回歸問題本質 防止高中數學解題“一錯再錯”

王莉紅

（建陽第一中學，福建 建陽 354200）

在高中數學教學中，學生的“一錯再錯”現象總是隨處可見。作為教師的我們總是認為學生學習不用心，不努力，導致屢考屢錯。事實上，問題真的都出在學生身上嗎？其實不然，很多時候，教師只告訴學生“這題這樣做”，卻未必深究“為什么這樣做”，使得很多學生對問題本質模糊不清，題型稍加變換或時間一長，就又一錯再錯了。下面，筆者就從教師教的層面入手，就教師如何回歸問題本質，防止“再錯”現象，談談幾點拙見。

一、重視學生的錯題

學生的錯題，恰好是教師教學的寶貴資源，因為它反映出學生在對這類知識的掌握過程中存在著不足之處，給學生提供了查缺補漏的機會。這些錯題，不僅學生要去回顧反思，找到出錯原因，教師也要追根溯源。在教師找到源頭之后，對癥下藥，就可避免學生一錯再錯的現象發生。

值得一提的是：教師不能認為錯題曾經強調過了，在再次講評時而簡單帶過。因為學生錯誤已是先入為主、根深蒂固，只有經過反復的認知，方可加深學生對知識本質的理解，打破原有慣性思維，迫使學生產生內在“觀念沖突”，才能建立新的“認知平衡”。［1］所以，教師應深入剖析問題本質，并進行有針對性的變式鞏固，對一個錯誤變換不同的背景，不斷呈現，使得學生的錯誤經過反復校正得到強化、固化，從而改善學生一錯再錯的現狀。

二、備好教材，更要備好學生

在備課時，限于學生的認知水平，教師對學生解題時可能會混淆和卡殼的知識點要做到心中有數，這樣在課堂上才能有的放矢，揭示問題本質，避免學生學得“云里霧里”。

例1 將標號為1，2，3，4，5，6的6個小球放入3個不同的盒子中，若每個盒子放2個小球，其中標號為1，2的小球放入同一個盒子中，則不同的放法有_______ 種。

學生對此類題型“有的時候要除以階乘，有的時候又不要除以階乘”感到很亂，教師若對此研究透，讓學生清晰也就不是什么難題。此題因研究的主體不同，可以有兩種不同的解題思路：方法1.研究的主體是“小球”，則要先分組再排，而這里的分組就是個易錯的難點——平均分配問題。為講清楚這個問題，筆者設計了下面兩個問題讓學生比較：

問題1：將甲、乙、丙、丁四個人平均分成A,B兩組，每組2人，有多少種不同的分法？

問題2：將甲、乙、丙、丁四個人平均分成兩組，每組2人，有多少種不同的分法？

這兩個問題，都是平均分配問題，區別是問題1是有組名，問題2是沒有組名，而“甲乙——丙丁”與“丙丁——甲乙”，對問題1來說是不同的分法，對問題2來說卻是同一種分法，原因就在于問題1與順序有關，而問題2與順序無關，這樣筆者就給學生總結出“平均分配問題，沒有組名的，就要除以組數階乘”。弄清這個問題本質后再回頭做例題1就水到渠成了：1，2號的小球已經成一組，另外4個小球分成兩組，這樣分成3組有，再排有種，所以由分步乘法原理有方法；

另一種方法：研究的主體是“盒子”，則先選一個盒子放1，2號兩個小球，有種方法；再給第二個盒子選兩個小球有種方法，第三個盒子就放入剩下的最后兩個小球，所以由分步乘法原理有=18種方法。

此題因研究的主體不同而分出運用不同的途徑，而方法2就避開了平均分配這個難點。為了加深學生的理解，筆者又設計了三個變式題：

變式1：將7個學生分成3組，一組1人，一組2人，一組4人，有____ 不同的分法；

變式2：將7個學生分成3組，兩組2人，一組3人，有____ 不同的分法；

變式3：將7個學生分成3組，兩組2人，一組3人，分別去參加數學、物理、化學的研究性學習，每個學科都要有小組選，有______ 種不同的選法。

通過對比，學生對此類問題的本質就有了更深刻的認識。

知道學生解題可能會犯錯的地方，教師事先就從源頭上提前加以防范，使學生在腦子里烙下正確的數學概念與思想方法。為避免學生認知停留在知識的表層，教師就得再通過反復的變式、遷移與拓展，不斷強化，讓學生在知識的產生、發展和應用中不斷地反思與總結，最終摸清這類問題的本質，運用起來便能得心應手，犯錯的概率就降低了。

