基于多項(xiàng)式函數(shù)求解的落角約束制導(dǎo)律

馬 爽，楊 軍，袁 博

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072)

0 引言

為了提高導(dǎo)彈攻擊機(jī)場、指揮中心、現(xiàn)代軍艦、潛艇、坦克和大型建筑物等目標(biāo)的殺傷力，不僅希望導(dǎo)彈能夠精確打擊目標(biāo)，同時(shí)還希望導(dǎo)彈能夠以期望的攻擊角度擊中目標(biāo)，從而更大地發(fā)揮戰(zhàn)斗部的毀傷效能[1-2]。此外，偵察(搜索或勘測)無人機(jī)(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)航路點(diǎn)的飛行路徑也考慮了角度約束問題，高超聲速飛行器再入制導(dǎo)也需要考慮落角約束，因此設(shè)計(jì)滿足角度約束的制導(dǎo)律是十分必要的[3]。

針對具有落角約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題，Zhengdong Hu等[4]利用最優(yōu)控制理論結(jié)合變結(jié)構(gòu)控制理論，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練得出等速趨近律的系數(shù)，得到三維空間下的具有落角約束的導(dǎo)彈最優(yōu)制導(dǎo)律。Yao Zhao等[5]利用有限時(shí)間收斂的滑模控制律設(shè)計(jì)了可全向攻擊的滿足導(dǎo)彈落角約束的制導(dǎo)律。Chang-Kyung Ryoo等[6]利用最優(yōu)控制理論得到了帶有落角約束的導(dǎo)彈的最優(yōu)導(dǎo)引律，可較為準(zhǔn)確地計(jì)算出導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間。張友安等[7]利用Schwarz不等式得到了控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)或無慣性環(huán)節(jié)的帶落角約束的任意加權(quán)制導(dǎo)律。

本文針對攻擊特定目標(biāo)需要有落角約束的情況，利用落角和脫靶量的始端和終端約束，使用多項(xiàng)式函數(shù)推導(dǎo)得到了在縱向平面內(nèi)滿足落角約束的制導(dǎo)律的解析表達(dá)式。通過選取合適的制導(dǎo)律系數(shù)，可以使得導(dǎo)彈的法向過載在攻擊目標(biāo)的過程中逐漸趨向于0，這是利用最優(yōu)控制理論求得的具有落角約束的制導(dǎo)律不能達(dá)到的。

1 彈目相對運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

考慮典型條件為載機(jī)發(fā)射空對地導(dǎo)彈攻擊敵方靜止目標(biāo)，為最大限度地發(fā)揮導(dǎo)彈的毀傷效能，采用帶有落角約束的制導(dǎo)律攻擊該目標(biāo)。針對該典型條件建立理想情況下的彈目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系，將導(dǎo)彈和目標(biāo)均視為縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)，忽略周圍復(fù)雜環(huán)境的干擾，如圖1所示，導(dǎo)彈在點(diǎn)M處，目標(biāo)在點(diǎn)T處，參考線為水平面上的基準(zhǔn)線。Vm為導(dǎo)彈速度，θ為彈道傾角，θm為目標(biāo)的速度方向角，am為導(dǎo)彈的加速度，彈目相對距離為r，彈目視線角為q。假定導(dǎo)彈勻速運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)靜止，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的加速度垂直于其速度方向，不改變速度大小，只改變速度方向[8-9]，t0為初始時(shí)刻，tf為終端時(shí)刻，則彈目相對運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為：

(1)

設(shè)計(jì)具有落角約束的導(dǎo)彈制導(dǎo)律，其目的是要設(shè)計(jì)合適的制導(dǎo)律使得導(dǎo)彈能夠在飛行末端以期望的落角和盡可能小的脫靶量命中目標(biāo)，需要滿足如下的始端和終端條件：

(2)

當(dāng)導(dǎo)彈的彈道傾角θ不大時(shí)，將自變量設(shè)為x，對式(1)進(jìn)行小擾動(dòng)線性化處理，可以得到非常簡潔的彈目相對運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，處理后結(jié)果如下

(3)

