函數中常見的易錯點

■河南省光山縣第二高級中學 史厚芝

函數是高中數學的重要知識內容,是高中數學知識的一條主線,是高考的重點和熱點。數、式、方程、函數、排列組合、數列等都是以函數為中心的代數,高考試題中始終貫穿著函數及其性質這條主線。然而,在學習中,很多同學對函數的內容經常會出現某些模糊的認識。

警惕1——求函數定義域時忽略定義

A.(1,2] B.[1,2]

C.(1,2) D.[2,+∞)

易錯防范：(1)求函數的定義域時,關鍵是依據含自變量x的代數式有意義來列出相應的不等式(組)求解,列不等式時,應列出所有的不等式,不要遺漏。(2)對于復合函數求定義域問題,若已知f(x)的定義域為[a,b],則復合函數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b得到。(3)對于實際問題或幾何問題,此時除要考慮解析式有意義外,還應考慮使實際問題或幾何問題有意義。

易錯點：求解復合函數的定義域問題時要注意定義。

警惕2——求復合函數單調性與應用函數單調性時忽略定義域

剖析：此題考查同學們對冪函數及二次函數圖像和性質的研究能力,以及會求復合函數的增減性的能力。在完成此類題目時,一些同學往往只會抓住復合函數單調性的規律:“同增異減”,而不考慮函數的定義域,進而得出錯誤的結果。

易錯防范：(1)求復合函數的單調區間時,切勿只顧及內層函數的單調區間,而忽視了函數定義域的重要性。(2)解決抽象不等式f(a)＜f(b)時,切勿將自變量代入函數解析式進行求解,首先應該注意考察函數f(x)的單調性。若函數f(x)為增函數,則a＜b;若函數f(x)為減函數,則a＞b。

跟蹤訓練2 已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數,若a,b∈[-1,1],a+b≠0立。

(1)判斷f(x)在[-1,1]上的單調性,并證明;

正解：(1)任取x1,x2∈[-1,1],且x1＜x2,則-x2∈[-1,1]。

因為f(x)為奇函數,所以f(x1)-(x1-x2)。

易錯點：第(2)問沒注意到定義域會出錯。

警惕3——判斷函數奇偶性時忽視定義域

錯解:非奇非偶。

剖析：如果不在定義域下化簡,而直接去絕對值得到分段函數,就會導致判斷出錯。定義域為(-1,0)∪以f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數。

易錯防范：(1)判斷函數的奇偶性,先要注意定義域必須關于原點對稱,有時還要對函數式化簡整理,判斷時必須注意使定義域不受影響。(2)化簡后再用f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)來判斷。

跟蹤訓練3 已知函數f(x2-1)=判斷f(x)的奇偶性。

易錯點：此類題型常犯的錯誤是不先考慮定義域,直接運用換元的方法求解。

警惕4——要弄清函數奇偶性的性質

例4 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,且在區間[0,+∞)上單調遞增。若則a的取值范圍是( )。

剖析：(1)該例在求a的取值范圍時,應根據題中的條件利用函數的單調性和奇偶性去掉對應法則。(2)由f(x)是定義在R上f(l o g2a),該不等式可化為f(l o g2a)≤f(1),再由函數f(x)在區間[0,+∞)上單

易錯防范：(1)奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性,則其單調性完全相同;偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性,則其單調性相反。(2)若f(x)為偶函數,則f(-x)=f(x)=f(|x|)。(3)若奇函數f(x)的定義域中含0,則必有f(0)=0。故“f(0)=0”是“f(x)為奇函數”的既不充分也不必要條件。特別要注意用f(0)=0求函數解析式中參數的值時可能造成漏解的情況。

A.1 B.-1 C.±1 D.0

正解：因為f(x)是奇函數,所以f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所k=±1。故選C。

易錯點：由于直接用了f(0)=0造成漏解而出錯。

警惕5——處理分段函數問題時的思路和方法不妥

錯解:因為對任意x1≠x2,都有立,所以f(x)是減函

剖析：分段函數的單調性問題是容易出錯的問題,有些同學由于缺少整體意識,錯解這種錯誤解法的原因是忽視了函數圖像是不連續的,沒有注意端點值的情況。根據圖像

易錯防范：解答分段函數問題的重要途徑是數形結合,畫出函數的大致圖像,定義域、值域、最值、單調性、奇偶性等問題就會迎刃而解;方程、不等式可用數形結合思想、等價轉化思想、分類討論思想及函數思想來解決,使問題簡化,效果明顯。

