貝葉斯決策方法綜述

肖福龍

【中圖分類號】TN301.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】2236-1879（2018）13-0199-01

一、決策問題

決策就是對一件事情要做出決定，它與推斷的差別在于是否涉及后果。統計學家在作推斷時是按統計理論進行的，很少或根本不考慮推斷結論在使用后的損失，而決策者在使用推斷結果做決策時必須與得失聯系在一起考慮。能給他帶來利潤的他就使用，使他遭受損失的就不會被采用，度量得失的尺度就是損失函數。著名統計學家A.Wald（1902-1950）在20世紀40年代引入了損失函數的概念，指的是由于決策失誤導致的損失值。損失函數與決策環境密切相關，因此從實際問題中歸納出合適的損失函數是決策成敗關鍵。把損失函數加入貝葉斯推斷就形成貝葉斯決策論，而損失函數被稱為貝葉斯統計中的第四種信息。

決策分析是一般分四個步驟：1）形成決策問題，包括提出方案和確定目標;2）判斷自然狀態及其概率;3）擬定多個可行方案;4）評價方案并做出選擇。常用的決策分析技術有：確定型情況下的決策分析、風險型情況下的決策分析及不確定型情況下的決策分析。

（1）確定型情況下的決策分析。確定型決策問題的主要特征有四方面：一是只有一個狀態，二是有決策者希望達到的一個明確的目標，三是存在著可供決策者選擇的兩個或兩個以上的方案，四是不同方案在該狀態下的收益值是清楚的。確定型決策分析技術包括用微分法求極大值和數學規劃等方法。

（2）風險型情況下的決策分析。這類決策問題與確定型決策只在第一點特征上有所區別，即在風險型決策問題中，未來可能的狀態不只一種，究竟出現哪種狀態不能事先肯定，只知道各種狀態出現的可能性大小（如概率、頻率、比例或權等）。常用的風險型決策分析技術有期望值法和決策樹法。期望值法是根據各可行方案在各自然狀態下收益值的概率平均值的大小，決定各方案的取舍。決策樹法有利于決策人員使決策問題形象化，把各種可以更換的方案、可能出現的狀態、可能性大小及產生的后果等，簡單地繪制在一張圖上，以便計算、研究與分析，同時還可以隨時補充。

（3）不確定型情況下的決策分析。如果不只有一個狀態，各狀態出現的可能性大小又不確定，便稱為不確定型決策問題。常用的決策分析方法有：

a）樂觀準則。比較樂觀的決策者愿意爭取一切機會獲得最好結果。決策步驟是從每個方案中選一個最大收益值，再從這些最大收益值中選一個最大值，該最大值對應的方案便是入選方案。

b）悲觀準則。比較悲觀的決策者總是小心謹慎，從最壞結果著想。決策步驟是先從各方案中選一個最小收益值，再從這些最小收益值中選出一個最大收益值，其對應方案便是最優方案。這是在各種最不利的情況下找出一個最有利的方案.

c）等可能性準則。決策者對于狀態信息毫無所知，所以對它們一視同仁，即認為它們出現的可能性大小相等。于是這樣就可按風險型情況下的方法進行決策。

二、貝葉斯決策

風險型決策方法是通過預測各種狀態可能發生的先驗概率，采用期望值標準或最大可能性標準來選擇最佳決策方案。這樣決策具有一定的風險，因為先驗概率是根據歷史經驗或者主觀判斷得到的，沒有經過實驗驗證。為了減少這種風險，需要準確掌握并且估計這些先驗概率。得到較準確信息的方法有科學的實驗、調查、統計分析等，利用得到的信息修正先驗概率，并據此確定各個方案的期望損益值，擬定出可供選擇的決策方案，這種方法就是貝葉斯決策方法。

一個完整的貝葉斯決策過程包括數據分析、概率模型的構造、先驗信息和效應函數的假設及最后的決策。

貝葉斯決策的基本方法是將關于未知參數的先驗信息與樣本信息綜合，根據貝葉斯定理，得出后驗信息，再利用后驗信息去推斷未知參數。完整的貝葉斯決策過程有以下步驟：

（1）進行預后驗分析。由于先驗概率是根據經驗或者歷史資料得到的，缺乏一定的時效性。預后驗分析則是再搜集和分析追加信息的分析過程。通過預后驗分析來決定是否值得搜集補充資料以及從這些資料中可能得到的結果和如何決定最優決策。

（2）搜集補充資料，取得條件概率包含歷史概率和邏輯概率，對歷史概率加以檢驗，辨明其是否適合計算后驗概率。

（3）計算后驗概率。用概率的乘法定理計算聯合概率，用概率的加法定理計算邊際概率，最后用貝葉斯定理計算后驗概率。

（4）用得到的后驗概率進行決策分析。

實際運用中，會遇到包含多個階段的信息搜集和數值計算的過程，即包含一系列的先驗分析和預后驗分析、采集新的信息、做出后驗分析和決策，這個過程稱為序貫分析。

三、貝葉斯決策在實際中的應用

前文中首先對貝葉斯思想的起源和發展做了比較詳細的介紹，又闡述了貝葉斯理論和方法。迄今為止，該理論已經廣泛應用于諸多領域，并且逐步發展成為諸多的交叉學科，涵蓋生物醫學、經濟金融、商業決斷、工程學、法律、語言學以及心理學等學科與行業。甚至可以說，現在已經很難找到一個領域不存在某種水平的貝葉斯工具了。

在統計學領域內，貝葉斯理論及方法已經滲透到諸多的方面，包括生物統計、神經網絡、決策分析與決策論、試驗設計、經驗貝葉斯、信息論、缺失數據、非參數統計和函數估計、序貫分析等等。

四、貝葉斯決策的優點及其局限性

（一）貝葉斯決策的優點。

貝葉斯決策的優點體現在以下幾個方面：

（1）提供了一個進一步研究的科學方法。即它能對信息的價值或是否需要采集新的信息作出科學的判斷。

（2）它能對調查結果加以數量化的評價，而不是像一般的決策方法那樣對調查結果完全相信或者完全不相信。

（二）貝葉斯決策的局限性。

貝葉斯決策方法也有其局限性：

（1）它所需要的數據多，分析計算比較復雜。

（2）有些數據必須使用主觀概率，置信度不高，妨礙了貝葉斯決策方法的推廣使用。

五、貝葉斯方法應用展望

貝葉斯方法在經濟學、管理學、情報學、心理學以及哲學等學科領域都有其重要的應用。與貝葉斯有關的方法、推理、預測、決策，以及在企業、金融、銀行、市場等領域的應用都是是貝葉斯理論研究的重點關注領域。Gibbs抽樣和MCMC模擬成為目前貝葉斯領域的主流方法和研究熱點。用貝葉斯方法進行估計、推理、預測及網絡分析，博弈、決策和分類等分析問題提供了新的研究視角。貝葉斯方法對企業風險、金融、管理方面的推理、預測等實證分析研究，以及模型參數的分布是我國現階段貝葉斯領域的研究熱點。應該說，中國貝葉斯理論及應用研究的空間依然很廣闊。