聚焦導(dǎo)數(shù)與微積分知識(shí)中的易錯(cuò)點(diǎn)
2018-10-19 01:12:58河南省光山縣第二高級(jí)中學(xué)李枝倫
■河南省光山縣第二高級(jí)中學(xué) 李枝倫
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具,為我們解決函數(shù)有關(guān)問題提供了有效方法,微積分對(duì)曲邊梯形求面積提供了一般性的解法。因此,導(dǎo)數(shù)知識(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一,是高考必考的知識(shí)點(diǎn)。一些同學(xué)由于對(duì)這方面知識(shí)的理解不夠深入和準(zhǔn)確,在解決問題時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。
易錯(cuò)點(diǎn)1——對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義理解不透徹
例 1 設(shè)f'(x0)存在,求
提醒：在導(dǎo)數(shù)的定義中,增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy必須選擇相應(yīng)的形式,即增量一致。解此類問題時(shí),要注意表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),Δx可以為正,也可以為負(fù),但在導(dǎo)數(shù)的極限定義式中,分子與分母中Δx的系數(shù)是一致的。幾種等價(jià)形式如下:
易錯(cuò)點(diǎn)2——求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)分不清函數(shù)的層次
提醒：對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),易出錯(cuò)的原因就是不能將函數(shù)的復(fù)合層次弄清楚,造成求導(dǎo)不徹底。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,適當(dāng)選定中間變量分步求導(dǎo),特別注意對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)。
易錯(cuò)點(diǎn)3——求單調(diào)區(qū)間時(shí)忽視定義域
例3 求函數(shù)f(x)=3x2-2 l nx的單調(diào)區(qū)間。
正解：可以看出,上述解法思路是正確的,但是在求解的過程中卻忽視了函數(shù)的定義域(0,+∞),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)
提醒：定義域是函數(shù)存在的基礎(chǔ),脫離定義域函數(shù)是沒有意義的,因此解函數(shù)問題時(shí)對(duì)定義域要優(yōu)先考慮。同時(shí)還要注意,在寫單調(diào)區(qū)間時(shí),如果有多個(gè)不連續(xù)單調(diào)區(qū)間時(shí),不能用并的符號(hào)“∪”連接,要用“和”連接。
易錯(cuò)點(diǎn)4——對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的充分必要條件理解不清
例4 已知函數(shù)f(x)=k x3-x2+
錯(cuò)解:由已知可得f'(x)=3k x2-2x+一切x∈R,都有f'(x)＞0,即值范圍是(1,+∞)。
提醒：f'(x)在某區(qū)間上恒大(小)于0只是f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增(減)的充分非必要條件,并不是充要條件,因此函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增(減)函數(shù),則它的導(dǎo)函數(shù)f'(x)在該區(qū)間上大于(小于)或等于0。
易錯(cuò)點(diǎn)5——混淆曲線上某點(diǎn)處的切線與過曲線某點(diǎn)的切線
例5 已知曲線y=x3,則過點(diǎn)(1,1)的
錯(cuò)解:因?yàn)閥'=3x2,所以切線的斜率k=3,因此切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0。
提醒：求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程,則點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)且在曲線上,切線的斜率為k=f'(x0),有唯一的切線。求曲線y=f(x)過某點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程,切線經(jīng)過點(diǎn)P,但曲線不一定經(jīng)過點(diǎn)P,所以點(diǎn)P可能是切點(diǎn),也可能不是切點(diǎn),這樣的直線可能有多條。因此,求曲線的切線問題時(shí),首先要區(qū)分是什么類型的切線,否則很容易漏解。
易錯(cuò)點(diǎn)6——分不清給定的某個(gè)區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間本身還是其子集
例6 若函數(shù)f(x)=l o ga(x3-a x)
令g(x)=x3-a x,則g'(x)=3x2-a。
當(dāng)a＞1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
提醒：沒有區(qū)分“函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是A”和“函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是增函數(shù)”。前者是一個(gè)確定的值,后者是一個(gè)取值范圍。
易錯(cuò)點(diǎn)7——誤認(rèn)為導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)就是極值點(diǎn)
例7 若函數(shù)f(x)=x4-a x3+x2-2有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍
錯(cuò)解:f'(x)=4x3-3a x2+2x=x(4x2-3a x+2)。
因?yàn)閒(x)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)且f'(x)=0,所以4x2-3a x+2=0無解。
因此Δ=9a2-3 2＜0,解
正解：當(dāng)方程4x2-3a x+2=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí),則有Δ=9a2-3 2=0,即a=值的判定易知f(x)也只有一個(gè)極值點(diǎn),所以
提醒：錯(cuò)將f'(x0)=0作為f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件。事實(shí)上,f'(x0)=0是f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件。反例y=x3在x=0時(shí),沒有極值。原因是在x=0的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)同號(hào),只有它的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)時(shí)它才是函數(shù)的極值點(diǎn)。因此f(x)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)并不等價(jià)于f'(x0)=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根。
易錯(cuò)點(diǎn)8——求函數(shù)極值、最值時(shí)沒有考慮函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)
又x∈[-1,3],所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)和(2,3),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,0)和(1,2)。所以f(1)=1,f(3)=39,f(0)=0,f(2)=0。
所以當(dāng)x=-1或3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值39;當(dāng)x=0或2時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值0。
提醒：錯(cuò)解的原因是沒有考慮函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)x1=0,x2=2,因此函數(shù)的極值可以在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)處取得,最值在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)處取得。