三、將問題化繁為簡，化難為易

教師要不斷反思解題過程，不斷總結經驗，隨時做好心得記錄，改進解題策略，將抽象化為具體，將復雜化為簡單，層層抽絲撥繭，挖掘問題本質，最終將最易理解又便于記憶的方法傳授給學生。

這類題型看上去抽象復雜，學生懼怕，也屢做屢錯，其實實質就是不知道語言之間的轉換。講解時，筆者將此題分解為下面兩個題型：

這樣解釋學生自然就好理解，然后筆者再遷移到例2，將上面翻譯成“當時g（x）的圖象上存在這整段圖象下方的點”即學生便好接受了。接下來，筆者再將例2進行三次變式，以加深學生對此類問題的理解和鞏固：

變式（2）將題中的“＞”改為“〈”；

變式（3）將題中的“＞”改為“=”。

所以，同樣一題，教師怎么講，效果卻完全不同。這就要求教師在平時教學中，不僅要注重學生思維的形成和發展，還要做個有心人。題目不是講完就可以了，還要看學生接受和掌握情況，反思教學效果，將最優方案傳授給學生。教師力爭讓學生抓住問題的本質，自然就可以降低學生再出錯的概率。

四、重結果，更要重過程

很多時候教師由于趕進度或急功近利，往往重視知識的應用，卻忽視知識的生成過程，造成學生對知識“知其然而不知其所以然”，這樣為學生解題的一錯再錯埋下隱患。

例3 （2014·四川）為了得到函數y=sin（2x＋1）的圖象，只需把函數y=sin2x的圖象上所有的點( )

C.向左平行移動1個單位長度

D.向右平行移動1個單位長度

解此類平移問題，相當部分學生是按教師教的記憶口訣“左加右減，上加下減”來選擇了C，錯誤的很大原因就在于教師并未揭示問題的本質。事實上，我們在變換前的函數y=f（x）圖象上任意取一點P（x，y），不妨設圖象向左平移h（h＞0）個單位長度，向上平移k（k＞0）個單位長度后得到對應的點P'（x'，y'），則有即，將代入y=f（x），得y'-k=f（x'+h）即y'=f（x'+h）+K，然后將自變量和因變量改寫成習慣性寫法，就有y=f（x+h）+K口訣中的“左加右減，上加下減”了。學生明白了這類問題的本質，解這類題也就不會一錯再錯了。

五、注重通性通法，淡化特殊技巧

通性通法就是概念的基本性質及其所蘊含的數學思想方法。［2］有些教師一味追求解題技巧，忽略了解題的根本，一旦此類題型稍加改變，學生便又一錯再錯了。

方法一（通性通法）：求函數y=f（f（x））+1的零點的個數，即求方程y=f（f（x））-1的解。由已知可得解得f（x）=-2 或 f（x）=，進而得或最后解得x=-3或x=或x=-或x=，從而零點個數為4個。

方法二（數形結合法）：令f（x）=t，則由f（f（x））=-1有f（t）=-1，觀察圖1可知方程f（t）=-1有t1，t2兩根，其中t1＜-1，0＜t2＜1；再觀察圖2可知f（x）=t1（t1＜-1）有兩解，f（x）=t2（t2＜-1）有兩解，所以方程f（f（x））=-1有4個不同的解，即函數y=f（f（x））+1的零點的個數有4個。

方法一，依據分段函數定義區間的劃分標準，對f（x）這個整體進行討論，通過兩次轉化，順利解出答案。此法常規，容易理解，且計算量不大，便于學生掌握。它抓住了此類題型的問題本質：整體代換、分段討論、解方程或不等式，是通性通法；方法二是運用數形結合，逆向思維，對圖象進行兩次觀察，快速得出答案，只是這種思維抽象，學生難于理解，也不易想到，屬于技巧性方法，而技巧性方法有時無法通解一類題型。［3］所以，教師若強化通性通法，使學生能夠觸類旁通、舉一反三，能解一題通一類，那么學生的學習效率就可得到提高，一錯再錯的現象也可減少。

只要教師在教材上用心鉆研，對數學的概念、解題等方面“入木三分”；在教法上能夠透過現象，挖掘問題本質，并積極尋求糾錯策略，［3］必能促使學生回歸到問題本質，從而避免“一錯再錯”的現象發生。