其中，x為導(dǎo)彈的橫向位移，y為導(dǎo)彈的縱向位移，f′代表f對x的導(dǎo)數(shù)。

通過將自變量轉(zhuǎn)變?yōu)閤，可以將原本未知的自變量命中時(shí)間tf轉(zhuǎn)化為已知的自變量即命中位置xT，即目標(biāo)的位置xT，故可用y表示導(dǎo)彈的脫靶量，方便利用終端約束條件對其進(jìn)行求解。

(4)

帶落角約束的導(dǎo)彈制導(dǎo)律不僅要求導(dǎo)彈在終端時(shí)刻的脫靶量盡可能地小以保證擊中目標(biāo)，同時(shí)也要求導(dǎo)彈在終端時(shí)刻的落角為期望落角。要使導(dǎo)彈以預(yù)計(jì)的落角擊中(xf,yf)處的目標(biāo)，可將導(dǎo)彈的制導(dǎo)指令設(shè)為如下的多項(xiàng)式形式[10]

(5)

式中，xgo=xf-x，n為正實(shí)數(shù)且n≥1,c1、c2為待求制導(dǎo)律參數(shù)。

式(5)中用含2個(gè)待定參數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)的形式表示時(shí)間可控的導(dǎo)引指令，設(shè)計(jì)參數(shù)c1保證導(dǎo)彈能夠擊中目標(biāo)，即脫靶量為0。由式(3)可得，在小擾動(dòng)線性化的假設(shè)前提下，導(dǎo)彈的彈道傾角θ可近似為導(dǎo)彈的縱向位移y關(guān)于導(dǎo)彈的水平位移x的一階導(dǎo)數(shù)。因此，將制導(dǎo)指令中的落角約束項(xiàng)設(shè)為比脫靶量約束項(xiàng)的階數(shù)低一階是合理的。故設(shè)計(jì)參數(shù)c2可以保證導(dǎo)彈能夠按預(yù)計(jì)落角擊中目標(biāo)，滿足角度約束。求解出c1和c2的解析解，則可用式(5)表示落角約束的制導(dǎo)指令。

2 帶有落角約束的制導(dǎo)律

為了保證設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能夠在落角約束的條件下命中目標(biāo)，首先要確定制導(dǎo)指令式(5)中的參數(shù)c2，進(jìn)而求得c1，最終得到制導(dǎo)指令。

將式(3)寫成積分形式同時(shí)引入初始條件，可得：

(6)

將式(5)代入式(6)中，化簡后：

(7)

式中，cx、cy為與初始條件相關(guān)的常值，分別為：

(8)

將始端條件和終端條件式(4)代入式(7)，有：

(9)

(10)

求解式(10)，可得：

(11)

將式(11)代入式(6)，得

(12)

式(12)利用始端和終端約束求得了導(dǎo)彈在初始點(diǎn)處的加速度指令，則對于任意橫向位移x，制導(dǎo)指令可寫為

(13)

其中，

(14)

可以看出，apn是經(jīng)典比例導(dǎo)引律的線性近似。

當(dāng)n=1時(shí)，式(13)與利用最優(yōu)控制理論求得的具有落角約束的導(dǎo)彈制導(dǎo)律的形式相同，此時(shí)比例導(dǎo)引律的系數(shù)為3。如果用經(jīng)典比例導(dǎo)引律代替apn，并將制導(dǎo)指令aB轉(zhuǎn)換為以時(shí)間為自變量的形式，則式(13)可以寫成如下形式

(15)

式中，tgo=tf-t代表導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間。

可以看出，式(15)中含有導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間tgo，將導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間用式(16)近似

(16)

所以，式(15)可以表示為如下形式

(17)

式(17)即為本文求得的基于多項(xiàng)式函數(shù)推導(dǎo)得出的落角約束制導(dǎo)律。可以看出，當(dāng)時(shí)，式(17)退化為比例系數(shù)為2的比例導(dǎo)引律。

3 仿真結(jié)果與分析

在本文的假設(shè)前提下，在不同期望落角及不同制導(dǎo)律系數(shù)的情況下對文中求得的帶落角約束的導(dǎo)彈制導(dǎo)律進(jìn)行仿真分析。

