分數單位有什么價值
——《分數與除法的關系》與《真分數和假分數》課時整合教學實踐

吳建芳

（浙江省湖州市湖師附小教育集團，浙江湖州 313000）

引 言

小學數學教材將分數的學習分為“分數的初步認識”（三年級上）、“分數的意義和性質”（五年級下）兩個階段來學習。近日筆者對所任教班級在五年級下《分數與除法的關系》課時教學之后，隨機調查“解方程16x-8.7=8.3”的情況如下(表1)。

表1 解方程16x-8.7=8.3的調查情況

全班59人，其中38人正確用小數除法計算出準確結果1.0625，約占65.5%，用錯誤分數16/17表示商的共16人，約占27.6%，真正用17/16表示結果的只有3人，約占5.2%，其他錯誤2人，約占3.4%。從調查結果可以看出，學生學習了“分數與除法的關系”之后，其中65.5%的學生雖然結果是正確的，但是不會自覺地用分數表示商，“分數作為一種數”的意識不明顯，而用分數表示兩個數的商恰恰是分數意義最本質的反映。另外，由于在《真分數和假分數》課時教學之前，學生大量接觸的是真分數，從而導致了學生“分數的分子一定比分母小”的錯覺，形成了對分數意義的片面理解。因此，在用分數表示商的學生中絕大部分都是用錯誤分數16/17表示的。

基于以上調查結果和分析，筆者嘗試將《分數與除法的關系》《真分數和假分數》進行課時整合教學。

一、經歷分數單位的產生過程，理解分數與除法的關系

教材在《分數的意義》課時教學時，對分數的定義“把單位‘1’平均分成若干份取一份的數，叫作分數單位”一帶而過。學生對分數單位產生的必要性沒有體會，更體會不到分數單位的價值是什么。分數源于除法，而除法的原始形態就是平均分，分數單位的產生同樣是因為平均分的過程中，不能整個整個“分”從而引進了比1更小的計算單位——分數單位。下面是一個教學實例：

師：同學們，老師手中有好多卡片，要平均分給4個同學。你們知道怎么分嗎？

生：教師，你那里一共有多少張卡片啊？

師：我也沒有數過，真的不知道有多少張。

生：那就像發撲克牌一樣，一張一張地發就可以了。

師：一張一張地發就是說我們這時候計數單位是1。

師：教師今天還帶來了3個一樣的餅，要分給上課表現最好的4個同學，你們能幫幫教師嗎？

學生操作活動，學生展示兩種結果，師生共同歸納（如圖1）：3÷4=3/4（塊）

圖1 課堂歸納結果

師：那么，這兩種平均分的分法，有什么相同的地方呢？

生：不能一個一個地分了，只好變成一小塊一小塊地分。

師：那現在的一小塊是多少？

生（齊）：一小塊是1/4塊。

師：那如果是這三個餅，平均分給五個人，多大的一小塊一小塊地分呢？

生（齊）：1/5塊1/5塊地分。

之后，師生交流討論，歸納分數與除法的關系。

這里，“3個餅4個人平均分”的問題，學生常見的兩種分法是：三個疊一起切成同樣的4份，或者三個餅分別切成4小塊，目的都是變成可以等分給4個人的小塊——改變計數單位。整個過程中，學生源于平均分的實際需要，經歷了從“一整個一整個地分”到“一小塊一小塊地分”的驟變過程，分數單位的產生成為“平均分”的需要，學生從中體會到了分數單位的價值。

二、經歷分數單位的累加過程，體會真分數和假分數的實質

我們知道，一個數都是相應計算單位累加的過程。比如，整數8就是8個1的累加，小數0.8也是8個0.1的累加。整數和小數的累加滿足十進制計數法的“滿十進一”，但是分數單位的累加卻是“N進制計數法”。因此，真分數與假分數的本質也是相應的分數單位累加的結果。

師：下面請大家幫老師解決這個問題，5個相同的餅平均分給4個人該怎么分？

學生畫圖操作后，反饋了兩種分法與結果(如圖2)。

圖2 學生畫圖結果

師：大家看，這兩種分法，結果的大小是相等的，那分的過程有什么不一樣呢？

師：是啊！第一種分法，全部轉化成一種計數單位——3個餅4個人平均分成的小塊。而第二種分法，先一整個地分，再把余下的轉化成分數單位——小塊后繼續分。想一想前面3個餅4個人平均分為什么都轉化成了一種分數單位呢？

生：因為3個餅4個人平均分，每人分到的肯定不到一個。而5個餅4個人平均分，每人分到的一定是一個多，所以可以先一個一個地分。

之后，教師引導學生研究真分數和假分數的概念。

三、經歷分數單位的直觀轉化，感悟數系擴張

數的概念的每一次擴張都標志著數學的巨大飛躍。分數源于除法的需要，負數源于減法的需要，無理數源于開方的需要……一個時代人們對于數的認識與應用，以及數系理論的完善程度，反映了當時數學發展的水平。今天，我們所應用的數系，已經構造得如此完備和縝密，以致在科學技術和社會生活的一切領域中，它都成為基本的語言和不可或缺的工具[1]。小學階段，數的概念擴大到分數系，完成了對加法、乘法和除法的封閉。我們可以充分利用數軸(如圖3)，比較直觀地讓學生建立“非負有理數”的概念，體會分數是一個數的本質。

圖3 數軸

師：直線上的一大格表示1，那么每一小格是多少呢？你會寫出上面的這些點分別表示哪些數嗎？

學生操作之后，2、3、4學生均不用假分數表示，教師進行引導。

生1：2、3、4是整數。

師：你發現了什么？

生：整數都可以寫成分數，而且分母由你定。

師：分母由你定，你能給大家舉兩個例子嗎?

……

學生一句“分母由你定”，其實就是分數的“N進制”特點的原生態語言描述。數軸上的“一大格”“一小格”就是相應的計數單位（分數單位），數軸上的“大格”與“小格”相互轉化了，完成了計數單位的轉化，也是分數的“N進制”的幾何直觀。教師又通過計數單位的累加，充分利用數軸，讓學生形象地領悟了整數與分數的關系，真正經歷了數系擴張的過程，體驗了思維帶來的愉悅和成功。

在教學中始終圍繞著“分數單位”展開。通過“創造”分數單位的過程，認識分數與除法的關系；通過分數單位累加的過程，認識真分數和假分數；通過在數軸上進行計數單位的轉化過程，完成數系的擴張。教學實踐之后，筆者對任教對比班級（56人）進行了隨機作業“解方程16x-8.7=8.3”的調測查，結果如下（表2）。

表2 隨機調查結果

顯而易見，學生用分數表示商的人數比例大大提高，分數是一種數的意識明顯增強。分子分母顛倒的錯誤人數比例也大大降低，說明學生在課時整合的學習中，糾正了“分子比分母小”的片面觀念。學生可以從更深刻、更全面的角度去理解分數，對分數的認識已經從第一階段“分數的份數定義”飛躍到“分數的商定義”。

結 語

從以上的教學實例可以看出，開展《分數與除法的關系》與《真分數和假分數》的課時整合教學，可以讓學生對分數的概念有更深入的理解。這說明在某種程度上課時整合教學具有可行性，教師在其他知識的教學中不妨大膽發揮，以此提高學生的數學水平，促進學生數學素質的發展。