逆向思維在數學解題中的應用

李宇平

摘要：在高中數學題目中，如果采用常規方法解題比較困難時，逆向思考往往能使解題過程更順暢。在本文中，筆者將運用例題來解析用逆向思維解題的過程，為同學們提供一套展現逆向思維在數學解題中的魅力，提高數學解題的能力。

關鍵詞：數學學習;逆向思維

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】2236-1879（2018）13-0032-02

高中數學中存在很多的逆向關系，如因式分解和整式乘法在知識結構上互逆，求代數式的值和解方程互逆，幾何中“性質定理”和“判定定理”互逆等等，我們在做題時注意數學中的逆向關系，平時多總結關于互逆關系的題目，抓住題目的本質。

在數學解題中，對一個數學問題思考不出來時，我們換一個角度去思考，從結論往回推，倒過來思考采取正難則反的思維策略，找到解決問題的捷徑。中學課本中的逆用算，反證法，分析法等都涉及到思維的逆向性，只要我們多注意定理、公式的逆用，正難則反，往往可以使問題簡化。

1.逆向思維的定義及原理

所謂逆向思維，是指與原先思維相反方向上的思維。與同向思維一樣，逆向思維在數學解題中也有著廣泛的應用。逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。敢于“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索，樹立新思想，創立新形象。

所謂逆向思維法，就是指人們為達到一定目標，從相反的角度來思考問題，從中引導啟發思維的方法。

面對新事物、新問題的時候，我們應該學會從事物的不同方面，不同角度來分原研究新事物、解決新問題。我國古代有“曹沖稱象”的故鄉，曹沖沒有按通常思維去考慮如何直接稱象，而是反過來考慮大象的等重量物，即一堆石頭如何稱，這就是一個很好的逆向思維應用的例子。19世紀40年代，英國的物理學家焦耳（1818-1889年）曾致力于研究不消耗能量的永動機，他用去了許多時間，但毫無結果，驗證永動機是不可能制造出來的，從而發現了能量定恒和轉換定律。

逆向思維就運算而言，主要為逆運算的研究;就逆命題的研究而言，逆向思維的基本功能就是可以借以發現原命題中的前提是否為相應結論的充要條件。這對于深入認識有關概念的本質特征并促進概念的精確化顯然是有重要意義的。

例如，在證明（歐氏）平行公理的長期努力中，有不少數學家曾認為自己已經獲得了成功，但后來卻被發現往往是在證明中自覺或不自覺地引入了某種假設，而通過逆命題的分析又可發現這些假設中的大部分是與平行公理相等價的。由于這種研究澄清了原先的錯誤認識，從而也就加深了人們對平行公理（也即平行線概念）的理解。因此，逆向思維從另一側面促進了認識的發展。

鑒于此，加強逆向思維的訓練，可改變其思維結構，培養思維的靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問題和解決問題的能力。迅速而自然地從正向思維轉到逆向思維的能力，它正是數學解題能力增強的一種標志。而剛進入中學的學生，還不習慣反過來思考，倒過來想，即不善于逆向思維。因此，在數學解題中，應加強逆向思維訓練。只要我們平時多注意公式、概念、定理、規律性例題的逆運用，常常會使問題得到簡化，經常性地注意這方面的訓練可以讓學習者的思維得以靈敏。

2.逆向思維解題的原理及解題過程

【例題l】逆向思維分析法求證

分析法就是分析命題成立的充分條件，把命題轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立。針對這道題，可采用分析法來求證。

證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難，例如，在題3中，我們很難想到從“21<25”人手，因此，分析法是解決數學問題的一種有效捷徑。

【例題2】逆向思維定義法求解y=f（x）

在數學解題中，“定義法”是一種比較常見的方法，但我們經常忽視定義的逆用，只要重視定義的逆用，進行逆向思維，就能使問題解答簡捷。

根據函數和它的反函數的圖像的特點，逆向考慮，先找出函數y=f（x）的圖像所通過的點，將函數y=f（2x-1）的圖像先向左平移，再將橫坐標擴大為原來的兩倍得到函數y=f（x）的圖像，這樣y=f（x）過點（0，1），則y=f（x）-1的圖像必過點（1，0），故選C.

【例題3】逆向思維反證分析法證明“圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分”

證明圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。

正面我們很難人手，我們采用反證法證明。

假設圓的兩條不是直徑的相交弦可以互相平分。

00中，AB與弦CD相交于點P，且AP=BP，CP=DP，連結OP.

AP= BP.

OPAB（平分弦的直徑垂直于弦）

同理CP= DP，

OP= CD.

這樣，過點P就有AB與CD兩條不同的直線與OP垂直這點“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”的定理相矛盾，所以，假設錯誤，因此，原命題成立！即圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。

【例題4】逆向思維在排除法求解f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+l

在有些數學問題中，正面復雜，反面簡單，只要逆向分析，進行排除，就能使問題得到簡捷的解答，同時這也是借有些選擇題的有效捷徑解法。

題5，若二次函數f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區間[-1，1]內至少有一個點C，使f（c）>0，求實數P的取值范圍。分析：此題從反面分析，采取補集法則比較簡單。

如果在[-1，1]內沒有點滿足f（c）>O

即為滿足條件的p的取值范圍。

3.結束語

在數學解題中，根據問題的特點，在應用正向思維的同時，注意逆向思維的應用，總結應用逆向思維的題目，經常性地注意這方面的訓練，對我們題高數學解題能力有很大的作用。

參考文獻

[1]張蘭云，淺析數學教學中對學生逆向思維的培養[J].中學數學，2018（17）：37-38.

[2]凌銀銀，加強數學解題教學培養學生逆向思維芻探[J].成才之路，2018（24）：38.

[3]田星，關于數學解題中逆向思維的應用[J].數學大世界（上旬），2018（07）：6.