高中數(shù)學(xué)排列組合問題的常見解法

林萍

[摘 要]排列組合是組合學(xué)最基本的概念，也是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)板塊之一. 雖然排列組合不是高中數(shù)學(xué)最難理解的知識(shí)板塊，但卻是高中數(shù)學(xué)最容易出錯(cuò)的板塊之一.想要簡單、準(zhǔn)確地解決排列組合問題，就要掌握排列組合問題的解題方法和技巧.高中數(shù)學(xué)排列組合問題的常見解法有“特殊元素特殊安排”法、捆綁法和畫圖法.

[關(guān)鍵詞]排列組合問題；常見解法；高中數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）20-0011-02

排列組合是組合學(xué)最基本的概念，也是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)板塊之一.排列組合問題因題型多變，隱含條件復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生在計(jì)算上容易出現(xiàn)偏誤.掌握有效的解題方法是學(xué)習(xí)排列組合的捷徑.本文主要?dú)w納總結(jié)高中數(shù)學(xué)排列組合問題的常見解法，以期能幫助學(xué)生有效解決排列組合問題.

一、特殊元素特殊安排

在高中數(shù)學(xué)排列組合題中，有一些較為特殊的隱含條件，它們構(gòu)成了特殊元素和特殊位置.在解題的過程中，應(yīng)挖掘和轉(zhuǎn)化隱含條件，優(yōu)先安排特殊元素和特殊位置，從而使題目化繁為簡.

[例1]0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？

這道題看似容易，實(shí)際蘊(yùn)含了三個(gè)隱含條件，首先是“五位數(shù)”，也就是說我們只考慮從6個(gè)數(shù)中選擇5個(gè)數(shù)的情況，六位數(shù)、四位數(shù)都不在考慮的范圍內(nèi).其次是“沒有重復(fù)”，這意味著選擇的過程中可用的數(shù)是逐次遞減的，屬于組合問題.最后是“奇數(shù)”，這意味著個(gè)位數(shù)只能從1、3和5這三個(gè)數(shù)中進(jìn)行選擇.因此在解決這道題時(shí)，首先個(gè)位的限制條件是最多的，因此優(yōu)先安排個(gè)位，那么個(gè)位只能從1、3、5三個(gè)數(shù)中任選一個(gè)，那么就有C[13] 種情況；其次含有特殊位置的是首位，雖然首位沒有限定條件，但是由于題目說了必須是五位數(shù)，因此首位不可以是0，故只有C[14] 種情況.在安排完特殊位置后，可以再來考慮中間沒有特殊要求的三位數(shù)，中間三位數(shù)應(yīng)在剩下的4個(gè)數(shù)中選取3個(gè)，同時(shí)是有順序的，因此需要用排列，共有A[34]種情況.因此這道題目的答案是C[14] C[13] A[34]=288（個(gè)）.其實(shí)這道題還可以進(jìn)行延伸，如將題目結(jié)論改為“可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？”或是“可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？”，難度就大大增加了.因此在實(shí)際教學(xué)中教師若常常為學(xué)生示范例題，然后再通過改變條件讓學(xué)生進(jìn)行拓展訓(xùn)練，就能收到顯著的教學(xué)效果.

二、利用“捆綁法”解決相鄰元素問題

在排列組合題中，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)“相鄰”這一條件，而“相鄰”這一條件不止涉及一個(gè)特殊元素或者位置，更多的時(shí)候會(huì)涉及兩個(gè)或者多個(gè)特殊元素或位置，運(yùn)用上文所闡述的解題方法并不實(shí)用.因此在實(shí)際教學(xué)中可以運(yùn)用“捆綁法”來解決相鄰元素的問題.

[例2]7個(gè)人站成一排，要求甲、乙兩人相鄰?fù)瑫r(shí)丙、丁兩人也相鄰，問共有多少種不同的排法？

在解決這類問題時(shí)，可以運(yùn)用捆綁法.首先由于甲和乙必須相鄰，丙和丁必須相鄰，因此我們可以把甲和乙看作一個(gè)整體，丙和丁看作一個(gè)整體，在滿足甲、乙相鄰、丙丁相鄰的條件下一共有多少種排法.這時(shí)甲和乙看作一個(gè)整體，丙和丁看作一個(gè)整體，相當(dāng)于一共就5個(gè)人，那么排列方式就是A[55].但是我們不能忽略雖然把甲和乙看作一個(gè)整體，丙和丁看作一個(gè)整體，但是這兩個(gè)捆綁元素內(nèi)部仍可以進(jìn)行自由排列，因此這道題最后的答案是A[55] A[22] A[22]=480（種）.在解決這類題目時(shí)，首先需要找到特殊元素和特殊位置，然后用捆綁法將它們視為一個(gè)整體，最后進(jìn)行排列，排列完后一定不能忘記捆綁組合內(nèi)部的排列方式.其實(shí)這道題目還可以進(jìn)行變式，就是將“相鄰問題”轉(zhuǎn)化為“不相鄰問題”，如將題目中的“甲、乙相鄰”改為“甲、乙不相鄰”，那么這道題就有兩種解題方式，一是算出總排列種類再減去相鄰的種類就是不相鄰的種類；二是將“捆綁”變?yōu)椤安蹇铡保梢园褯]有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)，再把不相鄰的元素插入兩者之間.當(dāng)然這道題目運(yùn)用相減的方式較為簡單，但是如果題目再進(jìn)行變化，不相鄰的元素增多，那么只有用“插空”的方法才是最簡便的.

