關于蛇形擺結構的原理分析以及拓展探究

陳祈宏

摘要：本文是從通過分析蛇形擺的數學原理，物理原理以及模型的構架來探究實際搭建與理論的不一致性，并且嘗試了提出改進構架的方法與通過蛇形擺形成的新擺形。并且將蛇的運動與蛇形擺的運動進行對比，發現兩者的不同。

關鍵詞：蛇形擺實驗;實驗分析;擺系統

中圖分類號：G633

文獻標識碼：A

文章編號：1672 - 9129（2018）12 - 0169 - 02

1 實驗設計

蛇形擺抖動過程為：蛇形一雜亂一奇偶分離，兩條蛇形一雜亂一蛇形

1.1 T= 2π√L/g （注意點：只有當角度很小時，一般小于等于5度時，小球才做簡諧運動。）

以下為公式證明：M= -m*g*l*Sinx

其中m為質量，g是重力加速度，l是擺長，x是擺角。

我們希望得到擺角x的關于時間的函數，來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關系不難得到，M=J*β。

其中J = m*l～2是單擺的轉動慣量，β=x"（擺角關于時間的2階導數）是角加速度。

于是化簡得到X"m*l=-g*Sinx.

我們對上式適當地選擇比例系數，就可以把常數l與g約去，再移項就得到化簡了的運動方程x"+ Sinx=0.

因為單擺的運動方程（微分方程）是x"+Sinx=0…………（1）

而標準的簡諧振動（如彈簧振子）則是x"+x=O…………（2）

證明單擺角度小時為簡諧運動，故T=2π√L/g成立。

我們知道（1）式是一個非線性微分方程，而（2）式是一個線性微分方程。所以嚴格地說上面的（1）式描述的單擺的運動并不是簡諧運動。

不過，在x比較小時，近似地有Sinx≈x。（這里取的是弧度制。即當x->0時有Sinx/x=o（1）。）因而此時（1）式就變為（2）式，單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。

然后說一下為什么是5°。由于Sinx≈x這個近似公式只在角度比較小的時候成立（這一個可以從正弦函數的在原點附近的圖象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。

事實上50≈0.087266弧度，Sin5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。在低精度的實驗中，這種系統誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。

由于正弦函數的性質，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達17%），就完全不能說它是簡諧振動了。

選定周期為40s后進行計算。

以下為關于球擺長的計算過程：

1.2Ti+l= （i+l/i）Ti

進行小球捆綁的魚線綁法。

因要保證小球平行擺動，故采用兩根繩子控制一顆小球的方法保證其在晃動中的穩定性。保證所有小球沿同一方向運動。

2 實驗過程

2.1 用鋸子將四根長木切成統一形狀，劃線，用鋸子舉出所需形狀。

2.2 將第五根長木（后文成為單擺木）上取12條與6cm邊平行的直線并取中點來作為鐵球的投影點并取每兩點的中點及左右頂點外6cm作為穿孑L中心，鏈接投影點成中心軸，在中心軸上，對每一個穿孔中心兩側5 mm處打一個孑L，（過程中需注意留足與支持木的連接位置）。

2.3 將之前切好的四根支持木與單擺木連接，形成簡單支架。

2.4 用兩根短木材固定兩端的兩根支持木，連接方法同上。

2.5 用魚線連接帶環小球，每個小球對準鐵球投影點，小球到單擺木下端距離即為擺長，魚線穿過掛環，在相鄰兩個穿孑L中心用魚線綁法系緊，最后形成的小鐵球應為一條拋物線。

2.6 進行實驗。

2.7 整理器材。

3 實驗結果

在剛穿好前兩個小球的過程中，進行了測試，周期為38s。

首次實驗時，周期與預先算好的40s所差不多。

在第二次實驗時，周期為39. 7s，在可控范圍內。

4 誤差分析

4.1 由于把繩子抬起時小球與圓周運動圓心的連線和豎直平面的角度大于5度，故小球不做簡諧運動，導致了周期的測量有偏差。

4.2 因為小球的中心被挖孑L又連上了鉤環，故小球質心不是其幾何中心，發生一定的偏差，又有卷尺測量的不準確性，故導致了公式中L的誤差。

4.3 由于掛小球的細線與木板之間有摩擦，故即使在正確的角度放下，也不是正規的簡諧運動，產生了周期誤差。

4.4 考慮到實驗時空調風的影響，以后的實驗不應再有風環境中進行。

5 實驗結論

5.1 擺系統相關。

蛇形擺運動與簡諧運動的關系：在蛇形擺中，每一個小鐵球在晃動角度不太大時，均在做簡諧運動。

5.2 結構相關。

穩固結構的特征與判斷：呈三角形或類似結構，是整體在任意方向不發生過分形變的偏差;

規律運動部件對整體的影響：每一個單擺都有其固定的周期，所以任何一點小的誤差都會導致整體的運動與預料的不符;

加固方式的配合運用：綜合考慮長寬高，硬度，摩擦系數，彈性等一系列因素（可粗略，求全即可）再對物體進行整體加固。

6 自我感悟

相對于平時的理論物理題目，蛇形擺對于實驗者的綜合能力要求更高，以及對于實驗數據的精準性也更高，任何一點小的誤差都會導致結果的差異，故實際實驗對于嚴謹性是遠超理論物理的。其次，當我開始面對實驗題目時感到一籌莫展，主要就是不熟悉應用物理，故還應當在生活中去貫徹學習物理的態度。其次是一些反思，在本次試驗中，由于事先沒有想好在出了誤差之后的整改方案，所以在魚線的調整上花費了太長時間，在進行試驗時，要事先想好如何簡便的解決錯誤，即提高容錯率。

參考文獻：

[1]“單擺小角度時為簡諧運動”證明，摘自www.51cok. com/w-lzsd/6418.html