高中數(shù)學創(chuàng)新試題的探索

■河南省信陽高級中學 李楠楠

高中數(shù)學創(chuàng)新題是指根據(jù)數(shù)學課程標準的理念和要求,依托一定的數(shù)學命題原理和技術,旨在培養(yǎng)或診斷同學們的數(shù)學創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力,在題目背景、題目形式、題目內(nèi)容、解題方法等方面具有一定的新穎性與獨特性的數(shù)學題。

一、定義新

縱觀全國各地高考試卷中的創(chuàng)新題,不難發(fā)現(xiàn),“新定義”型題目是創(chuàng)新題型的新寵兒。“新定義”主要包括定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種,然后根據(jù)此新定義去解決問題,有時還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對新定義的透徹理解。

1.新概念。

例1 用C(A)表示非空集合A中元素的個數(shù),定義 A*B=2},B={x|(x2+a x)·(x2+a x+2)=0},且A*B=1,設實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S,則C(S)等于( )。

A.1 B.3 C.5 D.7

解析：由已知可得(x2+a x)·(x2+a x+2)=0等價于x2+a x=0 ①,或x2+a x+2=0 ②。

因為A={1,2},且A*B=1,所以集合B要么是單元素集合,要么是三元素集合。若集合B是單元素集合,則方程①有兩個相等的實數(shù)根,方程②無實數(shù)根,所以a=0;若集合B是三元素集合,則方程①有兩個不相等的實數(shù)根,方程②有兩個相等且異于方程±2 2。綜上所述,a=0或a=±2 2,所以C(S)=3。故選B。

2.新運算。

A.m i n{|a+b|,|a-b|}≤m i n{|a|,|b|}

B.m i n{|a+b|,|a-b|}≥m i n{|a|,|b|}

C.m a x{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.m a x{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

解析：對于選項A,取a⊥b,根據(jù)勾股定理,可知結論不成立;

對于選項B,取a,b是非零的相等向量,則不等式左邊m i n{|a+b|,|a-b|}=0,顯然不等式不成立;

對于選項C,取a,b是非零的相等向量,則不等式左邊m a x{|a+b|2,|a-b|2}=|a+b|2=4|a|2,而不等式右邊=|a|2+|b|2=2|a|2,顯然不成立。

由排除法可知,選項D正確。故選D。

3.新法則。

分析：根據(jù)所給的兩個點的坐標寫出直線方程,設出兩個點的坐標,根據(jù)所給的映射對應法則得到兩個點的坐標之間的關系,代入直線方程求出一個圓的方程,得到軌跡是一個圓弧,求出弧長。

解：根據(jù)題意可得直線A B的方程為x+y=4,設點 M(m,n),M'(x,y),則以M'的軌跡是一個圓弧,且

二、背景新

縱觀全國高考試題,以高等數(shù)學為背景的創(chuàng)新試題備受命題專家青睞,是高考試題中一道亮麗的風景線。

例4 設S為復數(shù)集C的非空子集。若對任意x,y∈S,都有x+y,x-y,x y∈S,則稱S為封閉集。下列命題:

①集合S={a+bi|(a,b為整數(shù),i為虛數(shù)單位)}為封閉集;

②若S為封閉集,則一定有0∈S;

③封閉集一定是無限集;

④若S為封閉集,則滿足S?T?C的任意集合T也是封閉集。

其中為真命題的是____(寫出所有真命題的序號)。

解析：兩個復數(shù)的和是復數(shù),兩個復數(shù)的差也是復數(shù),所以集合S={a+bi|(a,b為整數(shù),i為虛數(shù)單位)}為封閉集,①正確。當S為封閉集時,因為x-y∈S,取x=y,得0∈S,②正確。對于集合S={0},顯然滿足所有條件,但S是有限集,③錯誤。取S={0},T={0,1},滿足S?T?C,但由于0-1=-1不屬于T,故T不是封閉集,④錯誤。故真命題是①②。

三、方法小結

創(chuàng)新題的題型新穎,形式多樣,融綜合性、應用性、開放性、創(chuàng)新性于一體。解題時要求認真理解題意,透過“現(xiàn)象”把握問題的“本質(zhì)”,并將它抽象成數(shù)學(如集合、函數(shù)、數(shù)列、向量等)問題,運用相應的數(shù)學知識求解。解決這類問題通常分為三個步驟:(1)對新定義進行信息提取,確定解題的方向;(2)對新定義所提取的信息進行加工,探求解題方法;(3)對定義中提取的知識進行轉(zhuǎn)換,有效地輸出,進而解題。解決這類問題常見的思想與方法:直接法、特值法、排除法、數(shù)形結合、轉(zhuǎn)化化歸等。

四、鞏固練習

A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.非奇、非偶函數(shù)

2.設D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個區(qū)間,若存在x0∈D,使得f(x0)=-x0,則稱x0是f(x)的一個“次不動點”,也稱f(x)在區(qū)間D上存在“次不動點”。若函數(shù)“次不動點”,則實數(shù)a的取值范圍是( )。