基于時間最優(yōu)控制的起重機防擺控制技術(shù)研究

宋勁松， 李 凌， 張明哲

(沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

起重機利用繩索一類的柔性體代替剛體工作，以使得起重機的結(jié)構(gòu)輕便、工作效率高.但是采用柔性體吊運也帶來了一些負面影響，例如起重機負載的擺動一直是困擾提高起重機裝運效率的一個難題.在碼頭、倉庫等貨物集散地，龍門起重機系統(tǒng)必須快速平穩(wěn)地吊運貨物，吊運過程中，重物擺角幅度不能太大，在平穩(wěn)停車后，重物擺角要盡快歸零，到達穩(wěn)定狀態(tài)，以便進行下一步運輸.研究龍門起重機更加快速地消除擺動、提高運行效率具有重要的現(xiàn)實意義.

對于龍門起重機的防擺問題，人們進行了數(shù)十年的規(guī)范研究.早在上世紀(jì)末，受限于當(dāng)時技術(shù)和材料，龍門起重機的設(shè)計偏于保守以保證安全性，設(shè)備通常非常笨重，以較慢的運行速度降低貨物擺動，工作效率低下.新世紀(jì)初，隨著工業(yè)的快速發(fā)展，遠洋物流運輸速度不斷加快，這對龍門起重機的性能有了新的要求，在保證安全和穩(wěn)定的前提下，需要有更高的轉(zhuǎn)運速度，龍門起重機迎來了新的發(fā)展，新技術(shù)新方法被普遍運用.其中，創(chuàng)新的控制技術(shù)在起重機防擺研究中起著至關(guān)重要的作用，PID參數(shù)優(yōu)化、內(nèi)模控制、模糊控制等控制技術(shù)的應(yīng)用使龍門起重機消擺問題得到一定程度的優(yōu)化[1].

控制系統(tǒng)的目標(biāo)是以最小的過沖和最大的速度將貨物移動到龍門起重機上一個新的位置.大多數(shù)龍門起重機控制系統(tǒng)，以提高系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性為主要目標(biāo)，而更快的轉(zhuǎn)運速度則是行業(yè)領(lǐng)先的標(biāo)桿.相較于傳統(tǒng)的控制方法，應(yīng)用時間最優(yōu)控制能夠在系統(tǒng)穩(wěn)定基礎(chǔ)上最大程度地提高運行效率.本文對龍門起重機系統(tǒng)進行建模，結(jié)合時間最優(yōu)控制原理，在擺動允許范圍內(nèi)，實現(xiàn)最快速的運行，并通過Matlab仿真驗證方法可行性.

1 時間最優(yōu)控制問題

最優(yōu)控制問題是從事研究工作人員經(jīng)常碰到的問題，應(yīng)用什么樣的技術(shù)手段使人們能夠用最小的花費得到最好的效果是研究的重點[2].

1.1 時間最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)描述

受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以表示為:

(1)

給定的終端狀態(tài)為x(tf)=xf，對控制變量的約束為u(t)∈U∈Rr.

若選擇允許的最優(yōu)控制函數(shù)u*(t)，其將使得系統(tǒng)的狀態(tài)方程從初始狀態(tài)x0出發(fā)，轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)xf的過程所需要的時間最短(即(tf-t0)=tmin)，稱這一問題為時間最優(yōu)控制問題[1].

時間最優(yōu)控制問題的性能指標(biāo)函數(shù)可表示為：

(2)

1.2 時間最優(yōu)控制的必要條件

根據(jù)極大值原理可知，線性系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制有解的必要條件是：控制域U必須是“有界閉集”，且最優(yōu)控制函數(shù)必定取這個閉集U的邊界值。由此可得出時間最優(yōu)的控制為：

(3)

由此可見，允許控制的時間最優(yōu)控制系統(tǒng)是Bang-Bang型(也稱砰砰型)控制系統(tǒng)，只有繼電型非線性系統(tǒng)才能實現(xiàn)時間最優(yōu)控制[1-2].

2 系統(tǒng)建模

2.1 模型建立

龍門起重機問題為多剛體、多自由度、多約束的質(zhì)點系動力學(xué)問題.在生產(chǎn)生活中龍門起重機模型實際上是一個三維模型，但是龍門起重機在運動過程中，主要受力情況分布在二維空間內(nèi)，在另一個維度方向上受力主要是一些擾動(比如風(fēng)力).為了研究方便，將實際的三維模型抽象成二維模型，且在龍門起重機運行過程中認為繩長不變，纜繩的質(zhì)量相對于重物的質(zhì)量可以忽略不計.模型如圖1所示[3].

圖1 起重機系統(tǒng)的物理模型

重物通過繩索與小車相連，小車在電動機的水平拉力F1的作用下在平直軌道上運動.小車的質(zhì)量為m0，重物的質(zhì)量為m，繩索的長度為l，可在提升電動機的提升力F2作用下進行升降運動，重力加速度為g；繩索的彈性、質(zhì)量、運動的阻尼系數(shù)可忽略；小車與水平軌道的摩擦阻尼系數(shù)為D；重物擺動時的阻尼系數(shù)為η，其他擾動可忽略[4].取小車位置為x1，繩長為x2，擺角為x3，將它們作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)系，在此基礎(chǔ)上對龍門起重機系統(tǒng)進行動力學(xué)分析建模.其中，所涉及的參數(shù)、變量、單位及取值參見表1.

