數形結合，在比較中認識倍

梅旭嫦

【摘 要】新課程改革以來，數學概念的教學教學倡導“淡化形式，注重本質”，因此，概念的教學不像過去過早采用抽象的繁瑣的文字來完整敘述，而是以已有認知為基礎，具化抽象概念；以比較探究為手段，建立概念認知；以圖形直觀為過渡，完善概念本質；以“非標準結構”為載體，深化辨析概念。

【關鍵詞】概念；比較；數形結合；非標準結構

著名心理學家奧蘇伯爾說過：“比起世界上的各種現象來說，人實際上是生活在一個概念的世界里。”概念是數學學科知識中的重要組成部分，概念是思維的細胞，只有掌握了概念的本質屬性，才能談得上提高分析能力和解決問題的能力。“倍的認識”這一概念教學新教材將原來分散在二年級上冊和二年級下冊的關于“整數倍”的內容在三年級上冊第五單元集中編排，使得內容更集中，更具有邏輯性，也適當降低了學生的學習難度。

一、以已有認知為基礎，具化抽象概念

本節課的開始，教師通過兩個量的比較，讓學生認識“一份”和“幾份”，明確“幾份”的產生是由“一份”決定的，“幾份”就是幾倍，由此初步建立“倍”的概念。

【教學片段1】

1、課前老師請小朋友們用○和△來表示3倍的關系，那現在讓我們一起來看看。

2、出示學生作品，初步建立“ 的個數是 的3倍”。

（1）（圖1）師：誰看懂了？這里有3倍的關系嗎？誰是誰的3倍？看來倍是指兩個量之間的一種關系（板書：關系）

（2）師：你是怎么看出來的？

（3）誰有辦法讓人一眼就看出誰是誰的3倍？

（把3個圓圈一圈看作一份，是1個2，三角形有這樣的3份是3個2，我們就說三角形的個數是圓的3倍）

3、課件演示：把2個○看成1份，我們把它圈起來，就是1個2，△有這樣的3份（課件圈一圈），就是3個2，那我們就說△的個數是○的3倍。

4、分別演示3個3、3個4等學生作品

【評析：圖是學生解決問題的腳手架，它能使抽象的概念變得具體化，使學生在簡明形象的直觀中獲得對數量關系的直接感知。課的伊始筆者以學生的課前預學單中的素材來導入學習，充分關注學生學習起點，從學生自己提供的素材展開研究更能吸引學生注意力，提高學生的學習興趣。“倍”實際上就是一份與多份之間的關系，“份”和“倍”概念在理解上最大的區別在于“份”是學生可以直接看到、感知到的，而“倍”則是學生在頭腦中通過運算得出來的。借助圈一圈的方法可以輕松找到“一份”和“幾份”，可以降低學生對“倍”的理解上的困難，初步建立倍的表象，這是建立倍概念的最低維度思維，也是最直觀、最易理解的方法，有利于學生有效表達自己構建的概念表象。】

二、以比較探究為手段，建立概念認知

烏申斯基說：“比較是一切理解和一切思維的基礎。我們正是通過比較來了解世界上的一切的……”研究表明：兒童對于事物的相異點比相同點容易發現。因為在學生初步認識兩種量之間3倍的關系后，教師設計了這樣一個環節。

【教學片段2】

1、填一填：（圖2）

獨立完成——反饋交流：說說你是怎么想的？

2、（圖3）比較：小朋友們你們有沒有發現，剛才的題目中有圖形、有蘿卜、也有小棒，而且它們的個數各不相同，為什么我們都可以說多的個數是少的3倍呢？（都可以說是3倍的關系）

3、小結：不論這一份里有幾個只要我們把這些看作是1份，而這里（指著課件）有這樣的3份，我們就說 的個數是 的3倍。

【評析：比較是重要的數學思維，同時也是重要的數學學習方式。本環節在學生初步認識兩個量之間3倍關系后，再設計了3道練習題，讓學生借助實物圖完成。然后結合片段1中出現的同樣是3倍關系學生作品，重點引導學生探究：題目中有圖形、有蘿卜、也有小棒，而且它們的個數各不相同，為什么我們都可以說多的個數是少的3倍呢？目的在于引導學生探索在不同事物背后隱藏著的相同點：只要把一方看作一份，另一方有這樣的三份，我們就說 的個數是 的3倍。異中求同使學生在比較中揭開“倍”的本質，理解抽象的“倍”。同時借助課件讓學生從眾多的事物中抽取出共同的、本質的特征，完成學生對倍的認識從具體直觀到抽象數量關系的轉化。】

