高中數學幾何解題技巧中的“數”“形”結合方法探討

曾菁

【摘 要】幾何知識是高中學生必須掌握的數學知識之一，對此，需要我們運用一些解題技巧，在提升解題效率之余，加深對幾何知識的理解。本文以“數”“形”結合的方法為切入點，闡述了在幾何解題中運用“數”“形”結合方法的一些內容，以期能對學習幾何知識有所助益。

【關鍵詞】高中數學；幾何；解題技巧；“數”“形”結合方法

幾何知識是高中數學課程的重要組成部分，需要我們予以重視，并采用一些有效的輔助方法增進對具體內容的理解，一種較為有用的方法便是“數”“形”結合方法。對此，我們不妨從該方法的基本原理著手，逐漸將其融入幾何知識的學習之中。

一、理論概述

（一）解析幾何概述

解析幾何的研究重點在幾何對象的性質與關系，運用的是代數方法，所以也可以稱其為“坐標幾何”。解析幾何在理論上有兩種分類，一是平面解析幾何，二是立體解析幾何。其中，平面解析幾何以運用直角坐標系為主，在點和實數之間、方程和曲線之間建立起了一種聯系，幾何方法與代數方法互相配合，解答幾何問題與代數問題。在17世紀之后[1]，隨著天文、軍事以及力學等學科的發展，不論是初等幾何，還是初等代數都有了較大的發展，兩者的發展，讓解析幾何的建立有了實現的可能性，原本獨立的數學分支，實現了結合，通過統一形與數，使得數學歷程有了迅速的發展。

（二）數形結合概述

數學學科中最基本、最古老的研究對象便是“數”與“形”了，若給這兩個研究對象賦予一定的條件，那么兩者可以達到一種轉化，所以兩者間的這種聯系又被稱作“數形結合”。數形結合在數學學科中的應用，一般而言有兩種類型，第一種類型是以數解形，也即運用“數”所具有的精確性特征闡述“形”的屬性，例如邊長和角度等圖形，這些圖形直接觀察沒有規律，若是賦予一定的數值，則能體會到其中的差異；第二種類型是以形助數，也即運用“形”所具有的直觀性特征闡述“數”與“數”之間的關系。通常來講，運用數形結合能夠解決如下數學問題：幾何問題、三角函數、線性規劃以及數列問題等。

二、“數”“形”結合方法在幾何解題中的運用

（一）解題思路

在遇到解析幾何問題時，首要任務應當是將題目中所給出的“數”與“形”的條件一一對應起來，明確題目中都有哪些位置關系以及數量關系，才能在最短的時間內找到該項題目的突破點，運用數形結合方法達到舉一反三之效果。對此，有以下關系需要厘清：第一，以幾何元素作為知識背景的概念需要予以明確，例如三角函數以及復數等；第二，題目中出現的方程式的幾何意義；第三，三對對應關系，即函數與圖像、曲線與方程、實數與點[2]。

（二）實際應用

“數”“形”結合方法可以通過以下角度，運用在幾何解題之中：第一，解決圓類問題。圓類問題的求解，一般圍繞圓的標準方程、圓與圓以及圓與直線兩者之間的位置關系展開，通常使用直角坐標系，我們可以直觀的觀察到兩者到底是何種關系，但是學到這種程度還不夠，還需要寫出求解的步驟，而這一步驟的書寫就需要用到“數”“形”結合方法，也即以數解形，具體來講，是通過求解圓心與直線間的距離長短，以該距離作為判斷的依據，距離大于圓的半徑則說明直線在圓外面，距離小于圓的半徑則說明直線與圓相交，距離等于圓的半徑則說明直線與圓相切；第二，解決不等式問題。“數”“形”結合方法還可以用來解決不等式的問題，解題思路是：先行化解題目中給出的不等式，一般來講，該不等式可以被化解為曲線方程，然后再建立坐標系，將曲線方程繪制在數軸上，逐一計算定義域以及值域，最后通過觀察坐標系之中圖形的交集，便可以得出不等式的解集。

三、運用“數”“形”結合方法解答幾何問題的類型

（一）以“數”化“形”

以“數”化“形”實則運用的是圖形分析法，也即基于“數”具有抽象性特征，而“形”具有直觀性特征的優勢，可以找出“數”與“形”之間的聯系，繪制圖形，通過分析圖形，解決“數”的問題。一般來講，在運用該方法之前，要先分析這道題目的結構，包括這道題目的已知條件和求解目標，然后比較已知條件與求解目標，找尋兩者之間的聯系。基本的解題思路是：明確題目中都給出了哪些條件以及需要求解哪些問題，然后以這些內容為基礎，觀察可以在解答過程中應用哪些學過的公式或是定理，再構造能夠解答本題的圖形，最后根據繪制出的圖形的幾何意義和性質，聯系求解目標完成解題任務。

（二）以“形”變“數”

雖然“形”有“數”所不具備的特點，但是有時在定量方面，“形”也還需借助代數運算，尤其是對于一些復雜的“形”，既要數字化，還要觀察其特點，將其中所具有的隱含條件挖掘出來，難度較大。因此該類題目的解答思路是：先行確定已知條件與求解目標，并分析兩者的性質以及特點，理解兩者在該圖形中所具有的幾何意義，再用已經掌握的知識，將題中圖形以代數式的形式表達出來，運用相關公式正確求解。

（三）“形”“數”互變

數形結合的另一種形式便是“形”“數”互變。對于幾何題目來講，雖然原理不多，但是形式卻千變萬化，僅僅依賴于前兩種形式，不足以完全涵蓋幾何題目的類型，所以還有一種數形結合的類型需要掌握，也即“形”“數”互變，“形”的直觀與“數”的嚴密要隨時根據題目所給的條件靈活應變，隨時轉化，最佳的學習狀態便是達到見“數”想“形”以及看“形”思“數”[3]，才能真正做到將復雜問題簡單化，滿足實際解題的需求，提高解題的效率與準確度，促進數學水平的提升。

四、結束語

綜上所述，在高中數學幾何解題中應用“數”“形”結合的方法，并不僅僅是知識的疊加，更是一種知識的靈活應用與遷移，需要學生先行掌握教材中的基本幾何知識，再對基礎知識之后的原理進行挖掘，才能在此基礎上做到數學方法的綜合運用，讓“數”“形”結合的方法發揮其應有的輔助作用，幫助學生理解幾何知識，提升數學水平。

參考文獻：

[1]郭紅梅. 數形結合在高中數學中的應用原則研究[A]. 《教師教育能力建設研究》科研成果匯編（第八卷）[C].中國管理科學研究院教育科學研究所，2018：5.

[2]葛玉鋒.數形結合在高中數學解題中的應用[J].高中數學教與學，2018（14）：45-48.

[3]鄧雅文.運用數形結合巧解高中數學解析幾何問題[J].科學技術創新，2018（03）：55-56.

（作者單位：湖南師范大學附屬中學）