基于數學抽象素養培養的解析幾何概念教學

吳啟霞

[摘 要]數學抽象是數學六大核心素養之一.概念是考查數學抽象素養的重要載體，解析幾何是整個高中數學中難度最大、考核要求最綜合的模塊之一，解析幾何概念教學是培養學生數學抽象素養的有效途徑.基于此，以解析幾何概念教學為例，從概念的引入、概念的理解、概念的鞏固、概念的系統化等方面談談如何在概念教學中培養學生的數學抽象素養.

[關鍵詞]數學抽象素養；解析幾何；概念教學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）20-0019-02

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“高中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等六大核心素養.”核心素養一經提出，便引起廣大高中數學教師的高度關注，而數學核心素養是在掌握數學知識的基礎上，在數學活動過程中逐步形成的，筆者也嘗試著在高中數學教學中有意識地加強學生數學核心素養的培養.章建躍教授說過：“重視概念教學，提升概念教學水平，其中最切實的是抓數學核心概念形成的教學，選取學生熟悉的典型實例，提供豐富材料，讓學生經歷完整的數學抽象過程，熟悉數學抽象的‘基本套路，在概念學習中學會數學抽象.”也即搞好數學概念教學是實現“數學抽象”的落腳點，形成數學概念與規則、形成數學命題與模型、形成數學思想與方法以及形成數學結構與體系是數學抽象的四個表現.解析幾何是整個高中數學中難度最大、考核要求最綜合的模塊之一，解析幾何概念的獲取過程是在數量關系與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系的過程，也是從事物的具體背景抽象出一般規律和結論，并轉譯成數學符號語言的過程，即數學抽象素養形成的過程.本文基于解析幾何概念教學，從概念的引入、概念的理解、概念的鞏固、概念的系統化等方面談談如何在概念教學中培養學生的數學抽象素養.

一、重視概念的引入，豐富學生的感受與體會

數學新概念有的源于日常生活的事物或現象，有的是在原有概念的基礎上概括而成的，有的是對數學對象共同屬性的抽象，有的則是為了適應數學理論發展的需要而引入的.由于數學概念用比文字語言更簡練和嚴密的數學語言形式表達事物的本質屬性，所以顯得“高深莫測”.概念教學需要具體分析概念產生的背景，根據學生的認知發展規律去選擇合適的引入方式，以促進學生獲得初步的感性認識.

高中數學解析幾何概念可采用直觀圖形、數學實例、應用問題等方式引入.教師在引入解析幾何概念時，使用的直觀材料，要盡量避免無關屬性的干擾，同時要及時引導學生進行細致觀察和分析，并歸納、概括出概念的本質屬性，而不能過多地停留在感性認識上；要充分利用學生的幾何直覺去闡明定義的合理性，特別注意給學生以準確清晰的概念表征.如圓錐曲線的概念內涵包括運動性、變化性和過程性，教師應通過學生的活動與操作，或適當采用現代教育技術（如幾何畫板）展現圓錐曲線圖像的動態形成過程，引導學生觀察分析影響其圖像變化的因子，從而促進學生對圓錐曲線概念的認識與理解.一些數學概念蘊含著深刻的數學思想和豐富的文化價值，引入這些概念時要注意挑選合適的材料予以滲透，逐步豐富學生的感受與體會.

例如，在引入橢圓概念時，可以讓學生列舉生活中的橢圓實例，通過“嫦娥”月球探測衛星的運動軌跡的視頻演示引入，讓學生意識到橢圓在科技和生活中的廣泛應用，使之逐步認識到數學的科學價值、應用價值和文化價值.在圓的教學中，可以通過動手實驗引入圓的概念，如讓學生動手用圖釘把繩子的一端固定，另一端則綁一支鉛筆，然后緊拉繩子移動筆尖畫圓形，最后歸納定義.概念的形成過程，實際就是對概念進行數學抽象和概括的過程，教師應通過開展觀察實物、構建模型、畫圖形等活動引入新概念，讓學生在感性認識的基礎上強化對概念的理解，進而打通數學核心概念教學與數學抽象素養培養的通道.

二、重視概念的形成，強化學生對概念本質的理解

概念的形成就是要促進學生準確地掌握概念的內涵和外延，以實現對數學概念本質的理解.數學是揭示現實世界空間形式與數學關系本質屬性的思維形式，內涵和外延是構成數學概念的兩個重要方面.數學概念的內涵是反映數學對象的本質屬性的總和，外延則是數學概念所反映的對象的范圍.兩者分別揭示了對概念質與量的規定，充分揭示概念的內涵和外延有助于加深學生對概念的理解.

