解析高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法及技巧

陸春東

[摘要] 在應(yīng)試教育的大背景下，高中數(shù)學(xué)面臨著大量的習(xí)題訓(xùn)練和講評，在這種形式下，如何實現(xiàn)減負(fù)高效，如何擺脫題海戰(zhàn)術(shù)的約束，讓學(xué)生在切實有效的訓(xùn)練中提升對知識與技能的掌握深度，提升學(xué)生對思想與方法的應(yīng)用能力，這是關(guān)鍵所在。筆者結(jié)合數(shù)列試題，就如何優(yōu)化解題方法和技巧來論述，旨在拋磚引玉。

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)列;解題

數(shù)列是高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中需要掌握的重要知識，數(shù)列與方程、函數(shù)、不等式之間有著緊密聯(lián)系，數(shù)列題型復(fù)雜多變，學(xué)生在解題中極易產(chǎn)生困擾。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)格外關(guān)注數(shù)列教學(xué)，尤其是有關(guān)數(shù)列試題的解題方法和技巧，更要進行專門訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握和數(shù)列相關(guān)的解題方法及技巧，使其能夠準(zhǔn)確、快速地解決數(shù)列問題，提升學(xué)習(xí)自信。

一、牢固掌握基礎(chǔ)數(shù)列公式，運用公式原理解答試題

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識體系中，包括等差數(shù)列和等比數(shù)列兩大類型，考查數(shù)列概念的試題較為普遍，主要體現(xiàn)在求和公式與通項公式兩個方面，只需要求學(xué)生反復(fù)朗讀、背誦和記憶即可，他們就能夠很好地理解和掌握數(shù)列公式，在面對此類試題時，可以在短時間內(nèi)求出正確答案。同時，合理利用求和公式和通項公式，是理解基礎(chǔ)數(shù)列知識和分析典型數(shù)列試題的基本體現(xiàn)，通過分析和解決試題，可以幫助學(xué)生有效掌握有關(guān)數(shù)列公式的規(guī)律。

比如，教師設(shè)置試題：已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，ai=l，a1，a，a9成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式以及數(shù)列{2}的前n項和Sn。解析：根據(jù)題意可得該等差數(shù)列的公差d≠O，因為a1=1，a1，a3，a9成等比數(shù)列，得出（1+2d2=（1+8d，解出d=0（舍去）或d=l，所以{an}的通項公式an=1+（n-1）×1=n。根據(jù){an}的通項公式可得2x=2n，根據(jù)等比數(shù)列前”項和公式能夠得出：SN=2+22+23+……+2N=2（1-2N） /1-2=2N+1-2。在解答完題目之后，教師需帶領(lǐng)學(xué)生回顧解題思路，總結(jié)和歸納該類題型的解題技巧。

在上述案例中，教師通過設(shè)置基礎(chǔ)性數(shù)列試題，要求學(xué)生對基本的等比數(shù)列公式和等差數(shù)列公式熟練掌握和透徹理解，學(xué)會科學(xué)、恰當(dāng)?shù)剡\用公式思考和解析試題。扎實基礎(chǔ)知識與基本技能是開展深入學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和前提，無論在哪個環(huán)節(jié)，我們都需要開展深入而有效的基礎(chǔ)訓(xùn)練和學(xué)法指導(dǎo)，不積跬步無以至千里。

二、靈活運用數(shù)列性質(zhì)解題，實現(xiàn)解答試題的高效性

在近年來的高考數(shù)學(xué)數(shù)列試題中，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列基本性質(zhì)的題目有很多，雖然部分題型解答起來較為容易，只需套入相應(yīng)的公式即可，不過有的試題難度較大，考查學(xué)生的邏輯思維能力，這就要求他們在學(xué)習(xí)中既形成基本的數(shù)列素養(yǎng)，還要能夠?qū)菰锓ξ兜闹R進行靈活運用，不斷拓展有關(guān)數(shù)列方面的知識，不斷豐富學(xué)生的知識儲備。所以，高中數(shù)學(xué)教師需引導(dǎo)學(xué)生靈活運用數(shù)列性質(zhì)解題，解答試題時表現(xiàn)得更加高效。

如此，該試題主要考查數(shù)列的基本性質(zhì)，特別是等差中項和等比中項，學(xué)生可以采用配方法和函數(shù)的單調(diào)性來求數(shù)列的最值，從而高效解答試題。題目是無限的，而方法是有限的，教師要通過科學(xué)引導(dǎo)來啟發(fā)學(xué)生開展針對性的專題訓(xùn)練，讓學(xué)生在訓(xùn)練中提升專題復(fù)習(xí)的效果，達成由此及彼、舉一反三的效果。

三、采用通用數(shù)列解題技巧，幫助學(xué)生快速求解試題

隨著對高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識的深入學(xué)習(xí)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)最普遍和形式最多的試題是對通用解題方法和技巧的考查，這就需要重點訓(xùn)練采用通用解題方法技巧處理試題，使其能夠快速求解試題。由于高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的性質(zhì)比較獨特，學(xué)生在解題過程中的思維模式應(yīng)當(dāng)始終保持活躍，把特殊的數(shù)列進行合理拆分或合并，真正找到解題的突破點，之后根據(jù)題意靈活采用錯位相減法、分組求和法、疊乘法、倒數(shù)法、倒序相加法等。

例如：在數(shù)列{aN}中，a=l，且點（an，an+1）（n∈N*）在函數(shù)f（x）=x+2的圖像上。（1）求數(shù)列{an}的通項公式。（2）在數(shù)列{an}中抽取出第2，4，6，8 ……2n項，形成新的數(shù)列{bn}，那么數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sx分別是什么？解析：（1）因為點（an，an+1）在函數(shù)f（x）=x+2的圖像上，所以an+l=an+2，即an+1-an=2，故數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列，其中首項a1=l，公差d=2，則an-1+（n-l）×2=2n-l。（2）根據(jù)題意可得bn=am=4n-l，Sn=bl+b2+b3+…+bn=n（2n+l）。

上述案例，學(xué)生把數(shù)列中的每一項分成多項，再將數(shù)列的項進行重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后采用等差數(shù)列或等比數(shù)列求和公式進行求解，快速求出答案。在此，我們可以發(fā)現(xiàn)方法的重要性和必要性，在這個環(huán)節(jié)，我們教師需要啟發(fā)學(xué)生對方法與思想進行積累與對比，在有效的、針對性的訓(xùn)練中提升學(xué)生對方法與思想的領(lǐng)悟深度，并逐漸轉(zhuǎn)化為學(xué)生自身的素養(yǎng)。

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題解題實踐中，教師需要根據(jù)學(xué)生在解題中遇到的實際情況或困惑進行深入解析，幫助他們不斷完善和優(yōu)化解題方法及技巧，使其牢固掌握基礎(chǔ)數(shù)列公式，靈活運用數(shù)列性質(zhì)，指導(dǎo)學(xué)生掌握多個通用的解題方法及技巧，全力提高他們的數(shù)列解題水平。