三、應(yīng)用“畫圖法”正確理解已知條件

在排列組合題目中，有一類題目看似與常見的題目相同，但是如果按照常見題目的解法進(jìn)行計(jì)算就會(huì)得到錯(cuò)誤的答案.因此在實(shí)際計(jì)算時(shí)當(dāng)發(fā)現(xiàn)條件與常見題目有偏差時(shí)，可以采用畫圖的方式，更加生動(dòng)直觀地展示出題目的含義.

[例3]8個(gè)人在8人席的圓桌上就座，問共有多少種坐法？

如果這道題不進(jìn)行畫圖，認(rèn)為與普通的直線排列是一樣的，按照常規(guī)的算法計(jì)算就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.其實(shí)由于圍成了圓形，所以就沒有了首尾之分.因此在計(jì)算這道題時(shí)可以采用畫圖的方法將具體內(nèi)容展示出來.如下圖，將8人用A、B、C、D、E、F、G、H分別表示出來，然后假設(shè)從A的位置進(jìn)行平面展開，那么展開后形成的圖像A在首尾兩處都存在，也就是沒有首尾之分.因此這道題的答案不是“8！”，而是“7！”.因此通過畫圖可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)：一般而言，n個(gè)不同的元素作為圓形進(jìn)行排列，共有（n-1）種排列方式.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作為圓形排列，則共有[1n]A[mn] 種方式.

四、合理分類與分步解決問題

分步與分類是解決排列組合問題的兩種不同的計(jì)算方式.我們都知道，分步對(duì)應(yīng)著乘法原理，分類對(duì)應(yīng)著加法原理.在排列組合題目中，有的需要運(yùn)用加法原理，有的需要運(yùn)用乘法原理，有的需要兩種原理搭配使用.因此在實(shí)際教學(xué)中需要合理運(yùn)用分類與分步對(duì)應(yīng)的原理解決相應(yīng)問題.

[例4]在一次聯(lián)歡會(huì)上一共有10名演員，其中8人會(huì)唱歌，5人會(huì)跳舞.現(xiàn)在需要出演一個(gè)2人唱歌，2人跳舞的節(jié)目，請(qǐng)問有多少種選法？

其實(shí)這道題就是含有約束條件的排列組合問題.通過已知條件，我們知道10名演員中8人會(huì)唱歌，5人會(huì)跳舞，那就說明有（8+5）-10=3名演員，既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞.因此可以重新梳理一下題意，就變成了10名演員中，2人只會(huì)跳舞，5人只會(huì)唱歌，3人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞.因此這時(shí)候可以按照元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按照實(shí)踐發(fā)生的過程分步.其實(shí)通過條件發(fā)現(xiàn)一共有三大類，一類是會(huì)唱歌的5人中沒有人選上，第二類是會(huì)唱歌的人中有一人選上，第三類是會(huì)唱歌的人中有兩人選上，這三類數(shù)學(xué)分類，運(yùn)用加法原則.因此第一類有C[23] C[23]種方式，第二類有C[15] C[13] C[24]種方式，第三類有C[25] C[25]種方式.而最后的結(jié)果就是將這三類相加，共有C[23] C[23]+C[15] C[13] C[24]+C[25] C[25]種方式.因此在解決帶有約束條件的排列組合問題時(shí)，我們可以明確隱含條件中的層級(jí)關(guān)系，運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行分類或者分步，從而讓解題水到渠成.類似這樣的題目還有很多，看似復(fù)雜無從下手，但是只要找對(duì)了方法，解題便如抽絲剝繭般容易.

綜上所述，排列組合雖然只是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但是排列組合的題型千變?nèi)f化，解題方法也是各有千秋.本文只是從上述幾個(gè)方面對(duì)排列組合問題的解題技巧進(jìn)行了分析.排列組合是高考數(shù)學(xué)的考點(diǎn)之一，雖然難度不大，但是容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的現(xiàn)象.因此作為教師，需要不斷研討，不斷總結(jié)，歸納出排列組合問題的解題方法，為學(xué)生引導(dǎo)靈活的思維和便捷的解題方式.同時(shí)，希望本文可以起到拋磚引玉的效果，通過與廣大教育工作者的交流，推進(jìn)高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)的精進(jìn).

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 于水青.排列組合問題的求解方法與技巧[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（S2）：15-17.

[2] 湯蕾.能力在有效教學(xué)中升華：淺談新課改下高中數(shù)學(xué)有效性教學(xué)中能力素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].文理導(dǎo)航（下旬）， 2011（11）：9.

[3] 劉明君.高中生排列組合認(rèn)知水平研究[D].蘭州：西北師范大學(xué)，2016.

[4] 石偉娜.高二理科生運(yùn)算能力的調(diào)查研究：以圓錐曲線教學(xué)為例[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2016.

（責(zé)任編輯 黃春香）