數學中“數”的對稱美

■河南省信陽市第一高級中學 王海廣

生活中處處有數學,數學中處處存在美。數的美,形的美,對稱的美……其中,對稱美是自然界中一種普遍存在的而又奇妙有趣的現象,能給人以整齊、沉靜、穩重、和諧的感覺。

“河出圖,洛出書,圣人則之。”相傳,在上古伏羲氏時代,洛陽東北孟津縣境內的黃河里躍出一匹龍馬,龍馬背上馱了一幅圖,獻給伏羲,圖上有黑白點5 5個,用直線連接起來表示1 0個數(如圖1),后人稱之為“河圖”,伏羲依此而演繹出八卦。又相傳,在公元前2 3世紀大禹治水之時,在黃河支流洛水中,浮現一只巨龜,背上有9種花點的圖案(如圖2),獻給大禹,后人稱之為“洛書”。

圖1

圖2

分析河圖洛書,不難看出,這兩幅圖具有數的簡單性和對稱性這兩個明顯特點。

第一,數的簡單性:數的特點直接而又形象地包含在河圖洛書之中,兩圖中黑點組成的數都是偶數(古代稱陰數),白點組成的數是奇數(古代稱陽數)。河圖含有1至1 0共1 0個自然數,洛書含有1至9共9個自然數。因此,數的簡單性是河圖洛書的基本特點之一。

第二,數的對稱性:河圖洛書的結構對稱,河圖以兩個數字為一組,分成五組,以[5,1 0]居中,其余四組[7,2]、[9,4]、[6,1]、[8,3]依次均勻分布在四周;洛書,以數5居中,其余八個數均勻分布在八個方位,尤其是縱、橫、對角線上的三個數之和均等于1 5的特點,使其成為我國古代都城的規劃模式。

太極圖的對稱美還可以解釋現實生活中許多數學中“數”的問題:宇宙中有你,同樣也存在著“反你”,如果有一天“你們”一握手,那么你和“反你”就頓時消失,就像1+(-1)=0一樣。這種設想在解答一些難題時,就顯得巧妙、易懂。例如,等差數列求和時,大都用公式:(首項+末項)×項數÷2來計算。如一道“有女不善織”的古代算術題:有位婦女不善織布,她每天織的布都比上一天要減少一些,減少的數量是相等的,她第一天織了5尺,最后一天織了1尺,一共織了3 0天,她一共織了多少尺布?這題的難點在于除了第一天和最后一天,中間每天織的布不是整數,而且每天比上一天少織多少布也不易求。可運用對稱的思想來解答:假設還有另一位姑娘也和這位婦女一樣織布,只不過她與這位婦女織布的情況剛好相反:姑娘每天織的布都比上一天要增加一些,增加的數量是相等的,她第一天織1尺,最后一天織5尺,也織了3 0天,由此可知,姑娘和婦女所織布的總長度是相等的,婦女所織的布每天減少的數量與姑娘織的布每天增加的數量是相等的,因此每天兩人共織的布為6尺,3 0天共織6×3 0尺=1 8 0尺,每人織9 0尺。

另外,古人經過特定乘法運算,發現“回文數”。這些回文數呈現出更奇特的對稱,例如1×1=1、1 1×1 1=1 2 1、1 1 1×1 1 1=1 23 2 1、11 1 1×11 1 1=12 3 43 2 1,根據這一規律可以簡捷地巧算出1 1 1 1 1 1 1 1 1×1 1 11 1 11 1 1=1 23 4 56 7 89 8 76 5 43 2 1。古人觀之,大都非常驚訝,對此產生濃厚興趣,感嘆數的對稱美。

“對稱”在數學上的表現是普遍的:軸對稱、中心對稱、對稱多項式等。從奇偶性上看,奇、偶數可以視為對稱,從運算關系角度看,互逆運算也可看為對稱關系。在數學中,還有許許多多的地方都能體現出對稱的魅力,正如亞里士多德所言:雖然數學沒有明顯地提到善和美,但善和美也不能和數學完全分離。因為美的主要形式就是秩序、勻稱和確定性,而這些正是數學所研究的原則。