假設(shè)載機(jī)發(fā)射空對地導(dǎo)彈攻擊敵方靜止目標(biāo)，載機(jī)發(fā)射導(dǎo)彈時(shí)導(dǎo)彈位于(0m,10000m)處，導(dǎo)彈最大可用過載為50g，其初速度為V0=240m/s，初始彈道傾角為θ0=0°；目標(biāo)靜止于(10000m,0m)處，導(dǎo)彈的自動(dòng)駕駛儀簡化為一階慣性環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)為0.45。

1)設(shè)置期望落角為θf=-30°，利用本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律，分別令n=1,2,3， 得到仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

當(dāng)制導(dǎo)律系數(shù)分別取為n=1,2,3時(shí)，導(dǎo)彈的脫靶量分別為0.0557m、0.0689m、0.0162m，能夠保證精確命中目標(biāo)。

由圖2可以看出，當(dāng)系數(shù)n取不同的值時(shí)，導(dǎo)彈都能按照預(yù)定的角度擊中目標(biāo)。當(dāng)n越小時(shí)，導(dǎo)彈的彈道曲線越平滑。

由圖3可以看出，當(dāng)系數(shù)n取不同的值時(shí)，導(dǎo)彈最終都能以期望的落角擊中目標(biāo)，當(dāng)n越大時(shí)，導(dǎo)彈的彈道傾角越快地趨向于期望落角，但其初始時(shí)刻偏離期望落角的程度越大。

特別地，由圖3和圖4可以看出，當(dāng)系數(shù)n>1時(shí)，導(dǎo)彈的過載最終可以收斂到0，當(dāng)n=1時(shí)導(dǎo)彈的過載不能收斂至0。通過設(shè)置合適的目標(biāo)函數(shù)并應(yīng)用施瓦茨不等式求解，可以得到初始位置誤差、初始方向誤差和落角約束作用下的無量綱加速度指令，指令的解析形式表明，只有當(dāng)系數(shù)n>1時(shí)，加速度指令在彈道末端才會(huì)趨近于0[11]。

2)令制導(dǎo)律系數(shù)n=2，設(shè)置導(dǎo)彈的期望落角θf分別為-45°、-60°、-90°，對本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

期望落角θf分別為-45°、-60°、-90°時(shí)，導(dǎo)彈的脫靶量分別為0.0919m、0.0815m、0.138m，能夠精確地命中目標(biāo)。

由圖5和圖6可以看出，當(dāng)導(dǎo)彈的期望落角θf取不同的值時(shí)，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能夠使導(dǎo)彈按照預(yù)定角度命中目標(biāo)。

由圖6可以看出，當(dāng)期望落角θf大于初始彈目視線角時(shí)，導(dǎo)彈的彈道傾角是單調(diào)遞增的；不同期望落角θf使得導(dǎo)彈命中目標(biāo)的時(shí)間不同。

由圖7可以看出，當(dāng)導(dǎo)彈的期望落角θf不同時(shí)，導(dǎo)彈的初始法向過載差異較大，但最終都能收斂到0。

因此，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律不僅能夠使導(dǎo)彈按照期望角度命中目標(biāo)，同時(shí)當(dāng)制導(dǎo)律系數(shù)n>1時(shí)，還可使導(dǎo)彈的法向過載逐漸趨向于0，這是利用最優(yōu)控制理論求得的具有落角約束的制導(dǎo)律不能達(dá)到的。

4 結(jié)論

本文通過建立縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彈目相對運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，在小擾動(dòng)線性化假設(shè)的前提下，利用落角和脫靶量的始端和終端約束，推導(dǎo)得到滿足落角約束的導(dǎo)彈制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律是由經(jīng)典比例導(dǎo)引律以及關(guān)于落角的修正項(xiàng)組合而成。仿真結(jié)果表明，將導(dǎo)彈的自動(dòng)駕駛儀簡化為一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)，在不同的仿真條件下，該制導(dǎo)律都能按照期望落角擊中目標(biāo)。當(dāng)制導(dǎo)律系數(shù)n>1時(shí)，可以使得導(dǎo)彈的法向過載最終趨向于0。