最值問題的錯例剖析

（安慶二中南區 安徽安慶 246003）

最值問題是中學數學的熱點問題，其解法繁多且靈活多變，而且涉及的知識面頗寬，求解時稍有不慎，極易出現因思路紊亂而導致錯解、誤解的現象，而且某些錯誤又較為隱蔽，不易被人們所察覺。下面分類解析一些常見的錯誤題解，通過展示錯解，剖析錯因，給出正確解答，以達辨別正誤，暴露錯因，提高解題能力的目的。

一、消元時忽視條件的限制致誤。

解二元條件最值問題，常通過消元減少變量，但在消元過程中要注意各變量之間相互制約關系。

二、換元時忽視變量的范圍致誤

換元前后的變量之間實際上是自變量與因變量的關系，確定換元后的表達式中變量范圍時充分考慮換元前變量范圍的限制。

三、忽視定義域致誤

錯解1：將原式右邊的x移到左邊，兩邊平方后整理，得x2?(2y+1)x+(1+y2)=0為使關于x的一元二次方程有實數解，必須要有?=[?(2y+1) ]2?4(1+y2)≥0，

四、忽視重要不等式中等號成立的條件致誤

例4 已知x為銳角，求函數y=sinxcos2x的最小值。

五、利用均值不等式解題忽視成立的條件

均值不等式中求最值是一種常用的方法，但要注意“正”、“定”、“等”是均值不等式成立的前提。解題時需考察式子是否具備均值不等式成立的條件，進行適當的拆、添、配、湊等策略進行求解。

六、忽視值域致誤

分析：此解法看似正確。其實不然，將原來函數平方后y的取值范圍隨之擴大。

正解：

七、方程法求函數值域時忽視檢驗

錯解：

分析：函數（1）的定義域為x≠1，函數（2）的定義域為x∈R，所以（1）與（2）并非同一函數，當然（2）的值域也不一定是（1）的值域，而當x=1時，方程（2）中y=3，但當y=3時，方程（1）的解恰為x=1，而x=1并非（1）的定義域內的值，故（1）?（2）變形中值域擴大了。

正解：

從以上分析可知要去掉y=3.所以y的值域為y∈ ( ? ∞,3)U(3,+ ∞)。

八、濫用函數值域的對稱性而忽視表達式的結構特征。

一般函數的值域都不具備對稱性，而要根據表達的結構特征，分別確定其上限和下限，不能濫用值域的對稱性解題。因此，可通過類比，數形結合，特值否定來消除“值域對稱”的影響。

九、盲目利用判別式解題而函數問題的慎密討論。

十、忽視隱含條件致誤

綜上所述，錯解的原因是多方面的，以上僅歸納十種類型。一般，造成錯解的原因是解題者對某些概念混淆不清，公式、定理掌握不牢，理解不透。基本的方法、技能不能正確、靈活運用所致，同時思維不慎密，缺乏防錯意識也是一個原因。所以只有保持頭腦清醒，認真分析，聯系自己所學知識，才能起到既提高解題速度又保證解題質量的效果。