依托幾何直觀 培養數學素養

鐘麗娟

摘要：幾何直觀就是依托、利用圖形進行數學地思考和想象。德國數學家希爾伯特專門寫了一本專著叫《直觀幾何》。法國數學家笛卡爾發明了數軸，巧妙地將數與形結合在一起……這說明幾何直觀在學習數學中的作用是非常大的，可以培養小學生的多方面的數學素養。

關鍵詞：幾何；數學；基礎教育

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）44-0203-02

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下稱《標準》）明確指出，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。那么依托幾何直觀，小學生數學學習應該真正培養哪些方面的數學素養呢？

一、依托幾何直觀，發現數學問題

《標準》在總目標中明確提出要“增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。但在實際教學中，我們發現學生的“發現和提出問題的能力”較弱，表現為小學生難以把生活中的數學現象轉化成數學問題，難以把數量或空間方面的某些關系轉化成數學問題。

例如，人教版五年級下冊“分數的意義”一課，可以這樣設計：①觀察：把一張紙條對折，再對折，其中的一折用一個數怎么表示？你是怎么理解的？②思考：還能用其他的方式來表示嗎？（溫馨提示：畫、擺、涂、折等）；有的學生說“把一個圓四等分，每一份用”；有的學生說有四枚一元硬幣，其中一枚占；有的學生說“一張《小學生周報》有四版，我看完第一版，看了”……③討論：這些活動有什么共性？有的學生說“它們都進行了等分”；有的學生說“它們都表示其中一份，所以都用表示”。④質疑：你發現什么問題嗎？有的學生質疑說“雖然這些例子是用表示，但表示的是不同東西的，有的是一個，有的是幾個組成的，表示的大、小、多、少都不一樣”。有的學生進一步提出“其他的分數也能這樣表示嗎？”等。

二、依托幾何直觀，描述數學現象

幾何直觀描述數學現象，既是發展學生空間觀念的重要途徑，也是培養學生數形結合思想的重要抓手。例如，在教學“正比例的意義”一課時，學生對形如①y=2x中，x和y成正比例比較容易理解。而對于形如②x和③中x和y成正比例就感到難以理解。這是因為正反比例描述的是兩個變量之間的關系，概念本身比較抽象。再加上后兩式屬于①式的變式題，在缺乏直觀幫助下大部分學生難以接受后兩種變式x和y也成正比例。要掃清思維障礙，建立“成正比例關系”的思維圖式，可采用先列表再畫圖的描述方法加以解決。

經過列表法觀察，可以發現不管形式怎么變化，變量y和x的比值也就是商是一定的，所以這兩種量成正比例關系。

圖像法：

上述三個表格的內容實際上是一樣的。如果把上述表格圖成圖像，則可用下圖表示：

當上述三個變式采用圖像描述時，學生驚奇地發現這三個式子實際表示的都是同一個圖像，即一條向兩端無限延伸的直線！通過用表格進行列舉，再用圖像加以描述，學生在頭腦里建立起成正比例關系的心理圖式，這其實就是數學的本質。這種從代數關系式描述到列表法描述再到圖像描述之建立起一一對應的關系，充分體現了數形結合的思想。

三、依托幾何直觀，外化數學思考

培養學生以數學的眼光看世界，從數學的角度去分析問題的素養，會使學生終生受益，而無論他們將來從事什么職業，這是一種用“數學方式進行的理性思維”。

例如，學校舉行乒乓球社團小組爭霸賽。五年級社團有10個選手，每兩人進行一場爭霸賽，一共要進行幾場爭霸賽？

生1：可以這樣想，第一個小運動員要和其他9人各打1場，共9場；第二個小運動員要打8場，第三個小運動員要打7場，……最后一個小運動員只打1場就夠了。因此列式是9+8+7+6+5+4+3+2+1=（9+1）+（8+2）+（7+3）+（6+4）+5=45（場）。

生2：其實不用那么復雜，可以看成數線段，用連線的方法解決。10個運動員相當于10個點，每兩個點可以連成一條線段。第一個點可以邊9條，第二個點可以連8條，以后每次少1條，依此類推。9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（條），也就是45場。

生3：我也是用數線段的方法來解決，可是我畫的線段和他不一樣，答案也是45場。

生4：從1一直加到9，后一個數都比前一個數多1。我覺得可以看成一個梯形，用數木頭的方法來解決。即（頂層根數+底層根數數）×層數÷2，也就是（1+9）×9÷2=45（根），也就是45場。從直接用等差數列求和的方法解，到用數線段連線的方法，再到看成堆成一垛木頭，用梯形面積計算公式來計算。

四、依托幾何直觀，預測數學結果

有些數學研究的對象是可觸的、可視的、具象的，而很多數學研究對象是“看不見，摸不著”的，是抽象的、內隱的，這是數學的一個基本特點，也給小學生解決問題帶來相當大的困難。例如，一張桌子坐8人，兩張桌子并起來坐12人，三張桌子并起來坐16人，照這樣計算，六張桌子并成一排可以坐多少人？（如圖所示）

因為只有六張桌子，所以大部分的學生輕松地獲得結果。學生們通過畫圖：一張、兩張、三張……一共可以坐28人。表面上學生通過畫圖解決問題的思維含量不高，其實不然，關鍵取決于老師是否能基于核心素養來定位我們的教學。如果老師這樣教學：同學們，假如有20張這樣的桌子并排，可以坐幾個人？再用畫圖的方法合適嗎？你能從剛才六張桌子的圖中發現什么規律？學生通過認真觀察、討論，不難發現“桌子頭尾4個人始終固定不變的，而兩側每增加一張桌子就增加4個人”這一重要的規律。這時，老師不失時機地點撥：如果有n張桌子，這樣并排，你能用一個含有字母的式子表示所坐的人數嗎？學生學會用（4n+4）來表示人數。此時老師再進一步提出現在有28人，按照這樣子坐法，一共要并排幾張桌子？從畫圖計算人數，到觀察圖形的規律，再到抽象出含有字母的式子表示人數，再進一步解決逆思考題，學生借助幾何直觀，完成了數學抽象和思維的互逆訓練。借助幾何直觀學生不但學會了畫圖預測結果，還在找規律的過程中體驗了數學抽象、推理、建模等基本思想。

華羅庚教授曾說“形缺數時難入微，數缺形時少直觀”。要更好地研究數學，離開了圖形是不可想象的。只要我們做個有心人，幫助學生建立起實物與概念、圖形與概念間的聯系，化抽象為具象，變內隱為外顯，就可以促使學生更好地理解數量之間和空間形式的本質，也能夠提高學生學習的興趣。

Abstract：Geometric intuitionism is relying on figure to think and imagine mathematically. German mathematician Hilbert wrote a monograph called intuitive Geometry. The French mathematician Descartes invented the number axis. It shows that geometry intuitionism plays a very important role in learning mathematics，and it can cultivate pupils' mathematics literacy in many aspects.

Key words：geometry；mathematics；basic education