基于能力立意與素養導向的高考數學備考策略
——以平面解析幾何備考復習為例

林晴嵐 陳柳娟 張 潔 黃 勇

（福建教育學院數學研修部，福建 福州 350025）

高考作為落實立德樹人根本任務的有效途徑和重要載體，著力凸顯其價值引領的作用。高考的核心功能是：立德樹人、服務選才、引導教學。高考的主要任務是： 立德樹人“一堂課” 、服務選才“一把尺” 、引導教學“一面旗”。通過高考這“一把尺”來把握人才培養和人才選拔規律，同時又作為“一面旗”引導一線教師開展教學活動。高考命題要求科學設計考試內容，優化高考選拔功能，強化能力立意與素養導向，助力推動中學素質教育。通過做精高考這“一把尺”，促進全面提升高考的育人功能和導向作用，最終達到“立德樹人、服務選才、引導教學”的目的。

一、領會高中新課標與考綱精神

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“高中新課標”）明確指出，通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）；提高從數學角度發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）。通過數學課程的學習，培養學生會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界的數學教育目標。《考試大綱》作為高考命題的標準和規范性文件，也是指導考生復習備考的主要依據。針對《考試大綱》的要求和“高中新課標”課程內容的主題導向，高中數學備考教學應以促進學生數學學科核心素養發展為目標，正確把握備考的原則和方向。

通過平面解析幾何單元學習，旨在幫助學生在平面直角坐標系中，更清晰認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標準方程；掌握運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系，運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想；掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路，運用代數方法得到結論，給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題；能夠根據不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標準方程；能夠運用代數的方法研究上述曲線之間的基本關系，能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題。重點提升直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養。

二、分析近五年高考考情，洞察命題新動向

1.近五年全國高考數學I卷解析幾何部分考情分析

從題型看：題目都以兩小題（選擇題或填空題各5分）和一大題（解答題第20題12分）方式呈現；從考查內容看：題（選擇題和填空題）側重對雙曲線的多角度考察（如：2013年第4題，2014年第4 題，2015年第4題，2016年第5題，2017年第10題），以及對拋物線的多角度考察（如：2014年第10題，2016年第10 題，2017年第10 題）；大題（解答題）側重以橢圓和拋物線的相關綜合知識背景為主，考查直線與圓錐曲線的位置關系、定點、定值、范圍及探索性問題，對考生的數學運算素養以及用數學的語言準確、清晰表達解決問題的思維過程要求較高，解決此類問題的重要手段，即通法是綜合應用一元二次方程根的判別式與韋達定理。以上各類試題總體突出考查考生的直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象等核心素養。

2.關注考查熱點，洞察命題新動向

對于直線與圓的考查：從考查題型來看，涉及本專題的題目一般在選擇題、填空題中出現，考查直線的傾斜角與斜率、直線的方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓的位置關系等。從考查內容來看，主要考查直線與圓的方程，判斷直線與圓的位置關系，及直線、圓與其他知識點相結合。從考查熱點來看，直線與圓的位置關系是高考命題的熱點，通過幾何圖形判斷直線與圓的位置關系，利用代數方程的形式進行代數化的推理判斷，是對直線與圓的位置關系的最好判斷，重點考查了直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學抽象等核心素養。

對于圓錐曲線的考查：從考查題型來看，涉及本專題的選擇題、填空題，結合圓錐曲線的定義及其簡單幾何性質，利用直線與圓錐曲線的位置關系，通過建立代數方程求解。解答題中綜合考查橢圓的定義、標準方程、直線與橢圓的位置關系等。從考查內容來看，主要考查圓錐曲線的方程，以及根據方程及其相應圖形考查簡單幾何性質，重點是橢圓及拋物線的簡單幾何性質的綜合應用，注重運算求解能力的考查。從考查熱點來看，直線與圓錐曲線的位置關系是高考命題的熱點，利用直線與圓錐曲線的位置關系，通過直線方程與圓錐曲線方程的聯立，結合橢圓、雙曲線、拋物線的定義考查與之有關的問題，重點考查直觀想象、數學建模、邏輯推理、數學運算等素養。

全國高考數學Ⅰ卷中對解析幾何的考察有“不動如山 — 靈動如水”的意境。不動體現在：命題始終圍繞數學核心素養，抓住數學思維本質，體現數學基本思想運用；考查運算求解能力、函數與方程思想、數形結合思想、運用化歸與轉化思想把方程組轉化為一元二次方程，利用方程的判別式和韋達定理最終解決問題。靈動體現在：考查載體靈活多變，運算的方法和目的多變，數形結合的方式多變，平面幾何基本知識的滲透潤物細無聲。

三、考向分析與備考建議

認真研讀《考試大綱》《考試說明》，領悟高考對基礎知識、基本技能、基本思想、數學素養等方面的要求；重視教材的基礎性和示范性作用，貫徹“源于教材，高于教材”的原則；重視考生對知識的內化、系統化、網絡化；重視培養考生審題的科學性、運算的準確性、解題的規范性、表述的精確性以及解題時間的分配等，堅決克服懂而不會、會而不對、對而不全、全而不快的現象。重視對近年高考試題的分析，領會核心素養怎么考。

1.平面解析幾何初步考向

近幾年高考對這一部分都以客觀題來考查，如直線、圓的方程的求解及直線與圓的位置關系的確定，以及與導數、圓錐曲線等知識的綜合應用。備考時注重挖掘基礎知識的能力因素，提高通性通法的扎實應用性，學會用代數方法處理幾何問題，加強數形結合、分類討論、轉化與化歸等思想方法的綜合應用能力，提升考生的直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象等核心素養。