易錯點：把不等式問題轉化為函數問題來處理時,分類討論是易錯點。

警惕6——用換元法、均值不等式求值域時易忽視定義域的變化

剖析：換元法是求解不等式、函數最值等問題的重要方法之一,使用這種方法解題常常能把復雜式子簡單化。但是在使用換元法解題時要特別注意新元與舊元之間轉化的等價性,否則容易出錯。錯解的原因是沒有注意原函數的定義域要滿足t=s i nx+c o sx≠-1,所以y≠-1,所以原函數的值域為

易錯防范：(1)在用換元法解題時,要知道新函數的定義域會隨著變量的轉換而變化,所以在換元的過程中,要同步確定新元的取值范圍,而不能僅由新函數的結構性質來確定。(2)如果換元后用均值不等式,要注意取等號的條件;若不滿足條件還需用函數的單調性來求。

易錯點：換元后用均值不等式,不滿足取等號的條件。

警惕7——二次函數中含字母參數問題的等價轉化

例7 設函數f(x)=x2-a x+b(a,b∈R)。

(1)若f(x)在區間[0,1]上的最大值為b,求a的取值范圍;

(2)若f(x)在區間[1,2]上有零點,求a2+2b2-4b的最小值。

錯解:(1)分類討論對稱軸與區間的3種位置關系求最值后再求a的取值范圍時易出錯。(2)等價轉化是本題難點也是易錯點。

剖析：(1)利用拋物線的幾何特征易知在區間[0,1]上的最大值必是f(0)和f(1)中的較大者,而f(0)=b,所以只要f(0)≥f(1)即可。

(2)因為f(x)在區間[1,2]上有零點等價于方程x2-a x+b=0在區間[1,2]上有根,設方程x2-a x+b=0的兩根是x1,x2,且1≤x2

易錯防范：(1)求解含字母參數的二次函數指定區間最值問題,首先利用拋物線的幾何性質來求,不行再考慮討論對稱軸與區間的位置關系來求。(2)遇到二次函數零點問題可以用根的分布,也可考慮對應的二次方程根與系數的關系。

跟蹤訓練7 若函數g(x)=2x2+a x+3在區間(1,2)上有兩個不同的零點,求實數a的取值范圍。

正解：函數g(x)=2x2+a x+3在區間(1,2)上有兩個不同的零點,則

易錯點：判別式易漏。

警惕8——關于對數、指數函數求參數問題中端點值的處理

例8 若關于x的不等式4ax-1＜3x-4(a＞0,且a≠1)對于任意的x＞2恒成立,則a的取值范圍為( )。

錯解:易錯選A。

剖析：本題是不等式恒成立求參數的取值范圍問題,常見的處理方法有:常變量分離、考查不等式對應的函數、數形結合。

易錯防范：(1)遇到不等式恒成立求字母參數問題時,首先等價轉化找到適當的解題方法,常見的處理方法有:常變量分離、考查不等式對應的函數、數形結合。(2)指、對數式中底數為字母的應分類討論底數a＞1或0＜a＜1兩類。(3)對數式中真數大于零。

跟蹤訓練8 已知函數y=l o ga2(x2-2a x-3)在(-∞,-2)上是增函數,求a的取值范圍。

正解：令μ(x)=x2-2a x-3在(-∞,a]上是減函數,在[a,+∞)上是增函數,所以要使y=l o ga2(x2-2a x-3)在(-∞,-2)上是增函數,首先必有0＜a2＜1,且(-∞,綜上所述,a 的取值范圍是

易錯點：(1)題意的等價轉化;

警惕9——冪函數與指數函數在比較大小題型中易混淆

A.b＜a＜c B.a＜b＜c

C.b＜c＜a D.c＜a＜b

錯解:有些同學搞不清是用冪函數還是指數函數的性質來比較,易錯選B,C,D。

易錯防范：(1)指數函數和冪函數的性質混合應用時很容易混淆,首先必須分清是底同還是冪同,若是底同應用指數函數的單調性質比較大小,若是冪同應用冪函數的單調性質比較大小。(2)在利用性質時最好結合函數圖像。

跟蹤訓練9 若-1＜a＜0,試比較3a,

正解：由-1＜a＜0,考察指數函數y=3a,y＞0,所以3a＞0。再考察冪函數y=a3,-1＜a＜0,所以0＜-a＜1。設f(x)=(-a)x,則f(x)在x∈R時單調遞減,故0＜

易錯點：指數函數和冪函數的性質混合應用時很易混淆。