中學數學求異思維的五種基本形式

劉冬喜

中學數學是具有較嚴密的邏輯系統的基礎學科，偏向定向式的思維模式，為了使學生的思維不陷入僵化，加強求異思維的訓練是很有必要的.對學生求異思維能力的訓練可以通過具體的一空多填、一題多變、一題多解等方式來進行，這也是心理學所倡導且為大多數人所接受的訓練方法.但是要想更自覺、更有效地對學生進行求異思維的訓練，就必須首先弄清楚求異思維的基本形式.數學對象是豐富多樣的，因此研究這些對象的求異思維也并非千篇一律，下面就求異思維的五種表現形式與大家探討.

1.放射求異

放射求異是從同一條件出發，進行大幅度、多方位的聯想判斷，追求盡可能多的答案的思維過程和方法.數學知識間存在著廣泛的縱橫聯系，而且同一知識又有多種不同的表現形式，這就決定了由同一刺激引起的聯想的多向性.

例如，求數列1， ，1， ，1， ，···的通項公式an=fn，經過放射求異可得到答案

①an=1（n為奇數） （n為偶數）

②an=

③an=1+ │cos │

④an=（ ）

⑤an=（ ）

放射求異具有流暢開闊的特點，通過放射求異可以建立數學知識之間的縱橫聯系，使學生對數學知識產生網狀結構感.

2.反向求異

給出問題的結論，并列地從多個方向追索使結論成立的條件，這就是反向求異思維。從形式上看，這是一種逆向思維，但卻不把某一已知條件作為唯一目標，表現出了思維的深刻性品質.

例如，在通常情況下，都是由給定條件求出直線的某種特殊形式，再將其化為一般形式Ax+By+C=0，現在給出直線方程3x-y+3=0，求確定直線的條件，可沿下列四個方向進行：

①化為斜截式y=3x+3，故直線由斜率k=3，截距b=3確定；

②化為截距式 + =1，故直線由橫、縱截距a=-1，b=3確定；

③化為點斜式y-0=3（x-1），故直線由斜率k=3，定點（-1，0）確定；

④化為兩點式 = ，故直線由兩點（-1，0）、（-2，-3）確定.

其中③、④兩種情況都有無窮多種表達式.經過如上的反向求異，學生會對“兩個獨立條件確定一條直線”產生更具體、更強烈的認識.長期的單向思維使學生的思維呆板，要使學生由順向轉逆向，教師應經常提出相反思路，對學生進行反向求異思維的訓練.

3.對比求異

利用問題之間的正反對比和相似對比揭示知識之間的聯系和區別，從而獲得問題的準確答案的思維過程和方法就是對比求異.通過對比求異訓練，可以幫助學生克服思維的盲目和片面，克服知識和技能的負遷移.

例如，通過對以下問題的正反對比，揭露問題2的錯誤，有利于學生形成正確的空間概念.

問題1：“平面內過一已知點垂直于一已知直線的直線有且只有一條.”

問題2：“空間中過一已知點垂直于一已知直線的直線有且只有一條.”

通過以下問題3、4、5的相似對比，有助于加深學生對橢圓切線方程的本質理解.

問題3：過橢圓 + =1上一點P（x0，y0）的橢圓切線方程為 + =1.

問題4：過橢圓外一點p（x0，y0）所引橢圓的兩條切線的切點的直線（切點弦）方程為 + =1.

問題5：通過橢圓內一點的直線與橢圓有兩個交點，求過這兩個交點的兩條切線交點的軌跡方程為 + =1

4.分析求異

對欲證命題進行執果索因的分析，捕捉促成問題轉化的各種信息，沿著各個轉化方向尋找解決問題的多種途徑的思維過程就是分析求異.

例如，三角恒等式tan2α-sin2α=tan2αsin2α的證明思路可通過如下分析獲得

①tan2α-sin2α=tan2αsin2α

？坩tan2α（1-sin2α）=sin2α

？坩tan2αcos2α=sin2α

？坩sin2α=sin2α

②tan2α-sin2α=tan2αsin2α

？坩tan2α=sin2α（1+tan2α）

？坩tan2α=sin2α·

？坩tan2α=tan2α

③tan2α-sin2α=tan2αsin2α

？坩 =

？坩 =

？坩 =

分析求異是數學解題的傳統的成功方法，對綜合能力水平不高的中學生更有不可取代的作用.

5.反饋求異

所謂反饋求異就是對理論上證明了的命題，通過列舉正面例子說明其合理性，列舉反面例子說明其不合理性.

例如，對于“若a、b、c∈R+，則a3+b3+c3≥3abc”可以從三個方面舉例進行反饋求異：

①令a=1，b=2，c=3；

②令a=1，b=2，c=-4；

③令a=-1，b=-2，c=4.

由①知命題為真，由②知不滿足題設條件則不等式可能不成立，由③知不等式的條件可放寬為a+b+c≥0.通過反饋求異可以加深學生對定理條件的認識，從而從本質上把握定理，避免應用定理解題可能犯的錯誤.

從求異思維的形式和特點可以看出，求異思維是一種不依常規、勇于開拓的創造性思維，對于培養創新型人才有著積極的作用，應該予以重視.

編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com