表1 參數(shù)變量表

由圖1所示的坐標(biāo)系可知，小車和重物的位置坐標(biāo)為:

(4)

所以小車和重物的速度分量為:

(5)

系統(tǒng)的動能為：

(6)

此系統(tǒng)的拉格朗日方程組為：

(7)

(8)

2.2 模型簡化

為了應(yīng)用經(jīng)典控制理論分析所建立的系統(tǒng)，就需要把式(8)所示的非線性方程組進行線性化處理[5].

(9)

對式(9)進行拉普拉斯變化可得:

(10)

式(10)即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型形式，據(jù)此可以得到圖2所示的定擺長起重機運動系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，圖3是其另一種表達形式.

圖2 定擺長起重機運動系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)

圖3 變換后的定擺長起重機運動系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)

同理，也可將上述模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式.對式(10)進行變換，每個式子只保留一個二次導(dǎo)數(shù)項，可得：

(11)

(12)

(13)

在擺長一定的情況下，起重機模型的狀態(tài)空間表達式即如式(13)所示.

3 應(yīng)用時間最優(yōu)控制策略

由于起重機防擺控制問題的核心是在有效消除重物擺動的條件下，使小車能夠快速可靠定位，可以通過對重物擺動規(guī)律分析，選定有效的控制策略[6-7].

3.1 負載重物擺動問題的數(shù)學(xué)描述

在建立了龍門起重機的整體運動模型后，為了應(yīng)用時間最優(yōu)控制方法，還需要對負載擺動模型獨立進行分析.

(14)

這樣負載的擺動方程可以寫成：

(15)

(16)

3.2 擺動規(guī)律相平面分析

為實現(xiàn)有效控制需要研究重物的擺動規(guī)律，通過相軌跡對擺動進行分析比較容易，這里應(yīng)用相平面分析法.

重物擺動的狀態(tài)方程對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

(17)

其解為：

(18)

為了使時間最優(yōu)，取控制規(guī)律u(t)=Δ(Δ=±1,0)，并設(shè)ωx1(t)、ωx2(t)為新的狀態(tài)，式(18)可整理為：

[ωx1(t)-Δ]2+[ωx2(t)]2=

[ωx1(0)-Δ]2+[ωx2(0)]2

(19)

龍門起重機系統(tǒng)負載擺動的相平面圖如圖4所示，其中，Dx=ωx2(t)為縱坐標(biāo)，x=ωx1(t)為橫坐標(biāo).

圖4 系統(tǒng)相平面

3.3 消擺控制策略

通過前面的分析，可以得到龍門起重機的運動規(guī)律：啟動時u(t)=1，加速度處于最大，重物的擺動狀態(tài)對應(yīng)圖5中的右半平面的實線；當(dāng)狀態(tài)運動一周回到原點，此時擺角及擺速均為零，加速為零，小車處于勻速運動狀態(tài)，擺動消除；同理，當(dāng)制動停車過程中，始終以最大減速度減速，即u(t)=-1，重物的擺動狀態(tài)對應(yīng)圖5中的左半平面虛線；當(dāng)狀態(tài)運動回到原點時，減速停止，擺動消除[6].

圖5 當(dāng)u(t)等于-1和1時的相平面圖

該消擺控制策略加減速的時間ts相同，均為走完一個完整圓周使用的時間，即有：

由此可知，負載擺動具有周期性，且只需控制小車的加速度就能控制擺動幅度.控制器可以通過改變輸出PWM占空比將加速度信號轉(zhuǎn)換為伺服驅(qū)動器可以接收到的速度信號.所以，控制器只需要設(shè)計為開環(huán)就能滿足需要.其控制結(jié)構(gòu)框圖如圖6.操作人員發(fā)送控制信號給控制器，控制器接收到控制信號給出的位置坐標(biāo)，根據(jù)已知的繩長及其他限制條件計算出加速度的時間序列，最后發(fā)送給小車伺服驅(qū)動器驅(qū)動小車進行工作.

圖6 起重機控制結(jié)構(gòu)框圖

假設(shè)起重機的啟動制動最大加速度為am，最大速度為vm，繩長為l，要行走的距離為s.下面給出消擺的切換時間序列.

圖7 起制動切換時刻

4 仿真實驗及結(jié)論

4.1 實驗結(jié)果

綜合以上分析，建立如圖8所示仿真結(jié)構(gòu)，其中控制器輸出為圖7計算的加速度時間序列，并通過增益輸出力作用于所建立的起重機動力學(xué)模型，繼而輸出仿真結(jié)果，如圖9所示.

圖8 Simulink仿真框圖

圖9 系統(tǒng)仿真結(jié)果

由圖9得知：重物擺動幅度在控制在很小的范圍內(nèi)(|θ|<10 rad)時，經(jīng)過時間最優(yōu)控制的龍門起重機模型在最大速度運行的情況下有良好的消擺效果，這也驗證了之前的理論推測.

4.2 實驗結(jié)論

(1) 實驗設(shè)計基于時間最優(yōu)理論.根據(jù)上節(jié)的實驗結(jié)果，擺角絕對值小于10 rad，在滿足理論最大運行速度的前提下，符合預(yù)期消擺要求.所以，實驗證明了所設(shè)計的基于時間最優(yōu)控制的起重機防擺控制方案是可行的.

(2) 相較于其他控制方法，時間最優(yōu)控制在實際的龍門吊防擺應(yīng)用中具有諸多優(yōu)點，如不需要檢測擺角、運行速度快、控制較為簡單等.

(3) 時間最優(yōu)控制在防擺應(yīng)用中也有其不足，比如要求擺角初始為零.此外，實驗實質(zhì)為開環(huán)控制，實現(xiàn)更加精確的控制還需要在控制器中加入角度位置等反饋控制.