重不漏地將復合函數分解為幾個基本初等函數；其次，多數情況下中間變量不止一個，也就是函數的復合關系有多層，這時求導要注意不要漏層；再次，學習初期要明確寫出中間變量，待達到一定的熟練程度之后再嘗試省略中間變量簡化解題過程；最后，針對具體函數在一個問題中可能既要用到復合函數求導法則，又要用到求導的其他法則，這時候要將所學求導方法綜合應用。

再例如：對復合函數進行求導，我們首先從運算的角度對它進行分解，假若已知的值，最終要計算的值，需要先算什么，再算什么，經過哪幾步運算呢？

從這些出錯情況來看，復合函數求導時容易出錯有其自身知識復雜性的原因。因為復合函數所涉及的函數關系比較復雜且多變，中間變量不容易設出，而且不容易找準確。

另外，所設出的中間變量前后交錯，但是前后所表示的意義不同，以及前后所處的自變量和因變量的位置不同，這些因素都從客觀上導致了復合函數求導容易出現錯誤。

但是由于復合函數求導是前面所學復合函數概念和導數概念的深入，同時也是后面所學積分方法的基礎，因此學生必須要將復合函數求導問題準確熟練掌握，要做到這一點關鍵還是要弄清復合函數是由哪幾個基本初等函數或者哪幾個簡單函數復合而成，根據復合過程按順序由外向內依次求導，多加練習后就能做到求導不重不漏。

結語

總之，復合函數求導是初等函數求導的一個重要環節。而正確求出復合函數導數的關鍵在于如何把一個復合函數分解為幾個基本初等函數。要學生熟練掌握復合函數的求導法則，需要有一個反復訓練提高的過程。在書寫格式上，初始階段需要寫出中間變量，并按照復合函數求導法則寫出詳細的求導步驟，這樣循序漸進，直到掌握求導的技巧，熟練后則可以省去設中間變量的步驟，直接完成求導過程，得到所求的正確導數。