直線問題中的“不可忽視”

（山東省濟寧市微山縣第一中學 山東濟寧 272000）

一、忽視直線方程形式運用的限制條件

例1 直線L過點P（-2，1），且點A（-1，-2）到L的距離等于1，求直線L的方程。

錯解：設直線L的斜率為k，則L的點斜式方程為y-1=k （x+2），即kx-y+（2k+1）=0，

∴所求直線方程為4x+3y+5=0.

剖析：由于直線的點斜式方程不包括平行與y軸的直線，所以應該檢查過點P（-2，1）且與y軸平行的直線是否符合條件.

正解：10若直線L的斜率存在，設直線L的斜率為k，則L的點斜式方程為y-1=k（x+2），即kx- y+（2k+1）=0，∵點A（-1，-2）到直線L的距離等于1，

20若直線L的斜率不存在，則L的方程為x＝-2，點A（-1，-2）到直線x＝-2的距離為│－1－（－2）│＝1，符合L的條件.

∴所求直線方程為4x+3y+5=0或x+2=0.

點評：直線的點斜式方程與斜截式方程不包括平行于y軸的直線；直線的兩點式方程不包括平行于坐標軸的直線；直線的截距式方程不包括過原點的直線和平行于坐標軸的直線.所以在用以上四種方程求直線方程時，一定要檢查不被包括的直線是否符合相關條件，以免遺漏.實際上，在解題中，運用有關公式求斜率時，若只求得一解，應反思可能遺漏了斜率不存在的情形.

錯解：設所求直線方程為x+y-1+λ（2x-y+4）=0，

即（2λ+1）x+（1-λ）y+4λ－1=0，

剖析：一般地，方程f1（x，y）+λf2（x，y）＝0表示過曲線

f1（x，y）＝0與曲線f2（x，y）＝0的交點的曲線系，但不包括曲線f2（x，y）＝0的所有曲線，上面解法恰好遺漏了直線2x-y+4＝0，故用曲線系方程求解時應分類討論，以防忽視特殊情況.本題正確答案應為：2x-y+4＝0或2x+11y-20＝0.

二、忽視了截距與距離的區別

例3 求過點P（-5，-4）且與坐標軸所圍成的三角形的面積為5的直線方程.

錯解：

三、判斷位置關系時忽視轉化的等價性

例4 已知兩直線L1：mx+8y+n=0 和L2：2x+my-1=0，試確定m、n 的值，使 L1∥L2.

錯解：由m·m-8×2＝0，得m＝±4.

剖析：對于兩直線L1：Ax1+B1y+C1=0 和L1：A1x+B1+C1=0，

A1B1-A2B1=0僅是L1∥L2的必要不充分條件，而L1∥L2的充要條件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0（B1C2-B2C1≠0）.事實上，由m ·m-8×2＝0，得m＝±4，又由8×（－1）+（－n）·m≠0，得n≠±2，

所以當m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2時，L1∥L2.

四、位置關系分析時忽視分類討論

例5 過點P（1，3）作直線L，且點M（2，3），N（4，5）到直線L的距離相等，求直線L的方程.

錯解：由題意知所求直線過點P且與直線MN平行，而kMN=1，故所求直線方程為x-y+2＝0.

剖析：解法中對直線L的位置分析時忽視了與直線MN相交的情形，即M，N分別位于直線L的兩側，此時，直線L過線段MN的中點，易求直線L的方程為x-2y+5＝0.故所求直線方程為x-y+2＝0或x-2y+5＝0.

五、忽視問題中的隱含條件

例6 求經過點P（-2，3），且傾斜角是直線3x+4y-5＝0傾斜角的一半的直線方程.

故所求直線方程為3x-y+9＝0或x+3y-7＝0.

總之，若能精細地設計思維過程，優先考慮限制條件，注意挖掘隱含條件，不僅能優化解題過程，還能提高正確率。學習中加強對錯誤的反思，能快速提升數學素養。