f（x）=|g（x）-ax-b|的雙重最值問題

■浙江省天臺中學高三(1 5)班 王淑穎

函數是高中數學的一條主線,近幾年的高考、學考、競賽對絕對值函數的考查下足了功夫。下面筆者就形如f(x)=|g(x)-a x-b|這一類函數的最值問題提供一些基本方法,望能對讀者有所幫助。

問題1 函數f(x)=|x-b|在[0,1]上的最大值為M(b),求M(b)的最小值。

解法2：(幾何法)函數f(x)=|x-b|可看作函數y=x與y=b取相同自變量時函數值差的絕對值(縱向距離)。如圖1,線段①代表函數f(x)=|x-b|在[0,1]上的最所以M(b)的最

圖1

問題2 函數f(x)=|x2-b|在[-2,2]上的最大值為M(b),求M(b)的最小值。

解析：如圖2,線段②代表函數f(x)=|x2-b|在[-2,2]上的最大值為M(b),當b＜2或b＞2時,M(b)＞2;當b=2時,M(b)=2。所以M(b)的最小值為2。

圖2

問題3 函數f(x)=|2x-b|在[0,2]上的最大值為M(b),求M(b)的最小值。

解析：如圖3,線段①代表函數f(x)=|2x-b|在[0,2]上的最大值為M(b),

圖3

將問題1、2、3進行推廣,可以得到如下結論:

結論1 已知函數f(x)=|g(x)-b|,g(x)是閉區間上的連續函數,記f(x)的最大值為M(b),則M(b)的最小值為

問題4 函數f(x)=|x2-a x-b|在[-2,2]上的最大值為M(a,b),求M(a,b)的最小值。

解析：函數f(x)=|x2-a x-b|可看作函數y=x2與y=a x+b取相同自變量時函數值差的絕對值(縱向距離)。由圖4得,當a=0,b=2時,M(a,b)取得最小值2。

問題5 函數f(x)=|x2-a x-b|在[0 ,2]上的最大值為M(a,b),求M(a,b)的最小值。

解析：(1)連線,連接O B,記直線l1,此時l1:y=2x;

圖4

(2)作平行切線,切點為A(1,1),此時切線l2:y=2x-1;

(3)取中間線,直線l到直線l1和l2距離相等,此時中間

圖5

結論2 已知函數y=g(x)是閉區間上的凸函數(或凹函數),且y=g(x)的圖像被兩條平行線y=k x+b1和y=k x+b2(一條直線過曲線兩端點,另一條是平行切線)完全“夾死”,記函數f(x)=|g(x)-a x-b|的最大值為M(a,b),則

解析：如圖6,易知,直線A B:y=-x+3,平行切線l2:y=-x+2 2,所以M(a,b)的最小值為

圖6

鞏固練習：

1.若對任意x∈ [- 1,1],恒有|4x3-a x|≤b,則當b取得最小值時,a的值為____。

答案：3

2.已知函數f(x)=|c o s2x+as i nx|的最大值為b(a≤0,b∈R),則a+b的取值范圍是____。

答案：[0,1]