例如，圓錐曲線是平面解析幾何的核心內容，而深刻理解圓錐曲線概念的內涵與外延又是學習的重點.對于橢圓，教材這樣定義：平面內與兩定點[F1]、[F2]的距離之和（[MF1+MF2=2a]）等于常數（大于[F1F2=2c]）的點的軌跡叫作橢圓.它的內涵：一是到兩個定點的距離和是常數；二是常數大于兩定點距離.它的外延是不論定點在何處，只常數大于兩定點之間的距離的所有橢圓.設問：“當常數小于或等于兩定點的距離時又是什么軌跡呢？”通過實驗探究發現，當[MF1+MF2]為常數時，軌跡不一定為橢圓.類比雙曲線的定義：平面內到兩個定點的距離之差的絕對值是常數（小于定點距離）的點的軌跡稱為雙曲線.其內涵：一是強調到兩個定點距離差的絕對值，保證了雙曲線的兩支；二是此常數必大于0且小于定點距離，外延是以定點為焦點的所有雙曲線.這樣，學生對圓錐曲線的核心概念有了既有“質”又有“量”的完整統一的認識和理解.另外，由于概念內涵的多重性，教師還可以引導學生從定義出發，推演概念的其他本質屬性，用不同的方式描述概念，表示概念，尋找概念新的等價定義，以豐富學生對概念的認識和深化學生對概念的理解，從而促進學生理解圓錐曲線概念的本質.

三、充分利用例題和變式習題，幫助學生鞏固和深化概念

對高中生來說，不可能一下子就建立起數學概念，這需要一個過程.待學生建立數學概念后，教師應及時安排相應的練習予以鞏固.概念的鞏固練習應循序漸進地進行，整體上可以分為知覺水平上的低層次運用和思維水平上的高層次運用兩個層次.對數學概念的肯定例證加以辨識屬于概念知覺層次上的運用，對這一類練習的選擇一定要具有代表性和典型性，這些供鑒別的實例，既要包括正例，也要包括反例.對于一些容易混淆的概念群，教師在教學過程中要重點做區分對比，分門別類地指出它們的異同.為了凸顯概念的本質屬性，概念的辨析應采用變式教學方式，從不同角度和方式變換事物的非本質屬性，以便揭示事物的本質特征.

例如，在拋物線概念教學中，可將例題“若動點[M（x，y）]與定點[F（2，0）]和定直線[l：x+2=0]的距離相等，則[M]點的軌跡是什么？”變式為“1.若動點[M（x，y）]與定點[F（2，0）]比它到定直線[l：x+3=0] 的距離小1，則[M]點的軌跡是什么？2.若動點[M（x，y）]與定點[F（2，3）]和定直線[l：x+y-3=0]的距離相等，則[M]點的軌跡是什么？”然后讓學生自主練習.這屬于概念思維層次上的運用.在這過程中，教師選用的例題要注意體現概念的本質特征，設置變式練習時要從多個層次考慮，讓學生能夠在解決問題的過程中加深對概念的理解，厘清知識間的內在聯系.

四、通過網絡結構圖式，使概念系統化

現代教育認知理論認為，人腦中的知識結構在很大程度上決定著人的認知能力，知識的結構層次越高，人的認知能力就越強.學生頭腦中的數學知識結構，歸根到底是學生通過自己的數學思維逐步建立起來的.而數學基本概念往往是成群結對地出現，任何概念都要在某個概念系統中發揮作用，概念體系的形成，有利于學生弄清概念之間的區別與聯系，有助于學生掌握概念的本質內涵，也有助于學生把握概念的外延，還能促進學生對概念的記憶、保持和提取，同時澄清對概念的模糊認識，擴展學生頭腦中的知識結構.因此，數學教師在解析幾何概念教學中要發揮主導作用，適當組織學生對所學概念進行歸納和總結，使之條理化和系統化，從而完善認知結構.構建概念體系一般可以從四個方面考慮：相鄰概念形成體系；相反概念形成體系；從屬概念形成體系；并列概念形成體系.為了整體展示概念間多方面的邏輯體系，可采用網絡結構圖的方式.高中解析幾何的核心概念為曲線的方程和方程的曲線，具體是直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線及其方程，其基本方法是幾何問題轉化為代數問題，代數結構幾何化，基本思想是數形結合思想.因此，在教學過程中教師應通過網絡結構圖式，幫助學生形成有序的概念結構，提高知識結構的層次，培養學生的數學抽象素養.

綜上可知，概念教學是數學教學的基石，而形成概念的過程是典型的數學思維過程，教師在教學過程中完成知識傳授的同時更要強化對數學核心素養的培養.培養學生的數學抽象素養是一個長期的過程，在數學概念教學中有意識地加強訓練，不斷地堅持下去，就能將數學核心素養的培養落到實處，而數學核心素養的長期浸潤則有助于學生數學能力和數學思維的形成.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 章建躍.高中數學教材落實核心素養的幾點思考[J].課程·教材·教法，2016（7）：44-49.

[3] 李昌官.核心素養視角下的解析幾何起始課[J].中學數學教學參考，2016（28）：8-10.

[4] 熊惠民.中學數學教學設計與案例研究[M].北京：科學出版社，2014.

（責任編輯 黃春香）