高考中函數圖像的識與用

■河南省安陽市第三中學 張玉寶

通過研究近幾年的高考試題發現,函數圖像的考查已成為高考命題的重點內容。有直接給出函數圖像供選的,也有間接利用函數圖像求解的。前者大多以選擇題的形式出現,后者通常是選擇或填空題的最后一題。這種形式,不僅考查了函數的概念和性質,以及其中所蘊含的轉化、函數與方程、數形結合等數學思想,而且體現了數學抽象、數學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養。本文從函數圖像的識與用兩方面進行論證分析,以詮釋函數圖像在解題中的魅力,旨在拋磚引玉,引起大家對函數圖像作用的認識和重視。

一、函數圖像的識

題型1——已知函數解析式,識別對應函數的圖像

圖1

點撥:本題通過奇函數的定義研究函數的奇偶性并利用奇偶函數的圖像特征排除選項A,緊接著利用圖中的已知信息,從(1,1)點入手,通過估算f(1)的大小排除C,D,從而確定選項B。

小結：這類題型的解法思路為:

(1)簡單基本初等函數,直接對口選圖。

(2)兩域看x,y。定義域看x,即圖像的左與右,值域看y,即圖像的上與下。

(3)奇偶性看對稱。奇函數的圖像關于原點對稱,偶函數的圖像關于y軸對稱。

(4)單調性看升降。增函數圖像上升,減函數圖像下降。

(5)周期性看反復。周期是幾,圖像就會隔幾重復出現。

(6)圖中看數據。一般來說,圖中都會出現一些已知的數據,如x,y軸上標出的數字,這些都是關鍵信息。通常需要注意的是圖像與坐標軸的交點、拐點、最高(低)點等特殊點,利用特殊點排除選項。這些點如果用得好,往往會成為解題的突破口,讓解題勢如破竹,柳暗花明。

題型2——已知函數圖像,求函數解析式或性質

例2 函數y=As i n(ω x+φ)的部分圖像如圖2所示,則( )。

圖2

小結：這類題型的解法思路為:

(2)根據最值點或函數的零點之間的距離確定周期T的值,如函數的兩個相鄰的零鄰的最高點與最低點間鄰的兩個最高(或最低)點間的距離為T。

(4)求出函數的解析式后,可能會接著考查函數的一些性質,如單調區間、周期、最大(小)值等。

題型3——已知一個函數的圖像,找出另一個函數的圖像

例3 函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖像如圖3所示,則函數y=f(x)的圖像可能是圖4中的( )。

圖3

圖4

解析：觀察導函數y=f'(x)的圖像可知,f'(x)的圖像在x軸上有三個零點,從左到右分別設為a,b,c,且a＜0＜b＜c,當x＜a時,f'(x)＜0,原函數圖像下降;當x∈(a,b)時,f'(x)＞0,原函數圖像上升;當x∈(b,c)時,f'(x)＜0,原函數圖像下降;當x∈(c,+∞)時,f'(x)＞0,原函數圖像上升。因此,y=f(x)的大致圖像是降→升→降→升,排除A,C。又y=f(x)的極大值點b為正可知,B不符合。故選D。

點撥:本題從已知導函數的零點出發找極值點,看x軸上方的圖像f'(x)＞0,原函數圖像上升,看x軸下方的圖像f'(x)＜0,原函數圖像下降,然后據此畫出原函數的大致圖像,再結合極值點的正負確定選項D。

小結：這類題型的解法思路為:

(1)已知導函數圖像找原函數圖像。對于導函數圖像,主要看導函數的零點,即其與x軸的交點x0,且圖像在x0兩側附近連續分布于x軸上下方,則x0為原函數圖像的極值點。這里,以導數為工具來討論函數的單調性時,由導函數f'(x)的正負,得出原函數f(x)的單調區間。故f'(x)＞0時,原函數單調增,圖像上升,f'(x)＜0時,原函數單調減,圖像下降。

(2)已知原函數圖像找導函數圖像。原函數圖像主要看其升降的“拐點”,圖像上升,原函數的導函數值為正,其導函數的圖像在x軸的上方;圖像下降,原函數的導函數值為負,其導函數的圖像在x軸的下方。

二、函數圖像的用

題型4——利用函數的圖像解不等式

例4 已知f(x)是定義在R上的奇函數。當x＞0時,f(x)=x2-4x,則不等式f(x)＞x的解集用區間表示為 。

解析：作出f(x)=x2-4x(x＞0)的圖像,如圖5所示。由于f(x)是定義在R上的奇函數,利用奇函數圖像關于原點對稱作出x＜0的圖像。再作出直線y=x的圖像。不等式f(x)＞x,表示函數y=f(x)的圖像在直線y=x的上方,觀察圖像易得解集為(-5,0)∪(5,+∞)。

點撥:不等式f(x)＞x的解集就是函數y=f(x)的圖像落在函數y=x的圖像上方的部分所對應的自變量x的取值集合。

圖5

小結：利用函數的圖像解不等式的思路為:當不等式問題用代數法求解困難或不能用代數法求解但其與函數有關時,常將不等式問題轉化為兩函數圖像的上下關系問題,數形結合求解。

題型5——利用函數的圖像求函數的交點問題

例5 已知函數y=f(x)的周期為2,當x∈[-1,1]時,f(x)=x2,那么函數y=f(x)的圖像與函數y=|l gx|的圖像的交點共有( )。

A.1 0個 B.9個 C.8個 D.1個

解析：在同一坐標系中作出函數y=f(x)與函數y=|l gx|的圖像,如圖6所示,

圖6

分析圖像可知,共有1 0個交點。故選A。

點撥:在同一坐標系中正確作出函數y=f(x)與函數y=|l gx|的圖像是求解本題的關鍵。

小結：這類題型的解法思路為:

(1)已知兩函數,利用周期性、奇偶性直接作出兩個函數的圖像,看圖查交點即可。

(2)遇到函數的零點問題,轉化為兩個新函數的圖像交點問題,再同(1)作出圖像求解即可。

函數的圖像形象地揭示了函數的概念和本質,彰顯了函數的個性和品質,為我們研究數量關系問題提供了“形”的直觀性。我們既可以在有圖時看圖識圖,也可以在無圖時畫圖用圖。這為我們探求解題途徑,尋找解題的思路和方法,感悟轉化與化歸、數形結合的數學思想,提供了一個很好的載體。