三、以圖形直觀為過渡，完善概念本質

線段圖雖然是用幾何線段直觀表示出數量關系，但對第一次接觸的學生來說卻是抽象的。借助圖形直觀地把握數學對象，進行數學思考，把研究“對象”抽象成為“圖形”，再把“對象之間的關系”轉化為“圖形之間的關系”，引導學生從形象的實物圖慢慢過渡到線段圖，培養幾何直觀。

【教學片段3】

1、那你還想到了幾倍？用你喜歡的方式把它表示出來。

要求：（1）、想一想：你準備怎么表示？

（2）、畫一畫：怎樣畫能讓人一眼就看出來

（3）、說一說： 的個數是 的（ ）倍

2、校對，指學生作品追問：要使 的個數是 的5倍，要畫這樣的幾份？（在學生作品上畫圈）6倍呢？

（出示圖4）師：看的懂嗎？第二行的個數是第一行的幾倍？

（演變成圖5）師：現在還是6倍嗎？

如果第二行的個數是第一行的7倍呢？10倍呢？100倍呢？

3、小結：也就是說以這樣的長度為一份，下面的線段有這樣的幾份，就是它的幾倍

4、理解1倍：出示學生作品

這是幾倍？為什么？

【評析：在學生充分理解兩個量之間的“3倍”關系后，教師設計操作活動：自由創造倍，這樣可以鞏固對倍的認識，加深對倍的理解，同時培養他們的創新精神、觀察和歸納總結的能力，幫助學生理解數形結合，提升思維能力。而后通過“要使 的個數是 的5倍，要畫這樣的幾份？”這一核心問題引導學生思考“一份”和“幾份”之間的聯系，再借助課件把具體的事物轉化為?再過渡到線段圖，層層推進，由具化到抽象，提升倍的認識，提高學生抽象概括能力，培養幾何直觀。】

四、以“非標準結構”為載體，深化辨析概念

本節課是學生第一次認識倍的概念，設計清晰、直觀的“標準結構”有助于學生建立倍的概念，但教學中不能都是“標準結構”，它不能促進學生真正深入思考，所以設計以下兩個“非標準結構”，讓學生在辨析中深化對倍的認識。

【教學片段4】

1、出示圖6：

師：這個小朋友圈的對嗎？

師：看來不是隨便圈的，要根據誰的個數來圈呢？

師：對，我們把其中的一個數看做一份圈起來，再去圈另一個數的時候就要以這一份為標準。

師：如果讓三角形的個數還是圓形的2倍呢？你有什么辦法？

師小結：小朋友們很棒，能想到增加三角形的個數或者減少圓形的個數，但不管是增加還是減少，我們的目的都是想辦法讓每一份都一樣多。

2、練習十一第1題（出示圖7）

師：你能找出其中的倍數關系嗎？

師：我們一起來圈一圈，擺一擺驗證一下

師：如果不擺不圈還存在2倍的關系嗎？如果讓它更亂一點呢？

師小結：看來倍數不在于次序上擺放的整不整齊，而在于數量上有沒有這樣的關系。

【評析：第1個活動的設計目的是讓學生在變化的過程中進一步理解“倍”的含義，強化標準量的唯一性和重要性，感受變與不變的辯證思想。第2個活動設計旨在通過練習讓學生理解即使打亂實物的排列順序不會影響內在的倍數關系，使學生跳出圖形去關注“數”，進而關注數量間的關系，從而做到“舍棄事物或現象的質的內容，而僅僅著眼于它們量性特征”，對倍的認識從感性上升到理性。】

參考文獻：

[1]金奎 “乘除比翼”：倍認識的新視角[J] 寧波教育學院學報 2017（4）

[2]郭立軍 劉鳳偉 從概念同化到概念形成的教學實踐研究[J] 課程·教材·教法 2016（8）

[3]謝清霖. 解讀教材，整體把握[J]. 福建教育，2012（27）

[4]萬培珍 蔡海根 數學概念可以直接告訴嗎[J] 教學與管理 2006（3）

（作者單位：浙江省溫州市蒲鞋市小學）