考向1 直線方程及兩直線的位置關系

分析：通常會結合導數知識進行考查，如求直線的斜率、傾斜角、切線方程，或與圓、圓錐曲線結合起來，考查直線與圓、圓錐曲線的位置關系等。需要考生選擇適當的直線方程，應用待定系數法對問題進行求解。

考向2 圓的方程及點、直線、圓的位置關系

分析：常以選擇題與填空題的形式出現，難度較低。兩條不同的直線的位置有平行、相交兩種情況，要求能根據直線方程判斷兩條直線的位置關系，利用兩條直線平行、垂直求其中一條直線方程或參數的取值范圍。圓的方程在高考中有①利用直接法或待定系數法或動點的軌跡確定圓；②利用圓的方程中的圓心坐標和半徑；③圓與其他知識的綜合應用。目的是掌握圓的實質內涵：“心定弦，經定大”。

考向3 直線與圓、圓與圓的位置關系與應用綜合問題

分析：考查直線與圓的幾何性質主要通過應用圓的切線長、弦長、圓心、半徑、勾股定理、點到直線的距離、一元二次方程根與系數的關系等為基本應用點，有時也會與函數、不等式交匯命題，運算量較大。題型多數為選擇、填空題，重點考查數學運算、邏輯推理等核心素養，考查難度屬于中等。

參考案例：若a，t是正數，直線2ax+by-2=0被圓x2+y2=4截得弦長為則當t取得最大值時，a的值為（ ）

通過將直線與圓的位置關系和基本不等式融合在一起，考查轉化與化歸的思想及數學運算等核心素養，突出考查點到直線的距離公式、運用基本不等式求最值等《考試大綱》中要求掌握的內容，難度適中。

2.圓錐曲線考向

圓錐曲線與方程在近幾年的全國高考卷考查中幾乎都是兩小題一大題，考查方向和重點較穩定，小題主要考查圓錐曲線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單的幾何性質，考查形式主要是給出曲線方程，討論曲線的基本元素和簡單幾何性質；給出曲線滿足的條件（離心率、漸近線等幾何性質）求其方程等。大題?？疾閳A錐曲線與直線或圓的聯立問題；討論直線與曲線、曲線與曲線的關系；考查圓錐曲線與其他知識（如函數、數列、不等式、向量、導數等）相結合的問題等；突出考查考生的直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象等核心素養。

考向1 圓錐曲線的概念及標準方程的考查

分析：數學概念是一切數學思維之本，而方程是研究解析幾何最根本的工具，通過坐標系把點和坐標、曲線和方程聯系起來，實現形與數的統一，代數與幾何統一。所以，對概念的考查、對方程的理解的考查都是高考的重點。

考向2 圓錐曲線的幾何性質

分析：圓錐曲線的幾何性質是對圓錐曲線最直觀的感受，圓錐曲線的通性如曲線中參數的取值范圍、對稱性、離心率以及雙曲線特有的漸近線等都是近幾年高考命題的熱點。

參考案例：設F1，F2是橢圓E：＞0）的左、右焦點，P為直線上一點，△F1PF2是底角為30°的等腰三角形，則橢圓E的離心率為（ ）

考向3 求圓錐曲線的軌跡方程

分析：主要考查學生對圓錐曲線的標準方程及其相關性質的理解，各題型均有可能出現，較容易。

參考案例：設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且不與X軸重合，直線交⊙A于C，D兩點，過點B作AC的平行線交AD于點E.

2）設點E的軌跡方程為曲線C1，直線交曲線C1于M，N兩點，過點B且與l垂直的直線m與⊙A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

考向4 直線與圓錐曲線的關系問題

分析：此類題目難度較大，通常與向量、數列、三角函數等知識相結合，考查學生對圓錐曲線相關知識的掌握綜合處理問題的能力，要求學生有較強的運算求解能力。常見的求解方法與策略是結合題意聯立方程，利用一元二次方程根與系數的關系，再結合直線與圓錐曲線的交點、點到直線的距離、弦長等逐步破解。

考向5 圓與圓錐曲線的綜合問題

分析：圓錐曲線與圓的性質相結合的試題是高考命題的熱點。如圓上各點到圓心的距離都等于定長，圓與直線相切時圓心到直線的距離等于半徑，圓與圓相切時圓心距等于半徑之和或是之差，常與橢圓或雙曲線甚至拋物線的定義相聯系。

（1）求點A，B的坐標；（2）求△PAB的面積。

考向6 圓錐曲線與向量知識的綜合問題

分析：平面向量的出現不僅可以明確地反映幾何特征，而且為有效地簡化數學運算提供了很好的工具。解析幾何與平面向量綜合問題有效地考查考生運用數形結合、轉化與化歸、方程思想解決問題的能力。解析幾何與平面向量綜合問題是高考熱點。

參考案例：已知M（x0，y0）是雙曲線C：上的一點，F，F是雙曲線C上的兩個焦點，12若則y0的取值范圍是（ ）

在幾何問題代數化的過程中，必然會帶來繁雜的運算，中學階段對數學運算素養的要求集中體現在：（1）在運算的合理性方面，如坐標的選擇、直線方程的選擇等都將直接影響計算的繁簡；（2）運算的準確性，在計算中如果某一環節出現問題，就會導致整個運算的錯誤。 因此，教學過程中要克服重思路、輕運算的觀念，要優化思維、優化運算，選擇合理的運算途徑。